Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 16

Un nuevo viernes os traigo uno de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Hoy mismo apareció el decimosexto de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema dieciséis se titula Una molécula de siete átomos y lo propone Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 4 de julio.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

82 Comentarios

  1. Igual es porque no he prestado mucha atención, pero si cabe la posibilidad de poner coordenadas racionales e irracionales, ¿por qué no se pueden poner todos los átomos dentro de un círculo de radio 1/2?

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  2. He pensado lo mismo Lola, así que supongo que la condición es que los átomos estén a exactamente 1 amstrong.

    Deberían cuidar más estos detalles, algunos de los planteamientos han sido muy poco claros.

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  3. A mí “estén a un ångström de distancia” me parece clarísimo. ¿Por qué hace falta poner “exactamente”? Supongo que es deformación profesional, pero me parece que a veces confundimos rigor con rigidez.

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  4. Yo también pienso que estaba claro que la distancia tenía que ser exactamente 1 ångström, ya que si no fuera así debían haber dicho algo así como “…como mucho a una distancia de…” o “…a distancia menor o igual a…”.

    Por cierto, se ha cambiado el título del problema. Yo ya lo he actualizado en el post.

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  5. A mí me quedó claro que tenía que ser exactamente 1 pero porque en caso contrario el problema sería trivial, no porque el enunciado lo aclarara.

    Además, es contradictorio pretender querer llegar al máximo de gente posible, y después agarrarse al hecho de que el enunciado es literalmente correcto (cosa que nadie ha negado).

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  6. Solución enviada. Aunque geométricamente la solución puede quedar bastante sencilla, luego a la hora de sacar las coordenadas he tenido que jugar bastante con senos y con cosenos.

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  7. Yo se que soy muy torpe para los enunciados, pero este también me parece que está mal explicado.

    Dicen que los átomos deben estar a 1 de distancia, vale, ¡pero no dicen cómo es un átomo!, ¿es un punto?, ¿es un círculo?, … ¿es un avión?.

    NOTA 1: la distancia entre dos conjuntos es la menor de las distancias de los pares de puntos del producto cartesiano, pero ¿cual es el conjunto de puntos que ocupa un átomo?.

    NOTA 2: sí, claro, que un átomo ocupa un punto es evidente…

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  8. Jose Juan sobre eso que dices:

    NOTA 1: la distancia entre dos conjuntos es la menor de las distancias de los pares de puntos del producto cartesiano, pero ¿cual es el conjunto de puntos que ocupa un átomo?.

    Desde luego que esa afirmación es un poco valiente. Si hay que hablar entre distancias entre conjuntos, ya que nos ponemos, lo normal sería usar la de Hausford que consiste en estudiar la máxima distancia de los puntos de A a B, la máxima distancia de los puntos de B a A y de estos 2 números, quedarte con el más grande. Y digo que sería más lógico usar esta distancia porque al menos cumple que si la distancia es 0, la clausura de ambos conjuntos son iguales (que no llega a cumplir lo de d(a,b)=0 a=b pero se acerca).

    Y tengo que decir que estáis muy puntillosos hoy con el enunciado. Lo que han comentado en el comentario #1 y #2 no tenía sentido. Lo tuyo tiene algo más de sentido, pero está claro que en el enunciado están considerando al átomo como un punto, y si no te gusta así, pues haz como los físicos y considera que cuando hablan de distancias, se refieren a la distancia entre los centros de masa (como en el caso de r en la fórmula F=GxMxm/r^2).

    Y es que es más, un átomo es imposible considerarlo como un conjunto, entre otras cosas, porque sus electrones no pueden ser considerados sin movimiento, no estén en un sitio en ningún momento en particular.

    En fin, puedo enrollarme todo lo que quiera, pero en definitiva, el enunciado está totalmente claro, podéis encontrar pegas si os esforzáis, pero dudo que sean pegas en las que en realidad no tengas claro lo que se quería decir en el enunciado.

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  9. Tu réplica (zurditorium) sobre la distancia entre conjuntos es una impertinencia que no responderé.

    En cuanto a:

    “pero está claro que en el enunciado están considerando al átomo como un punto”

    díme dónde lo dejan claro de forma objetiva.

    De hecho. ante la duda. me dirigí al vídeo (y eso que el enunciado lo ponen para aclarar dudas ¡y ahí son circunferencias! (si es que ni siquiera es un punto gordo).

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  10. Qué mal estoy últimamente. De nuevo, este problema vuelve a parecerme muy fácil, pero mi bombilla lleva apagada muchos días y no encuentro corriente por ningún sitio…

    Y encima ahora me quedo todo el verano casi sin Internet.

