Problemas de Matemáticas de El País – Problema nº 6

Los problemas matemáticos de la edición digital de El País no descansan en Semana Santa. Ayer jueves apareció el sexto de la serie de 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este sexto problema se titula Una cuestión de sombreros y lo propone Javier Lázaro, estudiante de 4º de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@elpais.es antes de que termine el lunes día 25 de abril.

Respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

46 Comentarios

  1. Así, de primeras, 15 presos se pueden salvar seguro: basta con que su inmediato anterior simplemente diga el color del sombrero del que tiene delante. Los que están en una posición par se salvan fijo, y el resto, pues tiene un 50% de probabilidad de ser salvados si la distribución de colores es aleatoria.
    Probablemente haya una estrategia mejor. Si en vez de decir el color del sombrero se permitiera decir un número, se podrían salvar 29 con certeza. Bastaría con que el último de todos asumiera que los sombreros codifican en binario un número, ya que la sucesión de colores puede ser vista como una sucesión de 0’s y 1’s.
    Me estaba preguntando si podría servir algo parecido a esto: los 4 últimos codifican el número de cambios de color que aprecian en los 26 primeros, o cuántos sombreros blancos ven en ellos… quizá vayan por ahí los tiros.

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  2. Que mal explicado está el problema. Ni aclara si pueden ser todos los sombreros del mismo color, ni las restricciones que se impone a los presos, la “estrategia” que asegura 29,5 supervivientes es: “cada preso le dice al de delante el sombrero que tiene y el primero ¡tira una moneda!”. Si no pueden ser todos los sombreros iguales, entonces se salvan algo más de 29,5 (porque hay dos casos de todas las combinaciones en que el primer preso puede deducir su color). Pero me parece tan evidente que no puede ser así el problema…

    De estos problemas hay muchos, uno que me gustó mucho fué (abstenerse los que lo sepan, claro).

    “Estás preso en una sala con sólo dos puertas, una de ellas lleva a la muerte inminente y la otra a la salvación. En cada puerta hay un guarda que no impedirá que la abras, es más, puedes hacer una única pregunta a uno sólo de los dos guardas pero, uno de ellos (no sabes cual) siempre miente y el otro siempre dice la verdad. ¿Cómo escaparías vivo?”.

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  3. josejuan, yo creo que está bien explicado. Se dice que hay sombreros blancos y negros, por lo que yo entiendo que no pueden ser todos del mismo color. Y además se dice que el número de sombreros de cada color puede ser cualquiera.

    Por otra parte, entiendo la estrategia de @corneacraneo, pero no la tuya. Repasa tu idea, creo que te has equivocado :).

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  4. “Se dice que hay sombreros blancos y negros, por lo que yo entiendo que no pueden ser todos del mismo color.” CASO 1.

    Pues yo discrepo, a priori yo contemplaría los casos: { “todos blancos”, “todos negros” }. CASO 2. Por no claro. (Dice que hay sombreros blancos y negros, pero no aclara que una vez puestos a los presos, los puestos no puedan ser todos del mismo color y el ejemplo que pone 29b+1n no define).

    “…pero no la tuya…”

    ¿?, que cada preso ve el sombrero del que tiene delante es cierto por definición, y no veo nada que impida a cada cual susurrar al oído del de delante el color que ve. Así, los 29 que tienen a otro preso detrás se salvan seguro. El desafortunado que no tiene a nadie detrás tiene un 50% de probabilidad de salvarse en todas las situaciones (caso 2) excepto en 2 (caso 1) cuando ve delante todos negros o todos blancos, en cuyo caso se salva también seguro.

    En ningún momento se dice que lo único que pueden decir es su respuesta.

    Que supongo (ahora) es de lo que se trata…

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  5. Caso de ser así el problema (sólo poder decir una palabra: blanco o negro), seguro que se salvan 25, veamos si se puede mejorar…

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  6. Yo entiendo que el problema permite que cada preso solo diga un color cuando el guardia lo pregunte, y no vale ni susurrar, ni usar espejos, ni mirar de refilón hacia arriba para mirar su propio sombrero, ni nada parecido. Y también entiendo que puede darse el caso de todos de un solo color, o cualquier otra combinación.
    A mi me sale que se salvan seguro 29, si saben contar y pensar una buena estrategia.

