Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 14

Una entrega más de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Ayer jueves apareció el decimocuarto de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema catorce se titula Partículas en colisión y lo propone Antonio Aranda Plata, profesor asistente honorario del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 20 de junio.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. Me ha gustado mucho.

    La respuesta correcta se demuestra muy brevemente, si se enfoca bien… pero eso no quiere decir que sea fácil.

    A mí ese 17 me despistó durante un rato.

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  2. Menudo royo de problema, ya han puesto uno parecido.

    En fin, si habéis encontrado una secuencia como la que piden la podéis testear en este script rápido que he hecho (no me tengáis en cuenta si hay algún bug ;P ).

    Colisiones tester!

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  3. ¡Creo que lo tengo! Una pista: la clave está en la divisibilidad entre 3.

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  4. Espero no equivocarme. Lo resuelvo muy rápido al estilo “cubo”. Vosotros tb?

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  5. No pillo lo del estilo cubo Agus. Mi solución es breve, pero es al estilo Juanjo, a juzgar por su comentario.

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  6. En principio tambien apoyo divisibilidad por 3
    No parece tan animado como el anterior, parece que los clientes se inclinan mas por la trigonometría, o geometría, esperemos que salga otro para que podamos seguir tirandonos del moño

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  7. Me refería al cubo de +/-1, pero no… Ya lo veo por la división entre 3.
    Por si os apetece uno…
    ¿Sabríais probar que cos(pi/7)-cos(2*pi/7)+cos(3*pi/7)=0.5?

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  8. Agus: Creo que generalizando tu igualdad ha de ser mejor que la mia.
    Saludos

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  9. Ey, Sebas, buena idea pero aquí el segundo término es negativo. Resolverlo es “complejo” 🙂

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  10. A ojo entiendo que consideras un isosceles en vez de un rectangulo, por tanto dos lados iguales. Creo que puedes generalizar (sin problemas con los negativos), mas tarde lo intento a ver si coincidimos.
    Saludos

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  11. Ok, la igualdad puede demostrarse usando números complejos. El problema salió en unas competiciones estatales de EEUU hace unos años.

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  12. Desconocia el origen de este problema y no he intentado demostración analitica, en base al problema anterior como he comentado considero n+1 puntadas y condicionando que la última con las rectas forme un triangulo isosceles, igualando los dos lados, haciendo tramsposición de terminos y generalizando tendremos (salvo error de mi escritura de la formula):
    cos{2pi/(2n+1)}-cos{2*2pi/(2n+1)}+cos{3*2pi/(2n+1)-cos{4*2pi/(2n+1)… +(-1)^(n+1)*cos{n*2pi/(2n+1)=1/2
    Comprueba y corrigeme si tengo fallos

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  13. gaussianos y demas: Perdón, creo que un servidor junto con Agus nos hemos adueñado de un terreno que era para otro menester.
    Perdón y gracias
    Saludos

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  14. Mi enfoque has sido plantear un sistema de ecuaciones lineales que da el número de partículas positivas, negativas y neutras después de x choques del primer tipo, de y del segundo y de z del tercero.

    Después sólo hay que estudiar los sistemas para los tres hipotéticos estados finales (todas las partículas positivas, todas negativas o todas neutras).

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  15. Mientras habléis de matemáticas creo que aquí nadie se molesta.
    ¡Siempre es de interés!

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  16. Es que no veo claro cómo particularizar esa expresión… Tomo n=3 para q el denominador sea 7, pero según creo, tu sumatorio tendría 4 sumandos (pq indicas que hay que sumar hasta (n+1)). Además, tomando n=3 para q el denominador sea 7, el numerador no se corresponde con el del problema. Usando números complejos sale. Supongo q la próxima vez, mejor envío el problema a Gaussianos por si interesa. Saludos!

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  17. Para n=3 son 4 (n+1) puntadas del famoso dibujo (la 1ª horizontal, 2 oblicuas mas una 4ª que seria la base del triangulo isósceles total), pero unicamente 3 sumandos cuyos ángulos son 1*2pi/(2n+1), 2*2pi/(2n+1) y 3*2pi/(2n+1), Sino lo he expresado mal.
    Saludos

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  18. Agus: Tienes razón, vuelvo a equivocarme, los numeradores son unicamente “pi” en lugar de “2pi” …fallo garrafal ¡¡¡¡
    Saludos

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