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  11. JoseJuan, ¿impertinencia lo que he dicho de los conjuntos? ¿Te piensas que te lo he dicho con desconocimiento? Creo que me has malinterpretado (aparte de que no sé por qué he escrito tan mal Hausdorff!!!), lo que he dicho no era hablar por hablar. Por si te piensas que lo que he dicho me lo he inventado, aquí tienes un link de la wikiipedia, como los que te gustan poner a ti hablando de la distancia de Hausdorff:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Hausdorff

    Aunque en la wikipedia ponga que es para compactos y luego que también vale para cerrados, en realidad vale para conjuntos arbitrarios. Lo que pasa es que si nos restringimos a los conjuntos compactos, cumple con la definición formal de distancia que aparece en el link de la wikipedia que has puesto y se puede considerar una distancia propiamente. Sin embargo, con la definición de distancia que estás usando tú, solo se cumple la simétrica y la no negativa, las otras 3 son falsas por lo que de hecho no se puede decir que es una distancia propiamente dicha.

    Y lo que sigues diciendo de que el enunciado sigue sin estar claro. En el problema te piden la coordenada en la que se sitúa cada átomo. Si te habla de coordenadas, está absolutamente claro que están considerando los átomos como puntos.

    Un saludo.

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  12. @Rafalillo, te puedo asegurar que no, que el problema no es fácil, o al menos la solución que yo he obtenido no es fácil de imaginar (y me refiero a la parte de imaginarse el conjunto, no ya a dar las coordenadas). Y que lo he sacado gracias a que ya había usado el mismo conjunto para resolver otro problema de lógica totalmente distinto.

    No me extrañaría que este problema tenga menos respuestas correctas que el anterior (que tuvo muy pocas).

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  13. Chicos tranquilidad, a ver si nos vamos a enfadar por el enunciado de un problema.

    Yo ya he dado mi opinión: creo que el enunciado del problema está suficientemente claro. Aunque bueno, sí es cierto que podían haber especificado algo más algunos detalles del mismo.

    Pero vamos, que no es para cabrearse. Gracias por vuestra comprensión.

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  14. Yo estoy muy tranquilo y únicamente me importan los aspectos prácticos de la discusión, por eso no quise entrar en el tema de la distancia.

    Ya obligado, y dado que se me atribuyen lindezas como “los que te gustan poner a ti hablando de la distancia de Hausdorff”.

    1. Yo en ningún momento he hablado de la distancia de Hausdorff.
    2. Yo no he dicho que la distancia de Hausdorff sea menos oportuna (aunque lo es).
    3. Mi definición de distancia era pertinente (venía al caso) y es válida al 100% dentro de los límites del problema.
    4. Tu referencia a la distancia de Hausdorff (por 2, pero sobre todo por 3) ha sido impertinente.
    5. En el problema te piden las coordenadas pero, y cito literalmente “se cumpla que al menos dos de ellos (los átomos) estén a un ångström de distancia”, sea como quiera que sean los átomos.
    6. Me importa un rábano el concurso, pero sí el aspecto positivo en cuanto a la divulgación e interés que pueda mostrar, por ello, me parece importante (y por eso lo critíco) que los concursantes se vean fustrados (como ha reconocido el propio promotor del concurso al poco de comenzar) a la hora de participar.

    En fin, yo no veo mayor problema en la discusión, de momento nadie se ha insultado… je, je.

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  15. Me ha gustado este problema porque, como dice Zurditorium, la solución no parece fácil de imaginar (yo, al menos, yo no pude hacerlo), y tuve que dar con ella en varios pasos.

    Por cierto, Zurditorium, tengo curiosidad por conocer el “problema de lógica totalmente distinto” en el que necesitaste utilizar este conjunto… ya nos lo contarás una vez se publique la solución.

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  16. Yo he encontrado la solución geométrica con un sencillo grafo de siete vértices. Las coordenadas podría calcularlas fácilmente si tomásemos sencillamente la unidad, pero pasarlo a la unidad pedida me da pereza, jejeje.

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  17. @Rafalillo, por si te vale de consuelo, yo tampoco lo veo, aunque estoy emperrado en hacerlo de cabeza, a lo mejor ese es mi fallo. Ayer me acosté pensando que al despertarme tendría la solución en la cabeza, como sucede tantas veces, pero se ve que esta noche mis neuronas decidieron irse de parranda.

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  18. De hecho, ahora que lo pienso, a menos que me equivoque -agradecería que alguien me corrigiera si así es-, al menos puede existir una configuración geométrica (el grafo que he construido cumple el enunciado), pero, si tomamos el (0,0) como eje de giro de todo el sistema, la configuración se mantiene, pues el diseño del grafo queda inmutable, pero las coordenadas ‘se mueven’ si se hace virar la configuración sobre el eje, en cualquiera de los dos sentidos. Eso me lleva a pensar que existe más de una solución (todas las posibles al virar el grafo dos veces pi). ¿Qué opináis?

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  19. Yo todavía no lo veo y llevo un buen rato haciendo garabatos…
    @Sebastián, efectivamente una vez tengas una solución, tienes infinitas soluciones ya que por rotar la figura completa alrededor de un punto no cambian las distancias entre los puntos de la figura.