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  7. Ejem, ejem, … mínimo tres interpretaciones diferentes del mismo enunciado… muy claro no estará 😛

    ¿¡29!? wow

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  8. ¡Muy bueno edmond! no se si lo habría visto de no decir tú 29.

    Sí, la respuesta es se salvan 29 seguro (y el primero un 50% de probabilidades).

    Ahora bien, supongamos que nunca todos los sombreros son del mismo color ¿creéis que el primer preso se inmolaría (su vida está en sus propias manos en dos casos) por salvar a los otros 29?

    Por cierto, mi primera aproximación era codificar con los primeros 5 presos el número de presos de entre los otros 25 presos (uhm… en cuyo caso con 4 bits bastaba).

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  9. A mí me parece que está bastante claro que lo que quieren decir es que la distribución de sombreros es completamente aleatoria. No entiendo cómo podéis llegar a 25 y mucho menos a 29. A mí me salen 20 salvados seguros (los otros 10 van al 50%, de manera que es de esperar que se salven 5 más, pero el problema habla de seguros).

    La verdad es que me parece el menos matemático de los problemas hasta el momento, que no han sido muy brillantes en general. Me gusta más sentirme tonto con el problema de la semana de Gaussianos.

    Seguid así.

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  10. Existe una estrategia para salvar de forma segura a 29 presos. Y no conlleva hacer ningún tipo de trampa.

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  11. Yo pensaba que si el primero decía el color de los sombreros más abundantes, se salvaban la mitad (estos seguros) para arriba, según el número de sombrerors de ese color. Pero los 29…

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  12. Yo a 26 salvados sí que alcanzo a ver la idea de codificar en binario con los cuatro primeros presos el número de gorros del color que menos tenga (el quinto compara su cuenta con la que le “pasan” los cuatro primeros, el resto va llevando la cuenta del color del gorro de los que van contestando para saber el suyo), pero de ninguna manera salvar a 29. Si se juega con un código de tiempo, dilatar o apresurar la respuesta, se dan DOS datos con una respuesta.

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  13. Quique, si das con la forma de llegar a 29 igual te parece más matemático. Y quizás deberías definir “brillante”. A mí me parece evidente que el público al que se dirige Gaussianos es distinto del que intenta los retos de El País. Supongo que quienes se están peleando con los problemas de http://www.claymath.org/millennium/ podrían decir que los problemas de Gaussianos no son muy brillantes, pero, si lo hiciesen, errarían el tiro.

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  14. Estoy francamente intrigado con lo de salvar a 29. Esto significa que 29 saben seguro su respuesta, es decir, que no tienen posibilidad de dar alguna pista a nadie (pues dicen su color para salvarse). Sólo uno va a hablar dando una pista (por lógica el primero). Aunque diga de qué color hay más sombreros no se asegura nada.

    En cuanto a codificarlo en binario, me parece la mejor opción. Son 26 seguros.

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  15. Se salvan 29, y la respuesta ya la han dado por ahí…. 😀

    (todos los presos, a la postre, tienen información de 29 presos)

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  16. Creo que ya he dado con la respuesta, pero me falla cuando la distribución de sombreros es mitad y mitad (14-14) entre todos excepto el primero y el que tiene que hablar en un momento dado.

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  17. Chobin, lo de la dirección del e-mail no es un error. En el anterior problema avisaron de que la habían cambiado aunque si alguien se equivocaba y enviaba el e-mail a la antigua inmediatamente se redireccionaría, es decir, que puedes seguir enviándola a esa si quieres.

    Quique, yo estoy con Prodem. Hay que tener en cuenta el público al que se dirigen los problemas de El País… A mí no me parecen malos para nada. Es más, me parecen más interesantes y más propios de ese público problemas como el del reloj de dos colores o éste porque no dan ventaja a una persona con más conocimientos de matemáticas (aunque sí a quien tenga adquiridas estrategias de resolución de problemas). Así que ante un problema como éste los matemáticos no tienen tanta ventaja como en otros (el primero o el segundo). A mí me parece mejor así (aunque igual es porque yo, de momento, sólo soy una aficionada y a mí me viene mejor que sean de este tipo, je, je).

