Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 13

Nueva entrega este viernes de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Ayer jueves apareció el decimotercero de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema trece se titula Una camiseta bordada en zigzag y lo proponen Andrea Isern Granados, alumna de 3º de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3º de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona), ambas estudiantes de Estalmat-Catalunya. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 13 de junio.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

93 Comentarios

  1. ¿Que quiere decir zigzag?.¿Alguien podría definirlo?, no entiendo bien el problema.

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  2. Solo hay q jugar con “isos”… Ya sabéis, esos programas que aparecen espontáneamente en el mundo de TRON Legacy 😉
    Este es aún más fácil que el anterior.

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  3. Desde mi punto de vista, este problema es más difícil que el anterior, pero me da la sensación de que la solución va a ser tal chorrada que me voy a tirar de los pelos como no lo descubra yo antes…

    Al menos, la tercera cuestión que preguntan sí la he resuelto. Como pista diré que la respuesta es la misma que la de algunos de los problemas anteriores.

    ¿Alguna pista para las dos primeras preguntas?

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  4. En este nuevo reto creo que entre todos podemos “progresar” será asi ?

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  5. Me ha gustado mucho el problema, ha sido de los pocos que no he visto la solución ni una manera de resolverlo de manera inmediata. Pero decir que se puede sacar con conocimientos matemáticos de ESO.

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  6. Cuidado con el “zigzag” claro sintoma de que se supera la tasa permitidad y la Dirección General confirma que quitan puntos si te pillan.
    Problema mas o menos facil del cual tampoco doy pistas, pero comento que al margen de resolverlo se me hizo evidente una curiosa igualdad trigonométrica, que no facilita el encontrar la solución, mas adelante la expondre
    Saludos

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  7. Bonito problema.

    Tu apreciación es correcta Rafalillo, hay una forma fácil de resolverlo.

    Todo es cuestión de verlo desde el ángulo adecuado, para poder progresar con él, como dice Riberus.

    Pero es más cuestión de ser observador, que de tener la “idea feliz”.

    No se me ocurre que más decir. Es difícil dar pistas sin dar la solución, en este caso.

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  8. A mí lo que no me cuadra es una cosa: pienso que la segunda cuestión no se puede resolver sin hacer uso de trigonometría. Las chicas que presentan el problema son de 3º de la ESO. Y la trigonometría no aparece como contenido en el currículo de la asignatura de matemáticas hasta 4º de la ESO. ¿Habrá otra forma de responder a la segunda cuestión?

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  9. Julio, si se conoce alfa, se conoce todo, no sé que nivel tienen en 3º de ESO, yo he intentado con trigonometria …….. pero con dos datos un triangulo …….. como que no, pero ya verás como progresamos adecuadamente.
    ¡ jo ¡ si algún día me toca la biblioteca, habré terminado de comprar todos libross

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  10. Pues yo sigo sin verlo, y eso que, como he dicho, me da la impresión de que va a ser tan fácil…

    Yo he observado y dibujado el problema varias veces, y me temo que sin idea feliz no voy a hacer nada.

    En fin, todavía queda tiempo hasta que acabe el lunes…

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  11. Riberus, gracias por responder, pero no entiendo tu mensaje. No es que no entienda lo que quieres decir, es que no entiendo lo que dices.

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  12. Julio, espero que esto se pueda poner, si no es así que lo borre el moderador y listo.
    Tal y como entiendo el problema, en el enunciado se conoce del triangulo inicial dos datos, si tenemos tres datos de un triangulo, sacaremos todos datos del triangulo y primera y segunda cuestión resuelta, así lo entiendo yo vaya.

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  13. Pero lo que Julio pregunta es si la segunda cuestión (que es inmediata teniendo la primera) se puede resolver sin trigonometría, de forma similar a como se resuelve la primera.

    Yo no sé si se puede o no, Julio. Si se puede, no lo vi.

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  14. Rafalillo, esto son datos asi que se puede poner, conocemos un cateto ( 25 ) y el angulo recto

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  15. Del segundo triángulo si veo esos dos datos, pero del primero sólo el angulo recto.

    Y, en cualquier caso, para resolver un triángulo hacen falta al menos 3 datos, que yo sepa, aunque en uno rectángulo podrían bastar dos, pero los dos que sabemos creo no son suficientes.

    Empiezo a pensar que estoy chocheando, con lo joven que soy todavía…

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  16. Ya no sé cual es el primer triángulo, y cual es el segundo… hay tantos.

    Pero bueno, que más da, son familia todos ¿no?… salvo el grande.

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  17. Uff, creo qye ya está, mañana repaso, el lunes envio, el martes me toca el sorteo y el domingo de la semana que viene ya no compro más libros jejejje

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  18. Por si sirve… Yo, más que progresando, empiezo a resolverlo primero situándome en la frontera del dibujo -más allá no hay que dibujar…- y empezando a regresar al origen del viaje saltando de “iso” en “iso”. Después de hallar el ángulo, empiezo a progresar…
    No se necesita trigo. Y se puede resolver un triángulo con 2 datos.