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  20. JoseJuan, que en el problema los átomos son considerados puntos y ya está. Deja de darle vueltas. La definición usada para conjuntos da igual porque en el caso de puntos coinciden. Así que creo que es tan pertinente una distancia como la otra en este caso al ser iguales. Y creo que eres la única persona que no tiene claro que en el problema los átomos están siendo considerados puntos. Como ha dicho Diamond, sí, se pueden especificar más las cosas (y prácticamente en cualquier problema que te pongas), pero el enunciado del problema es bastante claro.

    @Jesús, ok, cuando pase el plazo lo pongo por aquí. El problemilla que digo quizá esté resuelto en muchos sitios usando el conjunto que digo y sería por tanto dar una pista demasiado clara.

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  21. Que bonito problema. Quiero agradecer al chico que mencionó lo de los Grafos, me ayudó mucho a encontrar la solución.

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  22. A mí sí me ha resultado bastante complicado pero quizá no de los peores (particularmente opino que el de la semana pasada era más difícil, por lo menos para mí… Si no llegan a dar la pista de El Principio del Palomar por aquí no sé yo si habría dado con la solución). Más que difícil me ha resultado escabroso y largo, pero creo que no se necesitan muchas ideas felices ni nada por el estilo (solamente no obcecarse en algunos puntos).

    Creo que la configuración que he encontrado cumple con lo establecido y lo he comprobado varias veces, pero aún así no me quedo tranquila. A mí me sale algo con cierta simetría y si trazamos los segmentos entre átomos que están a una unidad de distancia hay algún corte entre unos y otros. (¿Quizá sea dar demasiada pista? Pienso que esto solo puede ayudar a las personas que se han puesto en serio a resolver el problema y que pueden estar estancadas por obcecarse, como me ocurrió a mí en un primer momento, pero si me equivoco no tengo ningún problema en que se borre el comentario).

    También me gustaría dar la abcisa de uno de los puntos (pienso que de poco ayuda a una persona que no haya llegado a la solución): (3.11^1/2 – 3^1/2)/12. Desde luego que hay muchas maneras de colocar los átomos, pero creo que no todas son igualmente fáciles de calcular y creo que es probable que muchos lo hayan colocado de la misma manera que yo.

    ¿Alguien coincide con lo que estoy diciendo?

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  23. Por lo que dices hemos debido de llegar a la misma solución.
    También me ha costado bastante, he rellenado un par de folios con dibujos y tachaduras hasta que he dado con una solución.
    Luego el cálculo… funciones trigonométricas por doquier, aprovechándome de la cierta simetría para facilitar los cálculos

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  24. Coincido en la solución con los últimos comentarios. Esa abscisa que da Sara F. me sale a mi como ordenada, lo cual supongo que indica que yo he llegado al mismo dibujo girado 90º.
    Muy bonito problema con dos partes diferenciadas. Primero dar con la distribución geométrica y luego mucha trigonometría.

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  25. Sara no puedes poner decimales: 3.11^1/2 … o es una errata?

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  26. ok, yo prefiero el ‘por’ encima de la tecla 3: 3 · 11^1/2
    pero aceptamos punto bajo como animal de multiplicación 😉

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  27. estoy convecido de que el 80% de los que mandaron la solución fallaron y ese 80% es el que dice aquí haberla encontrado.

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  28. @Guillermo X: de nada 😉

    Anoche, revisando el dichoso grafo que hube garabateado sobre el folio, se me planteó una cuestión adicional. Por isomorfismo de grafos, pude construir uno que seguía cumpliendo la propiedad del enunciado, ésa es, que de un grupo de tres átomos, al menos dos estén a distancia de un ‘amstrong’ (o como se escriba). Con lo cual, a menos que me haya equivocado en la construcción del grafo isomorfo, y considerando que el punto (0,0) puede considerarse como eje de giro del sistema, ¿no es éste un problema un tanto absurdo? Si se acepta que el (0,0) sea un eje de giro, y si mi grafo isomorfo no falla -lo he testado rigurosamente y no he visto discrepancias-, ¿dónde reside la gracia del problema?

    Es sólo una observación, con todos mis respetos a aquéllos que habéis trabajado en el problema. Saludos.

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  29. jajaja un sencillo grafo de siete vértices, juasjuasjuas que arte tiene el Sebastian… por cierto no tienes que pasarlo a amstrongs… sólo llamar a la unidad 1 Amstrong y punto… seguro que si garabateaste una solución correcta a la primera puedes ver esto. LOL.

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  30. @Sebastián, no sé si te entiendo. ¿Quieres decir que hay más de una solución posible? Si te refieres a eso, obviamente hay más de una solución posible, y eso no le quita la gracia al problema por ningún lado. Y si no es eso, explícate mejor, o si no puedes porque darías la solución, hazlo el martes.