    En cuanto al problema en sí… Si el primero logra dar una información adecuada de manera que el segundo, con esa información, pueda saber de qué color es su sombrero, es claro que el tercero conocerá conocerá la disposición de colores de los que tiene delante y del anterior. Lo mismo con el resto. Es decir, 29 personas sabrán (cuando llegue su turno) el color de 28 sombreros. Así que sólo hay que pensar qué información puede codificar el primero con sólo DOS palabras y que dé la información necesaria.

    Lo que no veo es manera de que se salven los 30 de forma segura. Al primero nadie le ha podido dar información, por ello me tiene intrigada el comentario de Chobin.

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  18. Hola. Coincido con la mayoría. Hay una estrategia que salva a 29 de forma segura. Salvar a los 30 de forma segura es imposible. No sé cómo juega Chobin con el lenguaje, pero no.

    En cuanto a lo de dar pistas: Sara F, creo que has dado muchísimas. Demasiadas. ¿Estás en tu derecho? sí. ¿Me parece que es bueno dar tantas pistas? no. Evidentemente, tú decides. El moderador también ya ha pedido “por favor” en varias ocasiones que no se de la respuesta ni nos pasemos con las pistas. No lo ha impuesto (que podría haberlo hecho), ha confiado en nuestra prudencia. Creo que debemos respetarlo. No solo porque lo diga el moderador, sino porque creo que tendríamos que evitar que se desvirtúe el juego (los 30 libros que sortea El País es lo de menos). Cuidémoslo.

    Sara F, disculpa si te sientes ofendida. Por tu mensaje, estoy seguro de que no tenías intención de desvirtuar el juego. Sólo muestro mi opinión: creo que las pistas de tu mensaje son excesivas. Yo es la primera vez que participo en este foro, aunque lo he leído mucho. No soy nadie para imponer normas.

    Aprovecho para felicitar a Gaussianos y a El País. Saludos.

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  19. Sara F, gracias por la aclaración del email. No estuve atento la semana pasada.

    En cuanto a lo de salvar a 30 sé que no es la respuesta correcta, es una pequeña broma porque tiene un doble sentido el enunciado. El enunciado dice: “Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero.”
    Se podría entender que el “su” se refiere al sombrero del guardia, como cada preso ve al guardia responde el color del sombrero del guardia y se salvan todos. De todas maneras como ya he dicho, sólo era una broma jugando con el lenguaje asi que no hacía falta esa contestación tan tajante por tu parte Julio.

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  20. Chobin, nunca soporté aquellos juegos que te hacían pensar un día entero y luego te respondían “los leones no te pueden comer porque dije al principio que están MUERTOS de hambre”, pero no me ofende que tú “hayas propuesto” uno de ellos. Por otra parte, nadie tiene la obligación de tener el mismo sentido del humor que tú, ni que yo, ni que nadie. En mi opinión, basta con ser educado y respetuoso. Y creo haberlo sido. Efectivamente no hacía falta que fuera tajante, pero tampoco pasa nada por serlo, ¿no? Las matemáticas y la lógica siempre han usado un lenguaje estricto, riguroso y taxativo. Siento si te he ofendido. ¿Hablamos de matemáticas y juegos?

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  21. Pues anda que si te parece poca pista el “la solución está por ahí”. Es la que más me ha aprovechado y me gustaría saber a cuántos más como a mi. Ahora, si la cosa va de no decir quién es el padre de Luke, pues de acuerdo.

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  22. Está claro que se salvan “con seguridad” 29 presos (siempre que todos conozcan bien la estrategia y ninguno se equivoque). En el caso de que uno o varios cometan un error pueden ocurrir dos situaciones: si el veredicto se hace público en el momento en que habla cada uno, solo morirán los que se equivoquen, si el veredicto se comunica al final, morirá el torpe y todos los que hablen a continuación, a no ser que otro se equivoque también lo que salvaría a los que le siguen si no cometen más errores.

