Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 28

Hoy viernes, a punto de comenzar el Amazings Bilbao 2011, os traigo un nuevo problema matemático propuesto en la edición digital de El País. Ayer jueves se publicó el número 28 de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema veintiocho se titula Un problema de grandes números y lo propone José Manuel Bayod, catedrático de Análisis Matemático y Defensor Universitario de la Universidad de Cantabria. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 26 de septiembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

43 Comentarios

  1. Me llama la atención que pidan una relación de los números N que cumplen el enunciado… ¡¡son números de 100 cifras!!.

    Supongo que se les olvidó aclarar que no es necesario expresar cada solución explícitamente.

    Este no es un problema de idea féliz, así que imagino que habrá muchos acertantes.

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  2. En principio, con N de cuatro cifras, sale solamente una solución.

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  3. El problema es relativamente sencillo. La base del análisis está en poder expresar bien el número N en función de sus dos partes, A y B… creo que la pista es suficiente.

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  4. Un poco exagerado ha sido el hombre, pero vamos que se puede sacar sin usar grandes computadoras. Y expresarlo, también se puede resumir.

    Lo de idea feliz (resumir en un par de líneas), es un poco complicado, al menos la demostración; salvo que se sobreentiendan algunos pasos.

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  5. Respondiendo a Félix “En principio, con N de cuatro cifras, sale solamente una solución.” ya en el vídeo demuestra que N de dos tiene dos soluciones 15 y 24, XD. y como es preferible no resolver el problema os dare una pequeña pista que os ayudara ha sacar una relación o no. XD (5^(2n) -1) y (2^(2n) -1) siempre son multiplos de 3 para n =1, 2, 3,….

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  6. Sive, yo creo que expresar cada solución explícitamente no es difícil. Los números de 100 cifras indican cantidades muy grandes, pero se pueden escribir. Demostración: 1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

    🙂

    Pienso que lo han pedido así de grande para evitar lo que les ha pasado en otros desafíos donde recomendaban no probar todos los casos, pero todos los casos no eran tantos si se usaba un ordenador.

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  7. Tengo la solución general para cualquier número par de dígitos (creo) con una única excepción.

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  8. Qué coraje me da encontrarme con un problema aparentemente tan sencillo, empezar a hacerlo y quedarme atascado.

    Yo logro sacar una ecuación de dos incógnitas (A y B), pero de ahí no salgo.

    Esperemos que el fin de semana sea productivo 😀

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  9. Concuerdo con JJGJJG en que hay una solución general que sólo tiene una excepción, precisamente para dos cifras; en los restantes casos la solución es la misma.

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  10. Rafaelillo, trabaja con esa euación y lo sacarás viendo las restriciones.

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  11. Por una simple cuestión de probabilidad, es seguro que algún dígito se repite. En cambio, no es posible garantizar que los diez dígitos aparezcan.

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  12. Pues por más que miro y remiro mi ecuación, nada de nada. Como de costumbre, las restricciones que habrá que comprobar serán lo más simple del mundo, pero hay que dar con ellas.

    A ver si logro hallar la solución antes de que acabe el plazo.

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  13. Rafalillo:Creo que “tu ecuación” que supongo que es la que de instinto plantee, ni me la miraba…. Pero al volver a ella he visto que las restricciones han sido mas evidentes de lo que suponía.
    Ánimo!!!
    Saludos

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  14. He probado manipular la ecuación para el problema con 4 dígitos y me sale una única solución. Me desconcierta que se haga broma de eso ¿es que hay más?

    En cualquier caso, voy a probar a generalizar la idea.

    Los que lo veis sencillo, pues deciros que la teoría de números es un calienta cabezas, hasta la que se dice elemental.

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  15. Vayapordiós: Creo que coincidimos también con la ecuación y única solución para 4 digitos
    Saludos

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  16. Ya, gracias, sebas.

    Veo la cosa de lo más farragoso. Creo que la restricción de que no empiece A por 0 es muy importante, de manera que hay muy pocas soluciones para cualquier cantidad de dígitos. Pero no estoy seguro. Lo dejo correr.

    PD. por ahí dan la pista, un poco de manera algo cbrna por un signo que marea la perdiz, de que hay que probar con potencias de 2 y 5. Eso produce soluciones, pero no sé si todas.

    Y ahora sí, lo dejo correr.

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  17. Si Vayapordiós, el hecho de que A no empiece por cero se usa para imponer una restricción importante. Sin ella el número de soluciones, para 100 dígitos, es mucho mayor.

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  18. Por cierto, ¿alguien ha intentado resolver el problema sin imponer que A comience por cero?

    A mí me salen 1301 soluciones en este caso.