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  19. AAGGG , tengo todo mal, pensé que lo tenia resuelto, pero no.
    Manda leses que sé la solucción y no logro encontrar la relación y encima ahora voy a tener que etudiar como se reuelve un triangulo con solo dos datos porque si algo era mi fuerte era la trigo……….. “era”

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  20. Yo también creo que he resuelto el primer apartado sin trigonometría. Solo hay qué saber sumar los ángulos de un triángulo 😀

    Aunque para los otros apartados, yo diría que si se necesita trigonometría.

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  21. ¿Qué es eso de la ‘iso’? Yo lo único que sé de eso es de la fotografía, pero de triángulos, nanai.

    Sí, todos los triángulos son del mismo tipo, excepto el que los encierra a todos, pero si de los primeros sólo sabes lo que miden dos de sus lados, poco se puede hacer, no?

    En el tercer apartado, creo que no hace falta aplicar trigonometría, si acaso un pelín de nada, pero basta con visionar cómo quedarían las dos últimas puntadas…

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  22. Riberus, creo que no entendiste mis mensajes.

    Ya se que el problema se puede resolver. Todas las preguntas. Ya sé que hay datos suficientes. No es muy complicado. De lo que yo estoy hablando es de cómo resolverlo. Me pregunto si se puede resolver la segunda cuestión sin trigonometría.
    Me explico otra vez por si acaso:
    Primera y tercera preguntas: Está claro que se puede resolver sin trigonometría.
    Segunda pregunta (longitud de las puntadas): Creo que solo se puede resolver con trigonometría.

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  23. Pd Julio, lo tengo hecho graficamente, solo eso ……. es decir lo he hecho un poco a ojo y cuadra, es decir conoco alfa y L , pero soy incapaz de resolverlo analiticamente, ni con trigronometria ni sin ella, ni hallando 1º L y despues alfa, o al reves 1º alfa y despues L, no lo veo ……. que se le va a hacer, este creo que será el 5º que no voy a ser capaz de resolver …….. y repito que si algo se me dá bién es la trigonometria, pero me temo que este desafio no se vá a resover con la trigonometria.
    Si consigo averiguar analitamente alfa, pasaré a intentar resolver L sin usar trigonometria ……. pero es que no lo veo de verdad.

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  24. Hola a todos.

    Creo que he resuelto bien la 1 y la 2. La 3 no sé si lo he hecho bien.

    Para la 1 solo se necesita fijarse en todos los ISOS (en plural, Rafalillo) y ir contando uno tras otro o repartir entre todos, vamos

    Para la 2 creo que sin trigo no se saca y, para colmo, da un resultado un poco … sin gracia, … un poco … “pues es lo que hay”

    Para la 3 me he hecho un lío y pa mi que no.

    Un saludo a todos

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  25. Conclusión, una vez que se conoce alfa, yo por lo menos no sé sacar L si no es aplicando trigonometria.
    Si alguien lo consigue que diga si es posible para seguir dandole al tema.
    Alfa ya lo he sacado, no me convence mucho pero ahi está

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  26. Se puede sacar sin trigonometría porque las relaciones trigonométricas proceden de estudiar semejanza de triángulos en un triángulo rectángulo, igual q los teoremas de la altura y catetos…
    Usando trigonometría simplemente es más rápido. Pero, por ejemplo, si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo y el lado opuesto, pueden sacarse los lados y alturas solo con semejanza (y Pitágoras, si quieres, aunque Pitágoras tb se reduce a semejanza).

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  27. Yo acabo de ver el vídeo y me he puesto con el reto, y sinceramente no lo veo fácil, y el ángulo que me sale no es ni mucho menos exacto. Sin embargo no encuentro el error en mi planteamiento. A ver si me puedes ayudar:

    EDITADO POR ^DiAmOnD^

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  28. gogely: No se si he entendido correctamente tu deducción, pero dudo que las alturas que tu comentas “9 triángulos isósceles que van avanzando en altura con un incremento igual de triángulo a triángulo”, los incrementos sean iguales
    Saludos

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  29. La trigonometría da la solución rápidamente.
    Pero por semejanza+Pitágoras puedes deducir lados y alturas de cualquier triángulo rectángulo (en realidad más, pero ese es otro tema) si conoces un ángulo y lado opuesto. Es que si ponemos más explícitamente las cosas, yo creo que no cumplimos la idea de no dar pistas directas a la solución, no?? A mí me da igual, pero a Gaussianos no, y es lógico. No sé, esperaré a decir cómo lo he hecho…

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  30. Sebas, se puede construir un triángulo como el que comento. Si tienes el triángulo final de altura L, se puede construir con los triángulos isósceles que comento que midan cada uno L/10 más de altura que el anterior y cuyos lados sean L. Tendrás un triángulo de altura L y 20 puntadas. …

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  31. No gogely, la construcción que planteas no es posible. Para que fuera posible, las bases de los triángulos deberían ser todas iguales, lo cual no se cumple en este caso.