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  31. @doctor r| >> es una forma (no digo la única) de resolverlo, ¿no? Basta con ingeniar un grafo que, si bien no da las coordenadas -que, bajo mi hipótesis, no son únicas- de la constitución geométrica de la molécula. Como bien dices: tómese la unidad. Al menos ésta es la parte que nos concierne a los ‘matemáticos’.

    @Zurditorium >> en el vídeo, se piden seis coordenadas para completar la molécula de siete átomos con uno de ellos centrado en (0,0). Si partimos de la hipótesis de que la imagen geométrica (grafo) puede virar sobre el punto (0,0) y, que, además, se pueden construir -acaso que me haya equivocado- grafos isomorfos al que me dio la solución, no es trata de ‘qué gracia tiene el problema’ (perdón si me he explicado mal), pero a efectos matemáticos, es casi una cuestión sin sentido. El mero hecho de poder virar la estructura da infinitas soluciones; y el hecho de encontrar un grafo isomorfo da, como poco, dos configuraciones distintas sobre el plano.

    Por eso digo que no le termino de encontrar la gracia al problema. Pueden existir numerosas formas de resolverlo, de obtener coordenadas correctas (que satisfagan lo que se pide); pero si me debo atener a mis dos premisas -la del viraje sobre el eje y el isomorfismo de grafos-, lo que se pide en en problema es algo que no tiene ‘gracia’. Más que coordenadas se podría preguntar por las aplicaciones lineales (o morfismos) que satisfacen la premisa de que dos átomos mantengan la distancia de un ‘lo que sea’.

    Ya no serían coordenadas, serían ecuaciones o matrices. Al menos como objeción matemática (puramente matemática), me parece un problema que no tiene relevancia. ¿Qué sentido tiene preguntar estrictamente por seis coordenadas cuando éstas pueden ser infinitas y basadas en, como poco, dos modelos estructurales (mediante grafos)?

    Repito, lo afirmo desde mi más profunda modestia y conocimiento limitado. Pero pienso que no tiene sentido por preguntar coordenadas concretas cuando se pueden obtener una multiplicidad de las mismas.

    Admito cualquier corrección. Sólo hago hipótesis e infiero sobre ellas, lo que no es una garantía de acierto, sino, más bien, una cuestión abierta (o que yo no he sabido zanjar).

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  32. Hola a todos,

    Personalmente he encontrado este problema confuso y nada estimulante. Yo también tuve mis problemas con el enunciado. El principal problema fue que supuse que dos átomos no pueden estar más próximos de 1 ångström. Pensé esto porque no hay enlaces atómicos (que yo sepa) que estén a menor distancia que ésta.

    Siguiendo en esa dirección se puede demostrar (o al menos creo que lo hice) que no se puede encontrar una configuración que cumpla la propiedad. Por lo que me di por satisfecho.
    Cuando decís que habéis encontrado una solucíon me he dado cuenta de que mi suposición no debe de ser cierta, así que me puse a trabajar con la posibilidad de disponer átomos a menor distancia de 1 ångström… La solución que enontré fue bastante constructiva y no me gustó un pelo, sinceramente. He tenido literalmente que hacer papiroflexia con los átomos hasta que puedo asegurar la conexión entre ellos de forma que sigan la regla.

    Creo que la solución que he encontrado es correcta puesto que las abscisas de mis átomos están en relaciones del tipo Sqrt(3), Sqrt(11) como las vuestras y además lo de forma que dos átomos que no disten 1 ångström entre sí, estarán a 1 ångström de distancia de todos los demás.

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  33. No se si lo habéis tenido en cuenta en vuestros comentarios, pero a la molécula a la que se refiere el problema es una molécula lineal o lo que es lo mismo que los átomos (puntos) estan alineados en una recta.

    Si lo habéis tenido en cuenta, alguien me podría explicar el sentido de un grafo isomorfo en todo este asunto. Gracias XD

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  34. Todos los átomos no pueden estar en la misma recta. La molécula está en un plano.

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  35. Yo no sé casi nada de isomorfismos o grafos, pero creo que entiendo a Sebastián porque me sale que hay dos estructuras moleculares (muy parecidas entre sí) que cumplen las condiciones.
    Otro tema es que, cuando se pide describir esas estructuras dando las coordenadas de los átomos, entonces hay infinitas posibilidades de elegir esas coordenadas, mediante giros o traslaciones de la estructura inicial. Pero para mí eso no le quita ninguna gracia al problema.
    Quizás habría sido mejor pedir como solución una descripción geométrica de una de esas estructuras, así se evitaría el problema de las infinitas coordenadas, pero supongo que habrán pensado que esa descripción “verbal” podría quedar confusa y difícil de valorar.

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  36. Copio y pego aquí el e-mail que envié a la dirección facilitada en El País y su respuesta. Debo decir que, personalmente, pienso que en esta ocasión la han cagado un poco; pero bueno, cada cuál es libre de pensar lo que quiera…

    “Estimados ‘propositores’:

    Tras una serie de operaciones y reflexiones, considero de forma objetiva que el problema a resolver es absurdo. Les explicaré el porqué:

    He conseguido esbozar un grafo que cumple las condiciones del problema; y no sólo eso, mediante un isomorfismo de grafos, he encontrado (al menos) otro grafo válido, es decir, que cumple las condiciones geométricas del enunciado.