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  19. Perdón, quise poner (en mayúsculas y negrita la errata):

    Por cierto, ¿alguien ha intentado resolver el problema sin imponer que A NO comience por cero?

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  20. Ahora estoy dudando de que hablemos de la misma ecuación. Yo estoy estudiando las restricciones de “B”, y a partir de 4 digitos me da solución unica y facil de escribir.
    Por los últimos comentarios que leo no se si habré metido la pata

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  21. Sive, recuerda que en ningún caso puede empezar por cero, pues entonces el número no tiene cien dígitos. El problema es sencillo y la solución es idéntica tanto para cien como para cualquier número par de dígitos, excepto para dos cifras únicamente, que hay una solución más.

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  22. Sebas por lo que dices no parece que hayas metido la pata. Tu conclusión al menos es correcta.

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  23. Este juego de hablo pero no digo es irritante. Se puede poner A en función de B (y al revés) y yo he podido usar la ecuación para el caso de 4 dígitos sin muchas complicaciones, llegando a un punto en el que voy por tanteo para una colección breve de números. A partir de ahí no sé mucho más. Por ahí he leido que se pueden sacar todas y solas, sin tantear nada.

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  24. manuel es perfectamente válido plantear un problema como el de El País, matizando que se considera válido completar con ceros a la izquierda hasta llegar a los 100 dígitos.

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  25. Sebas, Sive, tenéis razón, se puede plantear. Lo que no veo es un camino sencillo para obtener todas las soluciones. Por probar, me he entretenido en el supuesto de que A, la primera parte del número N, tenga un solo dígito. Y entonces me salen cuatro posibles soluciones. Las pongo porque no tienen nada que ver con lo que exige el enunciado del Pais:
    N= 15000000…..0 (49 ceros)
    N= 2400000…….0 (49 ceros)
    N= 36250000……0 (47 ceros)
    N= 735000…………0 (48 ceros)
    Repito, suponiendo que N tiene dos bloques, en el primero 1 dígito y en el siguiente 50 dígitos.

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  26. Le he vuelto a dar vueltas al planteamiento de Sebas. Y ahora sí, creo que ya lo tengo. Me salen exactamente 1250 posibles soluciones.

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  27. jajaja para cien dígitos solo se tiene 50 soluciones no mas ni menos jajaj si alguien quiera la solución que me mande un correo ha ahmadks@gmail.com. la resolución del problema con la pista que debería ser trivial.

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  28. manuel, a mí me salen 1301, o 1300 si la solución trivial A=0, B=0 no se considera válida (esto pasa por no haber enunciado formalmente el problema). A ver si se cierra el plazo para el problema original y podemos discutirlo abiertamente.

    Ahmadks me apostaria un número de 100 cifras a que no hay tantas soluciones 😉

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  29. Sigo desconcertado con tantas soluciones que se discuten y lo de ceros a la izquierda
    Saludos

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  30. He repasado las restricciones de B y olvidando los decimales del orden de 10^-(n/2) ha de cumplirse ……..(de momento no lo pongo) y esto implica una solución ÚNICA
    Supongo que podremos esperar a mañana para tirarnos del moño, pero hoy mismo podeis decirme que no se de que voy
    Saludos

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  31. Sebas, yo creo que vas bien, todos estamos más o menos en lo mismo: solución única. Pero el pesao de Sive se ha propuesto generalizar el problema, osea que habría que definirlo bien. Un número N que tuviese un número de dígitos comprendido entre 50 y 100. De ahí se sacan dos bloques numéricos, uno de ellos con los 50 últimos dígitos(B) y otro con los restantes(A). Y que además se cumpliese que N=3AB.
    Yo creo que habrían 1250 soluciones. Sive dice que 1300… y si lo dice él….

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  32. Gracias manuel: ahora leo con atención”y otro con los restantes(A)”
    …es algo distinto que cambia la desigualdad de la restricción, si tengo tiempo lo miro y me peleo con ambos.
    Saludos

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  33. No os liéis, que sale bastante bien. Se obtiene fácilmente dos soluciones paramétricas para números N de 2n cifras. Lo que ocurre es que para n > 1, una de ellas decae por no cumplir una de las condiciones. Para n = 1 son las dos que se ponen como ejemplo, 15 y 24 claro.

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  34. Voy a dar una pista, en el lugar 22 hay un 6 y en la posición 71 hay un 3.
    Como aun faltan 98 dígitos, no creo que os sirva de mucho.

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  35. Sebas, es lo que dice manuel, ya te dije que tus conclusiones parecian correctas. Hablamos de un problema diferente.