    Además, en el comentario que te editó ^DiAmOnD^ ni te acercaste a la solución del problema, de hecho no sé por qué te lo ha editado.

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  32. Si lo he puesto, es por sabía que no era la respuesta, ni se acercaba … ;).
    De todas formas sigo sin ver los dos datos, sólo tengo que la altura mide L. Lo de los 25 cm sigue sin quedarme claro que se pueda usar para la pregunta a.

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  33. Lo he editado porque un comentario así puede traer consigo correcciones demasiado explícitas por parte de otras personas. Espero que no te haya molestado gogely.

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  34. Aunque me incorporo a los comentarios un poco tarde, como pista para resolver el primer apartado diré que lo de los ISOS me parece una pista muy acertada y que no hay que buscarle “tres pies al gato”, que los conocimientos que se necesitan los sabe un chico de Primaria (siempre que no me haya confundido). A veces nos empeñamos en complicar las cosas y dejamos de lado lo más simple (yo soy la primera a la que le suele pasar).

    Ánimo a todos. Ya queda poco pero todavía hay tiempo de sobra.

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  35. A ver, este me parece que me ha salido “straightforward”, pero antes de enviar la respuesta me he pasado por el foro para “corroborar” mi solución.

    En concreto me preocupan los comentarios que resolvieron la pregunta 3 antes que la pregunta 1. A mi me sale que la pregunta 3 se resuelve muy parecido a la pregunta 1.

    Yo tengo un razonamiento para n trazadas y luego respondo la pregunta 1 y 3 a la vez.
    Y se me hace difícil pensar que mi demostración tiene algún fallo, es bastante sencilla y sigue los pasos que algunos comentan por aquí.

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  36. Aitz, no es necesario resolver las dos primeras cuestiones, para resolver la tercera, pero eso no quiere decir que tu solución sea incorrecta.

    Eso sí, por lo que comentas, creo que no estás teniendo en cuenta algún detalle.

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  37. Aitz, ya que dices que lo tienes resuelto para N trazadas, te propongo que apliques tu fórmula o razonamiento para el caso de 3 trazadas… dibúja el resultado, calcula el valor de los ángulos implicados…

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  38. ¡Buena idea! voy a mirarlo…

    (lo comprobé para n=2 y n=4, porque hasta la tercera pregunta no me pregunté como era la formulilla para los impares)

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  39. Pués me cuadra al dedillo. Por lo que de resolver el tercero antes que el primero para mi no tenía sentido.

    Me he ido a releer el enunciado y ya veo que el caso impar tiene un enunciado para nada natural, hay que leer la letra pequeña: “que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal”

    Lo pongo por si alguien más no había leído esa frase. Ahora ya entiendo como se puede hacer antes el tercero que el primero, gracias.

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  40. Pues ‘menda’, la primera pregunta la resolví cuando hice un ensayo con menos puntadas… Cierto detalle me hizo abrir los ángul… perdón los ojos.
    La 2ª cuestión no veo la manera de resolverla sin trigo.
    Y para la 3ª me pregunté ¿cómo tendría que estar la puntada 20ª?

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  41. Hola a todos. Ya se pasó el plazo. Se abre la veda. Espero ansioso esas resoluciones a la segunda pregunta sin hacer uso de trigonometría. Me tenéis intrigado, Sive, Agus, Sara F. Espero vuestros comentarios con impaciencia. Saludos

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  42. ¿Yo, Julio? Me cito a mi mismo:

    “Yo no sé si se puede o no, Julio. Si se puede, no lo vi.”

    La segunda pregunta me sale:

    L = 25 \tan{\frac{\pi}{40}}

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  43. Después de leer los distintos comentarios de “trigonometría si, trigonometría no” y pasado el tiempo de veda… creo que el verdadero enunciado debería ser:
    Demostrar que:
    cos(π/n)+cos2(π/n)+cos3(π/n)+cos4(π/n)+⋯cos(n-2)/2n(π/n)=1/2(cot(π/n)-1) con un mínimo de trigonometría
    Aprovecho para poner el primer comentario de ayuda, “con una máquina de coser es muy fácil”
    Saludos

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  44. Hola Sebas, “a ojo” obtengo que para n=4 no se cumple tu fórmula.
    Por ir concretando, ¿os da alfa=4’5º?

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  45. Sí Agus, lo puse dos comentarios más arriba, en radianes, pero es lo mismo.