    Pero es más: esta construcción geométrica puede virar en cualquier sentido del plano tomando como eje el punto (0,0), con lo cuál la exigencia de ‘unas coordenadas’ concretas es absurda, pues se pueden obtener infinitas, tanto por una construcción geométrica sobre el plano tanto por la otra -el grafo isomorfo.

    Por lo tanto no considero éste un problema adecuado o acorde al enunciado, pues la solución podría explicarse como aplicación lineal sobre un espacio vectorial R2.

    Es por ello que, a menos que me equivoque, el enunciado del problema y la propuesta de resolución son absurdas.

    Saludos, Sebastián”

    RESPUESTA A MI E-MAIL:

    “Cualquier colección que cumpla las condiciones pedidas es una colección válida. No hemos dicho que sean únicas ni que haya que darlas todas.

    Saludos cordiales y gracias por su participación”.

    ***

    Reitero mi opinión sobre este problema. Que cada uno saque sus conclusiones, si quiere. Saludos.

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  37. Gracias por las contestaciones. Ya me quedo tranquila.

    Sebastián, tranquilízate, hombre… Yo estoy en parte contigo.

    Creo que el que haya infinitas soluciones no es problema siempre que ellos acepten cualquiera de ellas. Además, seguramente la mayoría dé dos principalmente. Ya ves que aquí hemos coincidido muchas personas. Aunque haya infinitas soluciones no todas son igual de fácil de hallar y nos gusta que las cosas estén “derechas”.

    Sí pienso que no deberían pedir las coordenadas, pero me imagino que tienen sus razones, yo no lo sé (¿puede ser que se pueda aprovechar fácilmente un programa informático y que se intente evitar esto?). Es una pena que haya personas que habiendo dado con una solución en el papel no puedan optar al premio por no saber encontrar las coordenadas. Quizá deberían hacer lo que ya hicieron tiempo atrás con el problema de los palillos: dos sorteos…

    En fín. Por otro lado es difícil que llueva a gusto de todos.

    Deseo mucha suerte (a veces también influye) a los que todavía no han dado con una solución.

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  38. Hola Sara. Si estoy tranquilo, totalmente. Sólo quise dejar patente mi opinión, que, siempre que sea respetuosa y coherente, tiene cabida. Como estudiante de Matemáticas pienso que, si bien es un problema que tiene solución, que encontrar las coordenadas conlleva un esfuerzo y, cómo no, un mérito, no considero la propuesta de esta semana como un desafío verdaderamente matemático. Pero, repito, es sólo una opinión.

    Me viene a las mientes uno de mis profesores en la carrera, que actualmente está investigando en el campo de los quaternions, por una cosa que dijo durante una de sus clases. Parafraseo sus palabras que venían a decir que él, como matemático especializado en Álgebra y Topología, no se acordaba bien de cómo se realizaba una simple suma o división aritmética, y no sólo eso, añadió algo así como que él, como matemático, sentía una particular aversión hacia las otras ciencias que se impartían en la Facultad, esto es, Física, Química o Biología por lo ‘tangible’ y poco abstracto de la materia.

    Es otra opinión, supongo, tan válida (o no) o subjetiva como la de cualquier otro.

    PD. Por cierto, interesante blog 🙂

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  39. Dos cuestiones:

    1. parece que el grafo es único ¿alguien lo ha probado o refutado?. *1
    2. ¿alguien ha deducido completamente el grafo? *2

    *1: (para salvar isomorfismos de grafos, traslaciones y rotaciones; exigir que el átomo con más arcos esté en el orígen de coordenadas, que todas las coordenadas sean positivas y que el centro de masas esté en x=y).

    *2: (por ejemplo, es fácil ver que todos los átomos tienen al menos 3 arcos, etc… pero hace falta el tanteo)

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  40. @Garnet, esa pega que pones al enunciado, también la pensé yo, aunque por otro lado eso de que 2 átomos no pueden estar a menos de un ångström de distancia, creo que no es cierto, por ejemplo en una supernova, la distancia entre átomos es mucho menor (aunque nos sé si se podría hablar de estructuras moleculares), y supongo que hay casos no tan extremos donde se pueda reducir esta distancia. En cualquier caso, si no se pudieran coger distancias menores, como bien dices, no tendría solución.

    @Sergiopasc, en ningún momento dice que tenga que ser lineal. La molécula lineal que pone es solo un ejemplo.

    @Sebastián, el que se pueda exigir más en un problema, no significa que no sea suficientemente bueno. De hecho este va a ser de los problemas con menos acertantes diría yo. Pero es que lo que dices es como si en el problema anterior, te hubieras quejado porque dice que todo natural tiene un múltiplo con unos y ceros y en realidad hay infinitos. O porque podrían haber exigido que el múltiplo de n tuviese n cifras o menos, o porque se podría haber enunciado para cualquier base (en vez de base 10), y decir que para cualquier cifra c no nula (cifra en la base prefijada), n tiene un múltiplo de como mucho n cifras formado por las cifras c y 0.

