Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 18

Un viernes más traemos otro de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Hoy mismo apareció el decimosexto de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema diecisiete se titula De un lado para otro y lo propone David obrador Sala, profesor de matemáticas de educación secundaria y miembro de la Associació Catalana de GeoGebra. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 18 de julio.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

43 Comentarios

  1. Buenos dias, acabo de leer el reto 18.
    Estoy despierto ??
    Tiene truco escondido ??

    Saludos

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  2. Creo que el “truco” es que no definen en que punto del triangulo esta el poblado. Pero eso creo que no tiene importancia.

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  3. Pues el truco creo que es resolverlo de forma muy, muy, muy sencilla… nada de coordenadas, nada de geometría analítica… es la única explicación que se me ocurre. Lo que no entiendo es que diferencia hay entre las dos preguntas que se proponen… ¿no significan lo mismo?… Este problema no va a suscitar pasiones. Lástima!. Saludos también.

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  4. Efectivamente, la ubicación del poblado, o de cualquier habitante dentro del triángulo, no tiene ninguna importancia…

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  5. Si no esconde ninguna trampa, a mí me ha resultado muy fácil resolverlo.

    Para el que no haya sido capaz de verlo, doy una sutil pista: el poblado se asienta en un punto en el que se cortan tres rectas.

    Saludos 😉

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  6. Rafalillo, ese es el problema, que es la tercera parte de facil que el de los zurcidos ………. demasiado sencillo, por eso preguntaba si habia algun truco escondido

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  7. Yo entiendo que la miga del asunto es precisamente probar que el resultado es independiente de la elección del punto interior.

    Encontrar la solución para un solo punto no es suficiente.

    Y esto no vale como prueba: “si el resultado no fuera independiente del punto interior, el problema estaría insuficientemente especificado, y no tendría sentido que los del País plantearan algo así, sería absurdo, luego el resultado es independiente del punto interior, QED :-P”.

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  8. Supongo que las dos preguntas del final se refieren a lo mismo ¿no?

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  9. Si Jesús, hay que demostrarlo, pero aún así, es muy fácil. De todos modos ya lo dice diamond en el enunciado de este y anteriores desafíos… la dificultad no es su principal motivación.

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  10. La cuestión básica del problema es constatar que la suma de distancias desde un punto interior de un triángulo equilatero a sus tres lados es siempre la misma, independientemente de la posición del punto. Esto se puede demostrar de varias maneras, pero hay una muy sencilla y visualmente elegante, que atañe al área del triángulo, si la calculamos de dos formas distintas. El problema de esta semana, a mi modo de ver, es uno de los más fáciles que han propuesto.

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  11. Yo no había caído en la cuenta de que se puede acceder a cada terreno por cualquier punto de cada lado. Así pues, la pista que he dado antes es sólo una de las infinitas soluciones que tiene el problema, no?

    Lo que no tengo claro es si hay que demostrar que da igual el punto interior del triángulo que escojamos de tal forma que la distancia recorrida será siempre la misma. ¿Bastaría con exponer dos ejemplos con dos puntos interiores distintos y demostrar que el resultado es el mismo? De esta forma se podría deducir que vale cualquier ubicación.

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  12. Supongo que habrá que demostrar que es independiente del punto ya que si mando una solución diciendo que la solución es X porque he probado en tal punto…

    Problema fácil, tanto si hay que demostrar eso como si no.

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  13. @Rafalillo, no, no basta con dos puntos, al menos si no se argumenta nada más.

    @Manuel, tu pista es igual un poco grande…

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  14. Creo que de lo sencillo que es nos comemos mucho el tarro, copio y pego

    Cada camino unía el poblado con uno de los lados en línea recta y de manera que el trayecto era el más corto posible.

    3º y 4º decimal 4 y 1 si no me he equivocado vaya, exactamente 4 operaciones he hecho

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  15. Apostaria que todos mandan como solución lo que deja entrever Manuel

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  16. Riberus No sé cuántas operaciones habré hecho, algo más de 4 supongo, pero a mí también me da que el 3er y el 4º decimal son 4 y 1, respectivamente. El 5º y el 6º: el 0 y el 1.

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  17. Bingo Imanol, pero me dá que hay gato encerrado … no sé …… habrá que leer los comentarios.

    Saludos

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  18. Bueno, donde hacen el problema esta al lado de la que era la sede de Barcelona de la empresa donde trabajo.