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  46. Ok, Sive! necesito café urgente, no veo…
    Empiezo con la 1. (Alfa=A). Si empezamos a dibujar triángulos isósceles desde la última puntada hacia atrás, encontramos q el ángulo desigual es 2*A*n (n=nº de triángulo isósceles, numerando según nos acercamos al vértice). En el último triángulo, se deberá cumplir 180-2*A=2*A*n con n=19, ya q habrá tantas puntadas como nº de triángulos +1 y queremos que sean 20. De ahí, n=4’5º

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  47. Creo que es más fácil partiendo desde el vértice hasta la puntada perpendicular a la base. Si además se considera que la última puntada es un triángulo isosceles con la base igual a cero, se simplifica aún más (aunque esto último no es necesario).

    Así tendríamos en total 20 triángulos (contando los que están ‘boca abajo’), y el ultimo de ellos bastante singular, con un ángulo no desigual de 90º. Se puede demostrar que el ángulo no desigual es n\alpha, siendo n el número de triángulo contando desde el vértice.

    Así que tendríamos 20 \alpha = 90, de donde \alpha = 9/2

    Faltaría demostrar que el ángulo no desigual es n\alpha, pero es difícil sin poder dibujar, así que ni lo intentaré.

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  48. Yo me he currado unos dibujos explicativos para demostrar de forma fácil la formulilla
    alfa = 180 / 2n

    Donde n es el número de puntadas y la fórmula está en grados, luego los cuelgo (ya que me lo he currado…)

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  49. Buenos dias, todos coincidimos, alfa = 4,5º , deducido alfa el resto ……. disparidad de respuestas y todas correctas, yo como no he sabido hacerlo sin trigonometria pues no lo he enviado, estoy ansioso por ver la solución que dán, supongo que los que hayan enviado L con solución trigonometrica la darán por valida.

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  50. Por cierto, que no lo hemos comentado, la respuesta a la pregunta 3, es que no se puede hacer con 21 puntadas ni, en general, con un número impar de puntadas.

    La razón es que la última puntada debería ser de arriba a abajo, formando un triángulo isosceles con la base sobre la base del triángulo grande. Pero este triángulo tendría 90º de angulo no desigual, y eso querría decir que la puntada se solaparía con la anterior, lo cual está explícitamente prohibido en las condiciones del problema.

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  51. Voy a poner la forma más chorra pero que más me gusta para resolver el aptdo. 2. Es chorra porque es una aproximación (muy buena,al estilo de Arquímedes, ahora veréis…), pero es la q me llevó a otra solución mejor. Este fue mi primer intento, por si sirve de inspiración a alguien más, SIN TRIGONOMETRÍA: tomamos 20 triángulos rectángulos como el del primer apartado (con catetos: 25 y la longitud de la puntada, l, incógnita) y los apilamos en forma de abanico (cateto largo (L) sobre hipotenusa). Con 20, cubrimos un cuarto de círculo de radio L (20*4’5º=90º, obvio). El ángulo alfa es suficiente pequeño para obtener una aproximación muy buena (hay q suponer q no tenemos conocimientos de trigonometría, como digo…).Es inmediato, igualando las áreas de los 20 triángulos a la del sector que
    Pi*L^2/4= 20* (L*l/2), siendo l la longitud de la puntada.
    De ahí: l=Pi*5/8=1’963…

    Saludos.

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  52. Pués yo también afirmo que la 2ª cuestión debe de resolverse sin trigonometría, pero no sé como. En 3º de ESO no se da y cómo sabéis, hasta ahora no se ha necesitado utilizar ninguna herramienta avanzada de matemáticas. Debe poder hacerse de forma exacta, ¿cómo?

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  53. Yo creo q he dado una buena pista… Nunca me gustaron los problemas de teselas, y mira por donde… De todas formas, con el área del círculo ya veis que se alcanza buena precisión, al estilo del método de integración por rectángulos o trapecios en Cálculo Numérico, pero con triángulos (incluso usando el método evidente de la tangente, hay que redondear el resultado, así q 1.963 no está mal…). Eso sí: se pueden empaquetar triángulos de una forma óptima (al menos).

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  54. Agus: tienes razón, me he equivocado el transcribir la igualdad, de la misma forma que creia haber enviado hace un momento la corrección, lo intentaré de nuevo y en todo caso expondré la deducción a partir de los ISOS
    Intento nuevamente escribir la igualdad:
    cos(π/n)+cos2 (π/n)+cos3 (π/n)+cos4 (π/n)+⋯cos(n-2)/2 (π/n)=1/2(cot(π/2n)-1)
    Saludos

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  55. La tercera pregunta sí tiene solución. La única diferencia es que la primera puntada no es horizontal.

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  56. @Julio: el segundo apartado lo resolví por trigonometría, no me compliqué más. Con lo de los conocimientos de un chico de Primaria me refería sólo al primer apartado (y bueno, al tercero, aunque eso no lo especifiqué). Sólo me centré en ese porque me pareció que era donde había más dudas.