    Además, si se pidiera las aplicaciones lineales que conservan esto y lo otro, ¿de verdad crees que sería un problema más adecuado? Piensa que es un problema planteado para que todo el mundo entienda el enunciado y pueda llegar a planteárselo y resolverlo, pero si te metes con aplicaciones lineales, sería un problema incomprensible en su enunciado para mucha gente.

    No te olvides que aunque haya infinitas soluciones, encontrar ya solo una tiene su dificultad.

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  41. Gracias a todos los que dan pistas
    ¡ Me parecía tirado, y aún no he dado con ello !
    Mi primera idea fue: un hexágono de lado 1 con un átomo en el centro y uno en cada vértice… ooops: los 3 átomos de vertices alternos están a más de 1 de distancia 🙁

    He probado otro par de distribuciones con triángulos equilateros (de lado 1) y “son demasiado extensos” de forma que se pueden escoger 3 átomos distantes más de 1.

    A ver si doy con algo que está “empaquetado más denso”.
    Si hay una coordenada con (11)^1/2 es que la figura es algo “rarita” …

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  42. Yo creo que no he entendido el enunciado todavía.

    No he resuelto el problema (el que yo he entendido), pero sí tengo resultados parciales que demuestran que ningún par de atomos puede estar a más de 2 Ä, y como eso contradice esa coordenada parcial que estáis dando pues… o está mal mi demostración, o no entendí el problema.

    El caso es que he revisado un montón de veces ambas cosas y no veo el error.

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  43. La solución que yo he encontrado, y situada como yo la he situado, no tiene ninguna componente tan “rara”.

    De hecho, si multiplico por dos todas las componentes, 10 de las 14 son números enteros y las otras 4 toman un sencillo \sqrt{3} como valor.

    Supongo que se trata de rotar el grafo, pero quien sabe, ¿habrá varios grafos? (no parece…).

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  44. Igual es dar muchas pistas, pero el diámetro de mi solución está escrita en mi anterior post…

    (todo en Å, claro)

    También decir que una vez obtenida es muy sencillita de calcular las coordenadas y de verificar que es correcta.

    (o eso, o estoy metiendo la pata hasta el corvejón)

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  45. Tengo una respuesta válida por fin, y ahora que la tengo, con toda contundencia afirmo que ningún punto con coordenada 3 \sqrt{11}, ni \sqrt{11}, ni, en general, a más de 2 A del origen, puede ser solución del problema.

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  46. Sive, enhorabuena. Yo no me apaño muy bien con el latex pero creo que aquí nadie ha dado ninguna coordenada parcial a más de 2 A del origen y, ciertamente, mirando un poco el dibujo que hice creo que ningún punto está a más de esa distancia.

    La abcisa que puse da aproximadamente 0.68.

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  47. @Zurditorium. Te doy tu parte de razón. Como he repetido, es sólo una observación personal que en momento alguno pretende generar polémica, sólo quise compartirla. Como afirmas, encontrar una solución ya tiene ‘tarea’.

    @JoseJuan. Tras darle vueltas a la cabeza, encontré un grafo isomorfo que cumplía la misma propiedad pedida. Pero, ¡ojo! puedo haberme equivocado. Pienso que, en aras de lo que dice Zurtitorium, mérito tiene encontrar una solución.

    Saludos a todos.

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  48. Ah, ok Sara, me disculpo. Me despistaron los comentarios posteriores al tuyo.

    Yo no he calculado las coordenadas de mi solución, y en principio no tengo intención de hacerlo, porque la parte divertida ya está hecha, y no estoy participando en el concurso.

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  49. Al final me ha salido el problema, el que más me ha divertido resolverlo de lejos, me lo he pasado pipa.

    También me alegra ver que esta semana habéis sido más comedidos con las pistas, que siempre se destrozaban todos los problemas y yo creo que esta semana con un poco de suerte bajan los acertantes y… ¡quizás algún gaussiano se lleva la colección!

    Aunque a los amigos que le he comentado como he encontrado la solución, ya me dicen que “he hecho trampas”. La cabra tira al monte y a mi la investigación operativa me gusta mucho. ¿Alguno lo ha resuelto así? Y lo más importante.. ¿ha disfrutado tanto como yo resolviéndolo?

    No me he enterado muy bien de que habláis cuando os preguntáis si existen otros grafos que cumplan lo pedido. Entiendo que cuando decís grafos os referís a grafos que puedan materializarse geométricamente luego, ¿no?

    Porque el grafo que cumpla lo pedido, con la distancia inducida por los links del grafo, con el mínimo número de links posibles tiene 9 links. Con 10 links tambíen hay soluciones. Bueno, no se si eso era de interés de nadie pero yo lo suelto por aquí.