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  23. Me ha costado un poco ver lo de los 29… lo que no veo es como este acertijo se puede enmarcar dentro de las matemáticas.

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  24. Ja, ja, muy bueno, Chobin, aunque coincido con Julio. A mí esos juegos de palabras también me revientan, aunque reconozco que tienen su gracia (sobre todo si es otro el que tiene que pensar y tú el que lo propones).

    Julio, quizá tengas razón. Después de escribir el comentario me estaba reconcomiendo por si lo habría puesto muy fácil, aunque por otro lado sólo puse la parte del razonamiento que creo que es natural seguir cuando sabes que se salvan 29. Por lo menos es la que a mí me parece natural… También pensé que no es lo mismo conocer la respuesta. Que igual a mí me parecía que había dado mucha pista porque la sabía… Pero visto lo visto veo que me equivoqué y lo que menos quiero es dar el problema mascado. Sé que eso a mí también me reventaría porque tendría la impresión de que no he resuelto el problema… No sé si ha sido tu caso, pero si ha sido que sí te pido disculpas.

    Así que pido a Gaussianos que elimine esa parte de mi comentario si cree que es demasiada pista. Tiene mi consentimiento.

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  25. Sara F, dejamos tus pistas, no hay problema :). Lo único que pido es que de aquí en adelante seamos algo menos claros con las pistas :).

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  26. Julio, dices lo siguiente: Las matemáticas y la lógica siempre han usado un lenguaje estricto, riguroso y taxativo.

    Si el lenguaje del enunciado hubiera sido riguroso y estricto no cabría posibilidad a mi interpretación, verdad? Como ya dije sólo pretendía hacer un “chiste”

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  27. Coincido en que la exposicion del problema es, en mi opinion, penosa. Ademas, mas que un problema de matematicas es un acertijo gracioso para hacer junto con el sudoku y la sopa de letras del domingo.
    No creo que sea esta una buena manera de enganchar a la gente con las matematicas, pero bueno…

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  28. Yo sí soy matemático y me parece el más interesante de todos los problemas que se han planteado hasta ahora

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  29. para mi la pregunta es si los presos saben el número exacto de sombreros de cada color. Si es así se salvan todos

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  30. Dani, no entiendo bien tu crítica, creo que tu exposición es bastante mala. Me parece que las matemáticas son bastante más amplias de lo que tu entiendes por “problema de matemáticas”, y desde luego, éste lo es, te parezca más o menos difícil. Y por supuesto, para enganchar con las matemáticas no se requiere buscar tanto la dificultad como la belleza.

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  31. gogely, los presos NO SABEN el nº exacto de sombreros de cada color.

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  32. sherekan, el problema dice que no sabemos el número exacto de sombreros (nosotros), no que no lo sepan los presos. Si los presos tampoco lo saben es evidente que la respuesta es 29 y uno al 50%.

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  33. Quién dice evidente, dice una forma lógica. Ahora bien, sinceramente no creo que algunos presos reales no se equivocaran contando …

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  34. Victor, te explico mi opinion: creo que este tipo de “acertijos con truco” son mas o menos conocidos por la gente en general, y que al plantear este asunto de los sombreros como uno de los “problemas de matematicas” de El Pais lo unico que se logra es dar (o reforzar) la impresion de que las matematicas no son mas que un manojo de astucias logicas graciosas para pasar el rato.
    Sin embargo el problema del reloj y la recta era muy distinto. Si bien no era dificil, era profundo. Habia un monton de ideas escondidas detras y el lector interesado podria indagar casi sin fin en las distintas implicaciones y generalizaciones que tenia el razonamiento necesario para resolverlo. Tambien le proporcionaba al lector que lo resolviese o que intentase resolverlo una pista de como se debe pensar en matematicas, algo que creo que no se puede decir de este acertijo… Quizas me equivoque, pero creo que el problema del reloj es muchisimo mas apropiado si el objetivo de El Pais es intentar transmitir al publico alguna de las sutilezas mas delicadas y hermosas de las matematicas que no suelen llegar al gran publico… y todo ello sin ser necesariamente mas dificil que acertijos superficiales que pueden ser complicadisimos de resolver! Como bien se ha dicho, no se trata de dificultad, si no de contenido. No logro ver el contenido de el problema de los sombreros.
    Pero bueno, es solo mi opinion…