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  36. Problema nº 28
    El número N lo descomponemos en dos partes A y B, eso significa que
    N= 10^(50) A + B

    Por otra parte, el problema impone la condición N = 3 AB
    Por tanto:
    10^(50)A + B = 3 AB

    10^(50) A= ( 3A -1 ) B
    Los números A y 3A – 1 no pueden tener ningún factor común excepto el 1, por tanto todos los factores de A han de estar en B, es decir:
    B = k A para algún natural k
    Sustituyendo:

    10^(50)A= ( 3A -1 ) kA
    10^(50)= ( 3A -1 ) k

    Los valores de k están bastante restringidos por las condiciones del problema. Por un lado, no puede ser mayor que 9, ya que B tiene que tener los mismos dígitos que A. Observando la ecuación anterior, sólo puede tener los factores del otro lado de la ecuación, los factores de 10, es decir: 1, 2, o 5. Pero 1 tampoco puede ser, ya que
    1050 +1 no es divisible por tres (da resto 2). Eso nos limita el análisis a dos casos: k=2 y k=5

    Para k=2
    A= ( 5 .1049 + 1) /3 = 1666….67 ( 48 veces el dígito 6)
    B=2A = 3333….34 ( 49 veces el dígito 3)
    N= 1666…673333…34

    Para k=5
    A= ( 2 .1049 + 1) /3 = 666….67 ( 48 veces el dígito 6)
    Esta posibilidad hay que descartarla puesto que A tendría 49 dígitos y no 50 como exige el problema.
    Resumiendo, solución única:
    N=1666…673333…34 = ( 5 . 1099 + 2 . 1050 + 2 ) / 3

    Vamos con la PROPUESTA de SIVE, que no restringe el número de dígitos del primer bloque A, de modo que pueden ser menos de 50 cifras.
    Analicemos la ecuación 10^(50)= ( 3A -1 ) k (1)

    Es evidente que los números (3A-1) y k sólo pueden tener como factores primos el 2 y el 5. Por tanto se expresarán en la forma:
    3A – 1 = 2^(50-m)x 5^(50-n) k = 2^m x 5^n para m y n naturales menores o iguales que 50

    Ahora bien, en la ecuación (1) hay un problema con la divisibilidad por 3. 10^50 dará de resto 1 al dividir por 3. Obviamente 3A-1 dará de resto -1 . Observemos la descomposición de k: el 2 da de resto -1 y el 5 da de resto 1. Tomando congruencias modulo 3 en la ecuación (1):
    1 ≡ ( -1 ) x ( -1 ) ^m x 1 ^ n (modulo 3)

    La ecuación anterior sólo se cumple para valores impares de m. El valor de n no influye. Por tanto, tenemos como posibles valores de m y n:
    m: 1, 3,5,……49
    n: 1,2,3,……50

    Por tanto, número de soluciones: valores m x valores de n= 25 x 50 = 1250

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  37. Muy bien manuel pero en la primera explicación se te olvidó considerar los casos de k=8, y k=4, ambos fáclmente descartables.

    En la segunda, tanto 2 como 5 son congruentes con 2 (mod 3), es decir, que la condición es que m y n tengan paridades diferentes.

    Entre 0 y 50 (ambos incluidos, el cero también) hay 25 números impares y 26 pares, así que el número de posibles soluciones será 2 · 25 · 26 = 1300.

    Digo “posibles” soluciones porque aún hay que comprobar cuantas de estas soluciones “caben” en 50 dígitos, pero es fácil demostrar que todas ellas lo hacen.

    Además, al dividir al principio por A en ambos términos de la ecuación de segundo grado, se elimina de la misma la solución trivial A=0 (que daría B=0), que si se considera válida (depende de cómo enunciemos el problema, cosa que no hemos hecho formalmente), pues daría un total de 1301.

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  38. Totalmente de acuerdo, Sive. Se me fue la olla con el 5, que obviamente es congruente con 2 ( modulo 3 ). También miré lo que dices, es decir que las soluciones obtenidas tuviesen todas menos de 50 dígitos y me pareció que era fácilmente demostrable. En cuanto a la solución trivial, yo no la incluiría. Lo dejaría en 1300 soluciones.

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  39. Sive y manuel: despues de “ver” ayer la ampliación al problema, he pensado algo en él, visto vuestra buena aportación nada puedo añadir.
    Saludos

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  40. No entiendo lo que dice el profesor al final, cuando afirma que la solución encontrada es una posible solución, y defiende que hay que comprobar que efectivamente cumple que N=3AB.

    Según lo veo, eso quedó demostrado al resolver la ecuación.

    Aparte de este detalle, este hombre debe ser un grandísimo profesor, qué gozada de explicación.

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