    Saludos

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  50. Yo lo he hecho con deducción + tanteo, nada de grafos, directamente he construído la figura.

    A mí es el que más me ha costado, pero no es con el que mejor me lo he pasado porque, para mi gusto, ese tanteo que no he podido evitar le quita bastante gracia al problema.

    Para mí, el mejor ha sido el de las puntadas en zig-zag, pero porque mi solución fue púramente geométrica, diferente de la ‘oficial’.

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  51. Vaya, veo que hay gente que ha googleado tratando de encontrar la solución de este problema, de hecho he recibido una visita al menos a mi blog con esta búsqueda:

    “siete puntos plano dos de cada tres distan lo mismo”

    Lo que les ha mandado a la siguiente entrada, que aparentemente no tiene mucho que ver con el problema:

    http://www.zurditorium.com/3-colores-y-una-distancia

    Pero de hecho, no iban tan mal encaminados ya que es precisamente ese el problema en el que uso el mismo conjunto que el que he usado para el problema del País de esta semana (@Jesús, precisamente me pediste que dijera el problema así que aquí lo tienes).

    @Sive, no obstante a mi me pareció que el de las puntadas era demasiado difícil.

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  52. Pues a mi el problema siempre me pareció claramente enunciado, aunque no fácil desde luego. Acabo de resolverlo, entre la ducha y GeoGebra, y la verdad, es que a posteriori, parece casi trivial … Pero a posteriori, claro. Lo que es un poco latoso, aunque rutinario para cualquiera que halla hecho un bachillerato de ciencias, es el cálculo de las coordenadas. Pero supongo que se trata de objetivar la respuesta …

    Me gustó, si señor.

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  53. “…Pues a mi el problema siempre me pareció claramente enunciado…”

    No hay problema en que a una persona le parezca que el enunciado está claro y coincida con lo que pretendía el autor, el problema está cuando no se coincide y debe discutirse sobre la idoneidad (subjetiva) de una solución frente a un enunciado (y no sobre el problema en sí).

    Hay una curiosa anécdota (real) cuyos protagonistas son premios Nobel que podéis leer aquí.

    Y ahora, y de acuerdo al enunciado ¿sería válida una solución en la que dos átomos tengan la misma coordenada? (por supuesto que cumpliría con todos los requisitos del enunciado).

    PD: ya, ya, ya no inisisto más…

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  54. @Josejuan: Pienso que, trabajando sobre el plano, dos átomos no pueden compartir la misma coordenada. No tiene lógica.

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  55. Una pregunta:
    si no hay ninguna restricción acerca de cuál es la distancia mínima entre dos átomos, puedo poner los 7 en una línea recta, cada uno a una distancia arbitrariamente pequeña del vecino y ya está solucionado no? Tiene que haber una distancia mínima.

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  56. “No tiene lógica.”

    ¿Porqué?

    A. el problema es un problema matemático, no físico. Si es matemáticamente válido, la solución es matemáticamente correcta (al menos, respecto el enunciado).

    B. en muchos problemas matemáticos se establecen condiciones fuera de toda física.

    C. usando tu mismo criterio de “lógica”, la solución de elelias debería ser válida, pues no es lógico decir que dos puntos tan juntos como se quiera no están a la misma distancia de un tercero.

    De todos modos, creo que ha quedado suficientemente analizado el tema de la claridad del enunciado y en qué basamos cada cual lo bien o mal que está enunciado, etc…

    Amén.

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  57. Llevo mucho por aquí, pero esta es la primera vez que comento, y lo hago porque tanto comentario pedante me está matando.

    No voy a hablar de personas porque no sé como sois en realidad, pero hay muchos comentarios por aquí que dejan mucho que desear. Me parece que muchas de las supuestas posibles malinterpretaciones son una excusa para llamar la atención. No creo que nadie en su sano juicio en un examen diese de contestación: ‘El enunciado no está claro, ¿qué forma tienen los átomos? ¿Puedo poner dos átomos juntos?’

    Por favor, todos hemos entendido bien el problema, dejaos de tonterías.

    Lamento haber ofendido a alguien, pero a mi me habéis ofendido con tantas tonterías.

    Un saludo y un placer leer a muchos de vosotros.

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  58. Totalmente de acuerdo con Javi.
    “Coloca 7 puntos en un plano cartesiano de manera que en cualquier elección de tres siempre haya al menos dos que estén a distancia de 1 unidad”. Ese es el problema.
    Lo de que a los puntos los llamen átomos, a la distancia Angstrom, y a la distribución final, molécula, está claro que no es más que una ilustración.
    Por cierto, no entiendo cómo eso de poner todos los puntos juntos puede resolver el problema.