    Yo también estoy intrigada con lo de cómo resolver el segundo apartado sin trigonometría, aunque, en fin, la trigonometría no es más que proporciones entre lados de triángulos. Siempre cabe la posibilidad de hacer un dibujo real o a escala del triángulo rectángulo en cuestión y medir el lado que se pide. No es una forma elegante (sobre todo para los matemáticos) pero creo que es válida.

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  57. Total, lo esperado. Una semana entera diciendo Agus que era capaz de resolver la segunda cuestión sin usar trigonometría, y cuando llega la hora de la verdad… que ¡es una aproximación! ¡y utiliza la palabra “resolver”! Con dos coj… Bueno, pues nada, encantado. A riesgo de caer en el típico chiste fácil… ¿Tú no serás ingeniero, no?
    Pues parece ser que las chicas del vídeo saldrán hablando de razones trigonométricas. Lo habrán aprendido por su cuenta, porque en 3º de la E.S.O., no creo.
    P.D. Disculpa, Sive, si te leí mal.

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  58. Vale, Julio. Veo que no has leido lo que escribí o solo una parte. Ale, saludos, no creo que usen trigonometría porque entonces el apartado 2 sería una memez.
    En tu caso, como yo no tengo prejuicios contra ninguna carrera, te deseo suerte y que la próxima vez leas mejor.
    Por cierto, sin trigonometría, muchos grandes matemáticos usaron métodos de aproximaciones de cuadratura que o bien les llevaban a una solución que no podían alcanzar de otra forma o bien les servían de pista para, conociendo el resultado, volver atrás y replantear su solución. Si suponemos, como parece lógico, que no se puede ir más allá de las herramientas de la ESO, apuesto a que optaran por empaquetar triángulos,pero no en forma de círculo, sino mejor, como dije, solo que tú no lees. Si estás frustrado porque no encuentras la solución, ten paciencia y métete contigo mismo por no ser capaz de hacerlo, no contra los demás que lo intentamos. Nunca me ha gustado debatir soluciones en foros, paso de volver a hacerlo, ciao.

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  59. Julio, se me olvidaba, las semanas no tienen 3 días. Esa afirmación no es ni siquiera próxima al resultado. Te informo que es 7.

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  60. Pido tranquilidad a todo el mundo con los comentarios. no quiero borrar ningún comentario porque alguien se pase menospreciando a otro comentarista. Muchas gracias.

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  61. @anasylow, lamento decirte que tienes mal la respuesta 3. Con 21 puntadas, no se puede construir la figura que piden.

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  62. Sin comentarios

    Segunda pregunta: Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?

    Consideremos A el origen de la última puntada y B el final de la última puntada.

    Si OA = 25 cm y AB = l es la longitud de la puntada, tendremos tan 4,5°=l / 25 de donde l= 25 x tan 4,5º. La calculadora nos da l = 1.9675427 que convendrá redondear como 1,97 cm o, incluso, como 20 mm.

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  63. Pues sí que se han complicado para calcular el ángulo. No ha llegado al extremo del problema anterior (cuya solución publicada fue delirantemente más complicada de lo necesario), pero sí que dan más vueltas que las imprescindibles.

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  64. Si lo llego a saber me habría quedado con la solución de la tangente o la del área del círculo que expliqué y que, personalmente, me divirtió bastante aunque, como dije, era un poco chorra solo por buscar un método que no implicara trigonometría… En fin, esperemos al próximo!

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  65. Los ángulos que forman las puntadas pares con la recta base son 0, 2\alpha, 4\alpha, 6\alpha, \ldots y los ángulos que forman las puntadas impares con la otra recta son \alpha, 3\alpha, 5\alpha, 7\alpha, \ldots

    De donde resulta que, aplicando el teorema del seno y la fórmula del seno del ángulo doble, tenemos las siguientes identidades, válidas para cualquier \alpha:

     \displaystyle 1+2 \sum_{k=1}^n cos(2k\alpha) = \dfrac {sin((2n+1)\alpha)}{sin(\alpha)} \qquad 2 \sum_{k=1}^n cos((2k-1)\alpha) = \dfrac {sin(2n\alpha)}{sin(\alpha)}

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  66. Perdón, pero yo coincido con Julio.

    Agus ha afirmado categóricamente que la segunda pregunta podía resolverse sin utilizar trigonometría y se ha limitado a dar un resultado aproximado, usando un método ingenioso, es cierto, pero en ningún caso creo que se pueda considerar a eso “resolver” el problema.

    Por otro lado es cierto que la trigonometría está basada en la proporcionalidad de triángulos, pero sin la ayuda de ella no podríamos resolver en la mayoría de los casos, por ejemplo, un triángulo rectángulo del que conociéramos sólo dos datos (dos lados, o un lado y un ángulo) tal como afirma Agus, a no ser que considerásemos la posiblidad de coger una regla o un transportaángulos y nos pongamos a medir directamente.