    Por otro lado, es bastante sencillo.

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  19. Lo que preguntamos esta semana es: ¿Cuántas horas empleaban cada día en recorrer estos caminos? ¿Cuántas horas emplea cada día un individuo de esta tribu en recorrer ida y vuelta estos trayectos?

    Cual es la diferencia entre las dos cuestiones ??

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  20. Riberus La verdad es que no veo diferencia alguna, supongo que será la misma pregunta y que no hay que mandar dos soluciones distintas.

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  21. Hola.
    Riberus, es y no es la misma pregunta porque en la segunda habla de individuos. ¿¿¿¿Porque???? Yo creo que porque los individuos ocupan espacios distintos y eso significa quenos están pidiendo que tiempo se emplea desde espacios distintos, o sea, desde centros distintos.
    Sabemos que es el mismo. Pero … nos preguntan ¿porqué?
    Hasta luego

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  22. Éste ha sido uno de los más fáciles que he visto desde que sigo la página (opinión subjetiva). Es ‘casi’ un problema de dibujo técnico de 4º de ESO.

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  23. Como el problema no plantea mayores dificultades, yo me pregunto: ¿ Por qué limitarnos al interior del triángulo? Creo que tenemos claro que “la suma de distancias de un punto interior a los tres lados del triángulo equilatero es CONSTANTE” ¿Podríamos generalizar el resultado a CUALQUIER PUNTO DEL PLANO, sin restricciones? Yo creo que sí. De hecho ya lo he comprobado. Si lo intentáis veréis que el resultado es muy satisfactorio…

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  24. Manuel: ¿Podrias estenderte un poco mas en el enunciado del nuevo que planteas?

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  25. Supongamos que tenemos en el plano un triángulo equilátero de lado 1 (podríamos generalizarlo a cualquier triángulo, pero para empezar ésto nos servirá) Se trataría de demostrar que ” la suma de distancias de un punto cualquiera del plano a los tres lados del triángulo es una constante “.
    Para que la anterior propiedad se cumpla deberíamos asociar a cada distancia un signo, pues de otro modo, lógicamente jamás se cumpliría el enunciado…
    Y hay otra pequeña cuestión respecto a la suma de las 3 distancias. Quizá sea necesario adoptar un valor absoluto…
    En fin, no sé si me he extendido mucho, pero el resultado vale la pena.

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  26. Manuel: Entendido… evitando la palabra interior, en este caso los triángulos parciales se superponen, y con cuidado las áreas por determinantes tendrian signo

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  27. Manuel,

    tu problema generalizado se resuelve de la misma manera que el original…

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  28. Bueno, como creo que lo tenéis claro, ¿cuál sería la fórmula ya generalizada para cualquier punto del plano?

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  29. Como veo que este Problema parece que está listo, para entretenernos hoy y mañana propongo este, de la línea del anterior
    El enigma del triangulo
    Tenemos un tablero en el que se han practicado 28 orificios dispuestos en forma de triangulo equilátero de 7 de lado (7 + 6+ 5 +4 +3 +2 + 1), en cada uno de ellos se ocupa con una clavija excepto en el central (27 clavijas). El problema consiste en mover las clavijas de forma que quede únicamente una en el orificio central.
    La forma de moverlas es, levantando una clavija saltar por encima de su vecina terminando pasándola al orificio siguiente, que debe estar libre y quitando la clavija sobre la que se salto (como el juego de DAMAS), siguiendo haciendo movimientos. Se puede mover en cualquiera de las tres direcciones paralelas a los lado del triangulo.
    ¿Cuáles son los movimientos? o demostrar que es imposible.
    Enigma que apareció en la revista CACUMEN de los 80

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  30. “Leed a Euler, leed a Euler. Él es el maestro de todos nosotros.”
    Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

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  31. Pero si nos situamos en un vertice el razonamiento canvia, creo.

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  32. Os propongo un problema:
    Sean S y T transformaciones lineales, entonces demostrar que si S conmuta con S\circ{}T-T\circ{}S , entonces S\circ{}T-T\circ{}S es nilpotente.

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  33. El loco vargas, no sé qué tiene que ver ese enunciado con el problema aquí mencinado, pero vamos, yo al menos no te voy a hacer los deberes 😀

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  34. No me he parado a demostrar la generalización que propone Manuel, pero le veo una pega. ¿Has tenido en cuenta que, para puntos fuera del triángulo, la distancia más corta a uno de los lados no tiene por qué obtenerse siguiendo una perpendicular al lado en cuestión? Es decir, la distancia más corta podría ser la distancia a uno de los extremos del segmento (al menos, entendiendola como distancia entre dos conjuntos).