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  35. Dani. Ahora que he acabado el plazo y podemos hablar de la solución, me parece que la forma que a mí se me ocurre de salvar a 29 –el primero en hablar dice blanco si hay una cantidad par de sombreros blancos delante de él y negro si hay una cantidad par de sombreros negros (puesto que son 29 sombreros tiene que darse exactamente uno de estos dos casos), y los demás van contestando llevando cuenta de la paridad– tiene dos ideas claramente matemáticas: cómo codificar información de la manera más concisa posible (eso está detrás, por ejemplo, de las buenas definiciones); y cómo a veces no hace falta conocer un dato en todo detalle, sino que basta quedarse con lo esencial (en este caso la paridad).

    Es más (ver por ejemplo los comentarios de josejuan), si uno quiere dar con exactitud el dato de cuántos sombreros blancos hay necesita 5 bits (o 4 si uno es astuto y no se empeña en decir cuántos blancos y se limita a decir “cuántos de un color apropiado”), pero así sólo salvaría a 25 (o 26 con la astucia). En este caso la información más precisa da peores resultados.

    Si todo esto son o no ideas matemáticas no voy a discutirlo.

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  36. Vale, entendí lo que querías decir Dani. La verdad es que a mí (como matemático) me encantan los acertijos y las astucias lógicas. Pero en cualquier caso, estamos de acuerdo, y creo que esa es precisamente la iniciativa del País, en que estos problemas deben transmitir ideas matemáticas, en cierta medida profundas, y también atractivas para el público general. Aquí la idea es la de la paridad, que si bien es una idea sencilla (tan sencilla como el principio del palomar), son muy numerosos los problemas propiamente matemáticos que se resuelven con ella (algunos nada sencillos). Por cierto, que hay unos cuantos trucos de magia (matemáticos) que utilizan la misma idea.

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  37. La solución de la paridad es la más elegante y sencilla de aplicar, yo había deducido la del máximo (el primero preso dice el color del color con mayor número de gorros [entre los 29 siguientes], el segundo sabe entonces cual es su color y los demás presos DEBEN llevar la cuenta de sumas, más complicado, pero funciona). Solución que no han indicado ¿la dedujo alguien más?.

    Me alegra que se hayan dado también las soluciones de la codificación, es la más humana creo yo (por directa y simplona).

    En todo caso, creo que ha quedado patente que explicaron muy mal el problema, porque en la versión escrita han pormenorizado cada aspecto del problema.

    (Para los maestros 😀 ). Me parece muy importante que quien plantee un problema se asegure que está cláramente definido y sin ambigüedades. No sea que el cero que ponéis a los alumnos debiera ser para vosotros 😛

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  38. josejuan, me parece que la del máximo falla. Si el primer preso llevara el gorro blanco y los 29 demás lo llevan negro. Como lo aciertan los 29? Según tu razonamiento el primer preso al ver todo gorros negros diría negro. Entonces el segundo entiende que hay más negros que blancos. Y como continúa?…

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  39. Josejuan coincido con Chobin, creo que tu solución donde el primero preso dice el color del color con mayor número de gorros falla. Imaginemos que todos llevan gorros negros entonces el ultimo preso dice negro (claramente hay mayoría de gorros negros). Entonces el preso 29 ve enfrente de el 28 gorros negros, así que enfrenta 2 posibilidades:
    1.- Puede pensar que su gorro es blanco, con lo cual seguiría siendo verdad la afirmación del preso 30 ó
    2.-Puede pensar su gorro es negro con lo cual seguiría siendo verdad la afirmacion del preso 30.
    Entonces el preso 29 enfrenta una decisión donde tiene 50% de probabilidades de salir vivo. Lo mismo para los demás presos así con esta estrategia no se salvan 29 presos seguros

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