    ¿Cómo resolver, por ejemplo, un triángulo rectángulo del que sólo conocemos sus dos catetos? Evidentemente el cociente entre las longitudes de dichos catetos es el mismo para todos los triángulos proporcionales entre sí, muy bien, pero ¿cómo calculamos los ángulos del triángulo? ¿comparando con qué otro triángulo?

    No, lo que hacemos es acudir a una tabla (o una calculadora) y ver a qué ángulo corresponde cada uno de los posibles cocientes, pero eso no es más que usar trigonometía, de hecho estaríamos calculando un arcotangente.

    Es cierto que las razones trigonométricas de determinados ángulos (es decir los posibles cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo del que dicho ángulo forma parte) pueden ser deducidos teóricamente de forma exacta, tal como todos aprendimos a deducir las razones trigonométricas de 30º,45º o 60º, por ejemplo, e incluso puede ser que la tangente de 4.5º también pueda ser deducida teóricamente de forma exacta, pero hasta que Agus no nos ilustre sobre cómo hacerlo, mucho me temo que no nos queda más remedio que echar mano de la trigonometría…

    Un saludo

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  67. Las razones trigonométricas de 4’5 tambien se pueden deducir, como mitad de 9 que a su vez es mitad de 18 que podemos calcular por Phi (lado del decágono parte áurea del radio)

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  68. No dudo que se puedan deducir teóricamente las razones trigonómetricas de 4.5º y de otros muchos ángulos divisores o múltiplos de ángulos conocidos.

    Pero, ¿alguien sabría deducir teóricamente y de manera exacta las razones trigonométricas de 37º13’41”? O lo que es lo mismo, ¿Agus, o cualquier otro podría calcular los lados y las alturas de un triángulo rectángulo del que sabemos que uno de sus catetos mide 5cm y que uno de sus lados mide 37º13’41”?

    Lo que trataba de mostrar es que la afirmación hecha por Agus cuando dijo (cito literalmente): “si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo y el lado opuesto, pueden sacarse los lados y alturas solo con semejanza” no es cierta.

    La afirmación correcta sería: si en un triángulo rectángulo conoces un ángulo y el lado opuesto, y usas la trigonometría, pueden sacarse los lados y alturas.

    Pero es que usar la trigonometría consiste en consultar, antiguamente en tablas, hoy en calculadoras, la correspondencia que existe entre determinados ángulos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo que contenga a dicho ángulo (es decir, las razones trigonométricas del ángulo).

    Un saludo

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  69. No es que no supiera leer, es que debo seguir sin saber leer. Copio y pego:

    Agus | 12 de June de 2011 | 21:21
    Se puede sacar sin trigonometría…
    (mensaje comentando la solución a la segunda pregunta del problema)

    Pero si quieres seguir escribiendo mensajes diciendo que no sé leer, pues sigue. Nada te lo impide.

    En cuanto al resto de tu comentario hacia mí, mi enhorabuena.

    (Cito)Ale, saludos, no creo que usen trigonometría (refiriéndote a la solución de El País)

    Agus, uy, casi aciertas.

    (Cito)Si estás frustrado porque no encuentras la solución

    Agus, ni yo ni nadie, hasta ahora, ha encontrado en este foro la solución a la segunda pregunta sin trigonometría.

    (Cito)En tu caso, como yo no tengo prejuicios contra ninguna carrera, te deseo suerte y que la próxima vez leas mejor.

    Agus, dos cosas,
    1. No entiendo la relación de causalidad entre no tener prejuicios hacia una carrera y desearme suerte. Me tiene intrigado, pero no hace falta me respondas.
    2. Realmente, cuando hice la pregunta: “¿Tú no serás ingeniero?” Era una gracia, no era una bordería. Creía que conocerías los típicos chistes de van un matemático, un físico y un ingeniero… que tienen que ver precisamente con los métodos de resolución y las aproximaciones.

    Y, en último lugar, pedir disculpas al foro por este enfrentamiento. He leído tu mensaje, gaussianos.

    Pero quiero dejar constancia de lo que ha ocurrido: la historia es que yo dije que pensaba que no se podía resolver la segunda cuestión sin usar trigonometría. Agus respondió diciendo que sí sabía. Que él lo sabía hacer. Pero con buen criterio dijo que no lo diría hasta que se pasara el plazo de enviar soluciones al concurso. Hemos estado varias personas debatiendo (muchos mensajes) sobre si era posible o no resolver el problema sin usar trigonometría a raíz del comentario de Agus. Al final, cuando llega el día, resulta que Agus anuncia que no lo sabe resolver sin trigonometría, que lo que él tiene es una aproximación. Pues bien, he creído que no era faltar a las normas del foro recriminar la actitud de Agus, ya que que ha mantenido una mentira durante días. Y digo mentira, porque no es que estuviera equivocado. Equivocarse no me parecería mal, por supuesto. Mentira porque sabía que no era una resolución del ejercicio, sino tan solo una aproximación, y pese a ello insistió en que se podía resolver sin trigonometría. Después de mi mensaje, que pudo ser un poco sarcástico, él me ha contestado con otro sin duda muy borde, que en mi opinión le deja en evidencia. Creo que es eso lo que ha pasado.

