Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 27

Hoy os traigo un nuevo problema matemático propuesto en la edición digital de El País. Ayer jueves se publicó el número 27 de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema veintisiete se titula Cómo elegir un equipo goleador y lo propone Juan Mata, jugador del Chelsea y de la selección española de fútbol. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 19 de septiembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos


Para quien se haya extrañado por la elección de Juan Mata para presentar este desafío recomiendo leer el artículo Un futbolista ejemplar, donde Santos González, catedrático de Álgebra de la Universidad de Oviedo y vicepresidente de la RSME, nos habla de la vida académica de Mata. Sin duda un auténtico crack en muchos aspectos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Ya que nadie comenta.
    A mi me ha recordado al juego de los palillos pero no se si la solución tiene que ver con eso.

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  2. jechira recuerda un poco a alguna de las variantes de nim, pero la solución no tiene nada que ver.

    En este caso es importante leer el enunciado que hay debajo del vídeo, el problema está mucho mejor expuesto. Lo comento porque yo entendí mal la segunda pregunta.

    Es difícil dar una pista en este problema sin que ésta resulte excesiva. Pero tal vez, si pensáis en el hecho de que hay una segunda pregunta, con un jugador más, podáis dar con la idea clave rápidamente.

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  3. A mí me ha costado muy poco resolver la segunda pregunta, pero me está costando horrores resolver la primera… a pesar de que parece fácil!!

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  4. Nunca te acostaras sin saber algo nuevo. Con mi padre jugabamos de pequeño con una estructura triangular 1-3-5-7 creo, obviamente excepto que mi padre nos dejara ganar siempre ganaba él. Pero nunca habia sabido el nombre del juego.

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  5. Yo este si que no lo entiendo, debo estar enfocándolo mal. Supongamos, para simplificar, que los jugadores de la fila han marcado 0 goles, o 1 gol, y se colocan así

    01010101011010101010

    Si, como yo entiendo, hay que elegir siempre un extremo de la fila, el que elija primero elegirá a alguien con 0 goles, y el segundo elegirá en el mismo lado, a uno con 1 gol. Y así “ad infinitum”, con lo que el segundo jugador siempre gana. Ya se que es un caso particular, pero fácil de generalizar. ¿Estoy entendiendo mal el enunciado?

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  6. Alberto, en tu ejemplo el primero elige 0 cinco veces y el segundo 1 cinco veces. Pero si el primero los elige siempre por el mismo lado, tras cinco pasos llegan al centro, donde hay dos 1’s juntos. Entonces en su sexta elección el primero también elige un 1 y pasa los 0’s al segundo, de modo que al final empatan. Creo que por eso en el texto aclaran que la estrategia que hay que encontrar debe asegurar que el primero no pierde, no que necesariamente gane. Espero habérlo aclarado un poco

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  7. jechira el nim se juega a veces con esa configuración que comentas.

    Alberto, cuando vi tus unos y ceros, pensé: “ea, alguien se ha chivado ya la respuesta”. Después lo miré bien, leí el mensaje, y vi que no era así.

    Esto último es una pista, claro.

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  8. Hay una novela estupenda de Stendhal que se titula “Rojo y negro”. Rojo y negro, rojo y negro, rojo y negro…

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  9. Para los que son habituales seguidores de estos desafíos, no tiene que resultar difícil resolver este par de cuestiones.

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  10. Como nadie se anima pongo la solución que yo he mandado:

    Primera parte: la estrategia para que el primero que elija no pierda nunca consiste en sumar por una parte los goles de los jugadores impares (s1) y por otra los goles de los jugadores pares (s2). Si s1 > s2 empezamos escogiendo el primer jugador y luego tras cada elección del oponente escogemos siempre un jugador que se se encuentra en posición impar (siempre es posible hacerlo puesto que nuestro adversario está obligado a escoger un jugador en posición par). De esta manera obtenemos los jugadores impares, que suman más goles que los pares. Si s1 es menor o igual a s2, procedemos exactamente al revés: escogemos el último jugador (el 20) y luego seguimos escogiendo jugadores que se encuentran en posición par. Así nos aseguraremos de al menos empatar.

    Segunda parte: no hay una estrategia general ganadora o que asegure el empate para ninguno de los dos porteros. Depende de cómo estén distribuidos los goles de los jugadores que están en fila. Para comprobar esto basta con considerar dos casos extremos: primero supongamos que el primer jugador suma más goles que todos los demás jugadores juntos. De esta manera el primero en elegir ganaría siempre. Ahora supongamos que ese jugador que suma más goles que todos los demás juntos está justamente en medio, es decir, con diez a cada lado. En este segundo caso el segundo portero en elegir jugadores podría ganar simplemente escogiendo cada vez el extremo opuesto al de su rival y en su última elección escoger al jugador de en medio. De manera que no hay estrategia ganadora, depende de la distribución de los goles.

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  11. yo realmente estaba buscando la forma de maximizar el número de goles del primer arquero. Habrá alguna forma de hacerlo? Según la solución dada siempre se obtendrá una solución ganadora, pero habrá algún algoritmo para maximizar la diferencia??

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