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  59. “Por cierto, no entiendo cómo eso de poner todos los puntos juntos puede resolver el problema.”

    pues las siguentes coordenadas:

    (0,0.0001) , (0,0.0002), (0,0.0003),(0,0.0004),(0,0.0005),(0,0.0006),(0,0.0007)

    He mirado un poco la discusión arriba y no he visto qué cosa del enunciado evita esta solución trivial. Hay claramente algo que no estoy entiendiendo.

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  60. Aaaaaah, que estén a un Angstrom exactamente. Vale vale. qué empanao.

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  61. @josejuan:

    Y ahora, y de acuerdo al enunciado ¿sería válida una solución en la que dos átomos tengan la misma coordenada? (por supuesto que cumpliría con todos los requisitos del enunciado).

    Fíjate que también pensé lo mismo, aunque supuse que no debe de valer que 2 átomos estén en las mismas coordenadas, no obstante… ¿has encontrado una solución así? Es que lo pensé un rato y no se me ocurrió ninguna en la que hayan átomos en el mismo punto, aunque tampoco le di demasiadas vueltas.

    Y para el que no entienda lo que planteamos pongo un ejemplo: 3 átomos en el (0,0) y 4 átomos en el (1,0). Esto no sería solución porque si cojo los 3 átomos del (0,0) no hay 2 a distancia 1.

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  62. Facilísimo: Todos los átomos dentro de un círculo de radio 1/2 alrededor del origen de coordenadas.
    Si quieren otra respuesta, que hagan otro planteamiento.

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  63. Solo quiero saber una cosa, ¿por qué la gente confunde “distancia 1” con “distancia menor o igual a 1”?

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  64. Por cierto, ya han puesto la solución.

    Versión vídeo: http://www.elpais.com/videos/sociedad/pentagono/puntos/elpepusoc/20110705elpepusoc_1/Ves/

    Versión texto (mejor): http://www.elpais.com/articulo/sociedad/estrella/ojos/elpepusoc/20110705elpepusoc_5/Tes

    Por aquí hay gente que encontraba coordenadas más sencillas que las puestas en el vídeo, si puede ser que las diga. ¿Ha encontrado alguien alguna solución que no consista en girar y o trasladar dicha solución? Creo que Sebastián debería de tener una.

    Gracias.

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  65. Mi solución era

    \frac{1}{2}\{(0,0),(2,0),(0,2),(1,\sqrt{3}),(\sqrt{3},1),(3,\sqrt{3}),(\sqrt{3},3)\}

    pero los dos átomos más alejados (del orígen) no están a 1 de distancia, había que separarlos un poco más…

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  66. Yo lo hice imaginando los dos rombos del dibujo y girándolos para que la distancia entre los dos vértices superiores fuera 1.
    Pero los puse en posición simétrica respecto al eje Y. Así sólo hay que hallar tres puntos. Los otros tres son simétricos. Y lo hice con trigonometría, no con ecuaciones.

    La solución que me salió:
    A (0,0)
    B ( 1/2, 1/2 ·11^1/2)
    C ( (3 + 33^1/2)/12, (3·11^1/2 – 3^1/2)/12 )
    D ( (3 – 33^1/2)/12, (3·11^1/2 + 3^1/2)/12 )
    E, F, y G se obtienen cambiando los signos de las abscisas de B, C y D.

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  67. En el mundo empresarial dedicado a la creación del software hay un dicho sobre la usabilidad de las aplicaciones. Es el siguiente:

    – Si un usuario se queja, la culpa es suya. Si se quejan 100, la culpa es nuestra.

    Y que consete que yo no digo que el enunciado no sea rigurosamente correcto, más aún, afirmo que lo es. Yo digo que no es claro, y dado que la única medida objetiva de claridad es la confusión generada, presento estos comentarios como prueba.

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  68. Sive, ¿entonces tienen razón los alumnos cuando dicen que les ponemos los exámenes muy difíciles y no es culpa de ellos por dejárselo para la última semana?

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  69. Tengo el mismo resultado que @Santi

    Realmente este ha sido uno de los problemas que más me han gustado, pasé un buen rato divirtiéndome tratando de buscar el añorado pentagonito.

    Eso sí, me estresó un poco tener que calcular las coordenadas, pero usando el eje Y como simétrico no te demoras tanto…

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  70. Zurditorium el concepto de “claridad” no es matemático, es subjetivo. La misma idea rigurosamente correcta se puede transmitir claramente, o engorrosamente (sólo hay que leer a Kant para tener un montón de ejemplos de esto último). Yo tuve que ver el video dos veces para enterarme de lo que se me estaba pidiendo, y no me caracterizo por ser cerrado de cabeza precisamente.

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  71. Bueee…. no quería crear polémica, simplemente lo había entendido mal. Será por deformación profesional o por simple despiste, pero nada más…

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  72. Sive, ¿cómo que lo deja claro? No ha especificado si podemos hacer infinitos trozos o no!!! (si se tienen ganas, siempre se pueden poner pegas).

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  73. Exacto. Si no os importa mejor dejamos los comentarios del problema 17 para el post que saldrá mañana por la mañana. Gracias 🙂

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