    En cualquier caso, disculpas a todos. Por mi parte, no volveré al tema.

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  70. De todo esto yo me quedo con el comentario de Sebas.
    ¡Corto y directo!

    ¡Grande Sebas!

    Así que para los que querían saber si se puede hacer el segundo ejercicio sin trigonometría, pués parece ser que sí, gracias a Sebas que es un crack.

    tan(4,5) = =-(-RAIZ(2)*RAIZ((C^2+RAIZ(C^2+1)+1)/C^2)*C+RAIZ(C^2+1)+1)/C

    dónde C es tan(18) que por el teorema de Sebas:

    C = tan(18) = (-1+RAIZ(5)) / RAIZ(2)*RAIZ(5+RAIZ(5))

    No me cansaré de decirlo (en medio de una discusión que a nadie le va ni le viene…) ¡gran comentario de Sebas! xD

    Saludos

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  71. Yo entiendo que deducir las razones trigonométricas equivale a usar trigonometría.

    Es que si no, la cuestion es trivial, claro que se puede resolver este problema y cualquier otro sin usar trigonometría… basta con reinventarla si es necesario.

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  72. O para los amantes de Excel:

    C1 = (-1+RAIZ(5)) / (RAIZ(2)*RAIZ(5+RAIZ(5)))

    TAN(4,5*PI()/180) =
    =-(-RAIZ(2)*RAIZ((C1^2+RAIZ(C1^2+1)+1)/C1^2)*C1+RAIZ(C1^2+1)+1)/C1

    PD: ¡Grande Sebas! xD

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  73. Bravo, Sebas. Está sí que es una gran aportación. Enhorabuena. Estoy deseando tener un rato para pode ponerme a estudiarlo y llegar yo a esa expresión.

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  74. Sive, pues yo tengo la idea de que no se pueden deducir expresiones aritméticas exactas para todas las razones trigonométricas de todos los ángulos. Unos sí y otros no. Parece ser que las razones de 4,5º sí son deducibles. Y no es necesario, por tanto, hacer uso de una expresión del tipo “tan4,5º”. En otros casos, no hay más remedio. ¿Qué pensáis de esto?

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  75. Quizá se pueda para todos aquellos ángulos que puedan expresarse como una fracción (cociente entre enteros) de un ángulo como 90º, 60º o algo así (en este caso contradiría un comentario anterior mío en que dudaba de que las razones de 37º13’41” pudiesen deducirse teóricamente, ya que ese ángulo podría obtenerse como una fracción de, por ejemplo, 90º).

    Pero intuyo (y sé lo peligroso que es intuir…), como Julio, que no debe ser posible para cualquier ángulo. Por ejemplo, ¿y si la medida del ángulo viene dada por un número irracional? ¿Por ejemplo RAIZ(2)º o RAIZ(2) radianes?

    No sé…

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  76. Aunque no se pueda calcular una expresión para las razones trigonométricas de cualquier ángulo, eso no invalida mi argumento.

    Si reinventar la trigonometría cuenta como “no usar la trigonometría”, entonces este debate no tiene sentido.

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  77. Para sacar más cosas interesantes sobre este tema.

    Me parece interesante la pregunta de Carlos y Julio.

    Aunque por mi parte como estamos hablando de funciones analíticas expresar los resultados como series no me parece mal, pero entiendo que esto es lo que queréis evitar. Bueno, pues parece que quizás hay una técnica para llegar a la formulita que he puesto sin usar la indicación de Sebas, no me he leído de que va pero podéis encontrar información en el siguiente link: http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

    Yo la fórmula que he puesto arriba la he sacado con la indicación de Sebas y matemáticas elementales (lo más complicado que se usa es las típicas fórmulas de ángulo doble que son fácilmente deducibles con álgebra sin uso de series de Taylor que para mi es el punto diferencial en este tema), desconocía todo esto de los polinomios de Chebyshev en el momento que calculé esa expresión.

    Y para la expresión de tan(4,5) en terminos de los polinomios de Chebyshev podéis usar esta fantástica página de wolfram:
    http://www.wolframalpha.com

    Es como un buscador pero tiene un intérprete algebraico, bueno, que casi es como usar el Mathematica online.

    Buscad en ese buscador:
    tan( 4.5º)
    tan( 2^(1/2) º)

    Al final salen las expresiones con los polinomios de Chebyshev.

    PD: Al tanto, yo en este post no pretendo afirmar nada de forma rotunda. Solo doy cuatro links que me parecen interesantes entorno a las últimas cuestiones. No me los he mirado con profundidad.