    Me explico, llamemos a a uno de los lados de tu triángulo equilátero y A al vértice opuesto a dicho lado. Tomemos una circunferencia de centro A y radio 1/2 (por ejemplo) y prolonguemos los otros dos lados b y c del triángulo para que formen dos puntos P, Q en sendas intersecciones con la circunferencia. Entonces, los puntos del arco PQ (de la parte del arco que no interseca al triángulo) distan todos lo mismo de los segmentos b y c (1/2, -1/2 o como quieras tomarlo), pero no distan todos lo mismo del punto a. Por tanto, malamente la suma de las distancias será constante.

    Por tanto, creo que para la generalización habría que generalizar también la distancia. ¿O me equivoco en algo?

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  35. Chema, he intentado hacer tu dibujo pero no acabo de entenderte. En cuanto a lo que propongo, es muy sencillo. La clave está en asignar un signo a la distancia desde un punto del plano a un lado del triángulo equilátero. Si el punto está en la misma región del plano que el vértice que queda fuera del lado, entonces la distancia es positiva y si no es así la distancia es negativa. Con esa asignación, la Suma de las tres distancias es una CONSTANTE, igual al lado del triángulo equilátero. De hecho, he estado buscando en internet y se trata de un teorema conocido: Teorema de Viviani. Hay alguna página de Geogebra donde se puede manipular el punto y verlo en acción. Un saludo.

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  36. Manuel, precisamente probando con Geogebra vi que la cosa puede no ser del todo correcta según como definamos las distancias.

    Sé que quizá me expliqué un poco raro (sin poner dibujos es complicado). Probemos con coordenadas. Pongamos que el triángulo equilátero en cuestión tiene vértices en los puntos B=(-1/2, -\sqrt{3}/2), C=(1/2, -\sqrt{3}/2) y A=(0, 0). Entoces, a lo que yo iba, es que si a es el segmento BC, b el AC y c el AB, entonces los puntos de la forma ( 0.5 cos \alpha, 0.5 sin \alpha) con \alpha\in[30º,150º], distan todos ellos 0.5 de los lados b y c del triángulo (porque, la distancia más corta de cualquiera de esos puntos a dichos lados coincide con la distancia al punto A).

    Por tanto, para un punto de ese arco, las distancias a los lados son 0.5, 0.5 y \sqrt{3}/2 + sin \alpha. Por tanto, la suma (con el convenio de signos que dices) no es constante ya que depende de \alpha.

    El problema viene de considerar la distancia de un punto P a un segmento s como ” min {d(P,Q) | Q \in s} “, ya que puede ser que la perpendicular al segmento s que pasa por el punto P no corte al segmento (cosa que es imposible que pase cuando el punto está dentro del triángulo). Por eso digo que habría que “generalizar” la distancia para que fuera cierto en todo punto de fuera.

    Espero que ahora quede un poco más claro mi punto de vista.

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  37. Es que en realidad cuando hablamos de distancia de un punto a un lado del triángulo a lo que nos referimos es a la distancia del punto a la recta que pasa por dichos dos puntos, y lógicamente se trata siempre de una perpendicular. Si tienes en cuenta la forma de dar signo a la distancia, verás que desde cualquier punto del plano dos de las distancias son positivas y la otra negativa, y la suma de las tres es constante e igual a la altura del triángulo. A ver si encuentro el enlace donde se puede ver de forma práctica el teorema…

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  38. Gracias Manuel, mi duda era solamente esa: si la distancia era al segmento entre los vértices o si era a la recta que contiene al lado en cuestión. En este último caso, sí que es cierto lo que afirmas.

    Saludos.

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  39. Zurditorium mi enunciado no tiene nada que ver con el problema propuesto, pero lo propongo acá porque me parece un problema bastante interesante(si al menos lo habéis intentado), y no sé donde más ponerlo; y aclarar que no es ningún deber y que si no gustas no tienes que intentarlo pero no trates de ofender diciendo que quiero que hagan mis deberes.

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  40. Es la misma solución que yo he mandado, pero la única diferencia es que yo he demostrado que la distancia del lado del triangulo al punto, dibjando una circunferencia de radio la altura, y viendo que tangente al lado.

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