Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 22

Hoy viernes os traigo otro de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Como habréis visto, el último viernes de julio publicaron cinco desafíos de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME. Para no mezclar los comentarios de cada uno de los problemas los publicaré uno a uno durante las próximas semanas. Tenéis que tener en cuenta también que todos tienen la misma fecha límite para el envío de soluciones y que para cada uno habrá que usar una dirección de correo específica. En cada uno de estos cinco desafíos dejaré los datos necesarios para el envío de la solución (si veis que hay algún dato incorrecto en alguno de ellos avisad en un comentario).

Hoy os dejo el desafío número veintidos, que se titula Un cuadrado mágico especial y lo propone José Luis Carlavilla, profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Castilla-La Mancha. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a desafiodeagosto3@gmail.com antes de que termine el domingo 28 de agosto.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. Puf! los cuadrados mágicos siempre se me han dado fatal, pero es que para esto no se me ocurre ni un procedimiento lógico para hacerlo, es que no sabría ni por dónde empezar.

    Suerte a los demás.

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  2. Éste es el que se me atascó cuando lo vi… y atascado sigue.

    A ver si un alma caritativa da una pista útil 😛

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  3. Éstos son cuadrados alfamágicos, son muy laboriosos. Al ser 3×3 podemos utilizar números tales que la longitudes de sus nombres se diferencien en tres letras, como mil doscientos y doscientos, en dos letras o en una. Con números entre doscientos y pico y dos mil y pico se puede conseguir.

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  4. Una pregunta que no aclara el enunciado. ¿Tienen que ser los 9 números diferentes?

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  5. No lo aclara, pero se supone, Manolo. En caso contrario sería trivial.

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  6. Se me ha ocurrido hacerlo al revés, es decir, creo que quizás sea más fácil empezar desde un cuadrado mágico y luego ver qué números tienen esa cantidad de letras y con ellos intentar formar un nuevo cuadrado mágico. Habría que tener en cuenta que no puede haber en el segundo cuadrado ningún número cuyo nombre tenga el mismo número de letras que otro.

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  7. Guillermo X. Si lees este post al principio pone que el último viernes de julio publicaron no tres, sino cinco problemas a la vez. Yo los voy publicando aquí por separado para que no se mezclen los comentarios de problemas distintos.

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  8. Cuadrados mágicos un trece de agosto a 36ºC. Esto no es un problema matemático, ¡es un dilema ético! 😛

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  9. Hola a todos. Es mi primer post. La mejor pista es la que dicen en el video. Mirar y mirar los cuadrados. Existen al menos dos formas de construir cuadrados mágicos 3×3….y me autocensuro….

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  10. Hay infinitas soluciones, muchas de ellas fáciles de construir conociendo algo los cuadrados mágicos.

    Espero no reventar el problema diciendo que las progresiones aritméticas ayudan a resolverlo.

    El verdadero reto consistiría en encontrar el cuadrado cuyo número más grande sea el mínimo posible o el que tenga la constante mágica (suma de elementos de una fila, columna o diagonal) mínima.

    Tengo un cuadrado candidato para ambas cuestiones pero no estoy seguro de que no sea mejorable.

    Para el cuadrado que se forma con las cantidades de letras sí tengo la respuesta para el mínimo número mayor y la constante mágica mínima posible.

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  11. Visto el ejemplo en inglés de la proposición de EL PAÍS y resuelto felizmente para el caso español, he encontrado con poco esfuerzo varios ejemplos de cuadrados mágicos con igual propiedad utilizando los números escritos en francés.

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  12. Pues yo no logro ver un cuadrado mágico tan fácilmente. Esto tiene pinta de que o tienes una idea feliz o nada.

    ¿Alguna pista? Os lo agradecería 😉

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  13. Este problema es más de estudiar que de pensar…

    JJGJJG, ¿cuál es ésa constante? yo encontré una bastante baja con una constante de 72 para la letras, pero me sigue pareciendo alta…

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  14. Sovnovsky, probablemente hay más de cien cuadrados mágicos diferentes cuyos números de letras forman otro cuadrado mágico con una constante mágica menor que 72. Yo he parado de buscarlos cuando he escrito los cincuenta primeros, pero veo que hay bastantes más. Incluso he preparado unas fórmulas con las que, al sustituir las variables por ciertos números se consiguen más de doscientos cuadrados distintos cuyas letras dan constantes mágicas comprendidas entre 21 y 100. Por supuesto no he contado ninguno que pueda coincidir con otro por giro o simetría. En cualquier caso, espero haber interpretado correctamente el enunciado y que todo esto no sea mentira.

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  15. Que sepáis que leo todos vuestros comentarios cada vez que llegan a mi correo y me tenéis de lo más intrigado. A mí más o menos se me ha ocurrido una idea para generar alguno, pero sin saber si tendría éxito sin ponerlo en práctica, cosa que no hago por pereza. Además, vosotros no solo lo habéis resuelto, si no que tenéis una forma de generarlos… Aunque eso, supongo que una vez que tienes uno, le añades la misma palabra/cantidad delante y listo… ¿es así? Por ejemplo, teniendo un cuadrado mágico, solo habría que añadir delante de cada cantidad: ciento… mil… un millón…. trescientos mil…. o lo que sea que sirva, ¿no?

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  16. 161803398874, tienes razón al decir que, obtenido un cuadrado, le puedes añadir cualquier prefijo que tenga más ceros que el número mayor a todos sus elementos y obtendrás otros cuadrados mágicos también válidos. En los que yo he citado en mi anterior comentario no he contado con ese recurso. Sí me referí a él al asegurar en otro comentario anterior que habría infinitas soluciones sin miedo a equivocarme.