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  78. “Aunque no se pueda calcular una expresión para las razones trigonométricas de cualquier ángulo…”

    Pero en la práctica sí se puede (es decir, dado un epsilon, existe una expresión, bla, bla, …).

    A partir de la tabla que ya se discutió en Gaussianos y descomponiendo ángulos como en el ejemplo de aquí.

    Sí, ya, no es lo mismo, pero no está de más aclarar que podemos acercarnos tanto como queramos.

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  79. Veo que sigue la discusión en torno si trigonometría si, trigonometría no. Yo creía estar al margen, pero veo que sacan jugo a mis comentarios, gracias!!
    Para mí la trigonometría (tri gono metria, tres ángulo medida) en aquel bachiller era medición de los ángulos de un triangulo, al margen de utilizar tablas, regla de cálculo (no existía la calculadora) o no.
    Únicamente he querido recordar cosas, a nivel de bachiller que posiblemente estudiamos y no vimos ninguna utilidad, ni siquiera como pasatiempos. Singularidades hay muchas y saltan sin que lo esperes, por ejemplo la curiosa formula de cosenos que apunte, basta que a los triángulos isósceles con la base en la línea horizontal que tenéis dibujado le coloquéis el valor de dichas bases y salta a la vista que tgα= … y a retocar un poco. Como hice la primera vez al comentarla me equivoque en la escritura, a lo mejor lo he vuelto hacer.
    Aunque para calcular tg4,5 (por ejemplo)no haga falta el manejo de las tablas trigonométricas considero que hago uso de unos conocimientos mas o menos elementales de trigonometría.
    Saludos

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  80. Concretamente los ingredientes de la receta son:
    – el teorema de Pitágoras 1 vez.
    – la fórmula trugonométrica de ángulo doble \tan(2 \alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1-\tan(\alpha)^2} un par de veces.
    – resolver una bicuadrada 1 vez.
    – Argumentar cual es la solución correspondiente a nuestro caso no tiene precio. (o algo así).

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  81. Carlos, disculpa que no te responda en el mismo tono.
    No tengo mucho tiempo libre.

    Si de los 2, tú y yo, hubiéramos tenido que enviar una respuesta a la 2ªpregunta sin usar trigonometría ni ninguna herramienta matemática que no se haya dado hasta 3º de ESO (curso en el que están las chicas que presentan el problema), tú no habrías enviado nada y yo 1’96…, que es la aproximación que ha enviado la gente (por algún decimal hay que cortar y yo habría cortado por ahí, de hecho las chicas redondean aún más).

    Te repito que con esas herramientas, muchos matemáticos que desconocían la trigonometría y no poseían tablas (cité a Arquímedes después de decir que mi solución era chorra) habrían hecho lo mismo que hice yo probablemente: construir mentalmente una figura en la que el ángulo de 4’5º se transforme en un ángulo mayor y así se pueda calcular el área de una figura mayor… Gracias a quien le ha gustado mi forma de dar un resultado y siento no haber propuesto otra (al final, con triángulos mayores e incluso una esfera hecha a base de pirámides, no llegué a pasar de las 4 cifras decimales correctas). El primer día, cuando dije q se podía hallar sin trigonometría, construí otras figuras empaquetando triángulos y obtuve varias soluciones sin trigonometría, todas 1’96… Exageré y pido disculpas, pues creí q obtendría una solución exacta, pero estoy contento porque no he visto que nadie haya propuesto una forma de llegar al 1’96 sin usar ninguna herramienta que sea de 3º de la ESO o un curso inferior.

    Yo no bromeo como tú Carlos. Entré en el foro porque pensé que podría ser interesante aportar mi idea a ver si alguien se inspiraba y le sacaba más partido. Todo el mundo vió inmediato el método de la tangente. Disculpas de nuevo por haber saltado a la piscina demasiado pronto. Respeto que te indignes con este tema, pero no voy a responderte de nuevo ni entrar en debates que a mí me parecen poca cosa comparado con otras cuestiones a las que me interesa dedicar más tiempo antes que entrar a debatir contigo.

    Solo por acabar, te recuerdo que no solo yo, sino mucha más gente, pensamos desde el primer momento, y alguno así lo dijo aparte de mí, que debería haber otro camino distinto al de usar trigonometría pues hasta ahora las soluciones de los problemas propuestos se basan en herramientas elementales. Tanto más probable parecía esto cuando las dos chicas eran de 3º de ESO. Me equivoqué al pensar que fuera así, pero al menos me sirvió para encontrar otros caminos que no involucraran trigonometría y así enviar un resultado al concurso y disfruté indagando, q es el propósito del concurso. Respondiéndote no disfruto y me parece una pérdida de tiempo, pero ya que has hablado de mí en varias ocasiones, lo hago por respeto, ya que di pié a que pensaras que tenía una solución exacta.

    Me gustan las aportaciones de Sive, Sebas y Aitz, que me parecen muy interesantes. Saludos.

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