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  17. Hasta ahora, este ha sido el único desafío que no he resuelto. Aunque también cuento como fallo el del papel higiénico y la mesa, que lo solucioné de forma demasiado enrevesada.

    Ya podéis publicar resultados, tengo curiosidad.

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  18. Para Sive: Es un poco largo pero te pongo una posible respuesta para los cuadrados mágicos.

    Un cuadrado mágico está formado por 9 números diferentes que cumplen las siguientes condiciones.

    1) Pueden dividirse en tres ternas que formen sucesiones aritméticas con iguales diferencias en cada terna.

    2) Las diferencias entre cada terna y la siguiente también deben ser iguales pero distintas de la diferencia interna de las ternas.

    Es decir, responden al siguiente esquema en el que suponemos que c no puede ser el doble de b y si c es menor que 2 * b, b y c deben ser primos entre sí, para que no se repitan números. Además a puede ser cualquier número:

    a a + b a + 2 * b
    a + c a + b + c a + 2 * b + c
    a + 2 * c a + b + 2 * c a + 2 * b + 2 * c

    Si los colocamos del siguiente modo obtendremos siempre un cuadrado mágico:

    a + 2 * b + c a a + b + 2 * c
    a + 2 * c a + b + c a + 2 * b
    a +b a + 2 * b + 2 * c a + c

    Cuya constante mágica es 3 * a + 3 * b + 3 * c.

    He encontrado una formulita para obtener un centenar de soluciones al problema:

    Observamos que el 1 tiene 3 letras el 3 tiene 4 letras y el 5 tiene 5 letras.

    Supongamos que n es un número comprendido entre 0 y 99.

    Si el número (10 * n + 1) se escribe con (a) letras el (10 * n + 3) se escribirá con (a + 1) letras y el (10 * n + 5) se escribirá con (a + 2) letras.

    Como 1000 tiene 3 letras y 2000 tiene 6 letras los números (1000 +10 * n + 1), (1000 + 10 * n + 3) y (1000 + 10 * n + 5) se escribirán con (a + 3), (a + 4) y ( a + 5) letras respectivamente y los (2000 + 10 * n + 1), (2000 + 10 * n + 3) y (2000 + 10 * n + 5) se escribirán con (a + 6), (a + 7) y (a + 8 ) letras respectivamente.

    Como los números elegidos forman tres ternas en sucesión aritmética con igual diferencia en cada terna e igual diferencia entre ternas podemos construir el siguiente cuadrado mágico:

    Fila 1: (1000 + 10 * n + 1), (2000 + 10 * n + 5) y (10 * n + 3)
    Fila 2: (10 * n + 5), (1000 + 10 * n + 3) y (2000 + 10 * n + 1)
    Fila 3: (2000 + 10 * n + 3), (10 * n + 1) y (1000 + 10 * n + 5)

    Cuya constante mágica es (3000 + 30 * n + 9)

    Si damos a (n) valores de 0 a 99 obtendremos 100 cuadrados mágicos diferentes que cumplen las condiciones del problema.

    Para (n) = 0 la constante mágica es la mínima de esta colección (3009)
    Para (n) = 99 la constante es la máxima para esta colección (5979)

    Con las cantidades de letras componemos otro cuadrado mágico:

    Fila 1: (a + 3), (a + 8 ) y (a + 1)
    Fila 2: (a + 2), (a + 4) y (a + 6)
    Fila 3: (a + 7), (a) y (a + 5)

    Cuya constante mágica de (3 * a + 12).

    Para (n) = 0, (a) vale 3 y la constante (21) es la mínima, no solo para esta colección sino para cualquier solución posible:

    Fila 1: 1001 2005 3
    Fila 2: 5 1003 2001
    Fila 3: 2003 1 1005

    Que al sustituirlos por sus letras queda así:

    Fila 1: 6 11 4
    Fila 2: 5 7 9
    Fila 3: 10 3 8

    Para (n) = 45, (a) vale 26 y la constante es la máxima para esta colección (90)

    Lo ideal sería encontrar un mágico especial cuyo máximo número sea el menor posible.

    Propongo como candidato el siguiente cuyo número mayor es 155:

    121 155 93 15 21 12
    95 123 151 13 16 19
    153 91 125 20 11 17

    A la derecha figura el cuadrado con el número de letras.

    Las constantes mágicas son, respectivamente, 369 y 48.

    Se pueden encontrar otras fórmulas similares utilizando oros números, por ejemplo UN MILLÓN y DOS MILLONES en lugar de 1000 y 2000 que también difieren en tres letras. De aquí saldrían otros cien cuadrados solución al problema propuesto.

    Está claro que si a cada número de todos estos cuadrados mágicos les añadiéramos un “prefijo” que tenga ,al menos, tantos ceros como los dígitos del número más grande obtendremos nuevos cuadrados que satisfacen las condiciones del problema.

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  19. En cierto sitio, al publicar, me ha cambiado un 8 por un emoticón. he intentado editar para corregirlo y no me dejan recuperar el texto. Lo siento, espero que se interprete correctamente.

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  20. Es un placer leer todas las soluciones de los problemas… aunque me siento torpe jejeje…
    Una maravillosa explicación JJGJJG, enhorabuena.

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  21. Muchas gracias JJGJJG, felicidades.

    Yo no encontré ni un solo cuadrado y tú, en cambio, un montón de ellos… Si te toca, en vez de darte una colección de libros deberían darte cientos 😀

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