Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 30

Nueva entrega de los problemas propuestos en la edición digital de El País…con novedades. La primera es que se amplía el número de problemas a 40, por lo que el de esta semana no será el último (la segunda la comento casi al final del post). La cuestión es que ayer jueves se publicó el problema número 30 de los, ahora, 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema treinta se titula Apuesta arriesgada y lo propone Santiago Fernández Fernández, asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia de Bilbao y responsable de la sección de retos matemáticos del portal DivulgaMAT. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 10 de octubre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

La segunda de las novedades tiene que ver con los propios problemas. Se anima a los lectores a que envíen sus propios desafíos. El objetivo es que al menos tres de los diez que quedan sean de los enviados por los lectores. Si estás interesado en enviar una propuesta de problema debes enviar un mail a desafiolectores@gmail.com antes de que termine el martes 18 de octubre con los siguientes datos:

  • Texto del desafío, y de la solución propuesta, en formato texto. Puede ser acompañado de un doc o pdf con un desarrollo más extenso que explique cómo se presentaría y, en su caso, los dibujos o imágenes necesarios.
  • Nombre y dos apellidos y lugar de residencia.
  • Teléfono de contacto.

Se pide que los desafíos sean razonablemente originales y, en particular, que no se encuentren fácilmente en Internet. No hay limitación en cuanto al tema, pero tienen que poder resolverse con matemáticas de nivel medio o elemental. Y, evidentemente, los autores de estos tres desafíos recibirán la colección de libros que reciben los ganadores de cada semana.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

65 Comentarios

  1. Todavía no me he puesto a plantearlo, pero creo que el problema de esta semana se resuelve igual que uno de los anteriores.

    Después me pondré a ello y os diré qué tal me ha ido 😉

    Publica una respuesta
  2. El problema es sencillo según está planteado.
    Es fácil de generalizar si la cantidad que necesita el apostador es múltiplo de la que tiene inicialmente.
    Se complicaría un poco quitando la restricción de hacer siempre la apuesta más arriesgada y permitiendo otras más conservadoras.
    Más se complica aún si la cantidad deseada no es múltiplo de la inicial.

    Publica una respuesta
  3. Creo que es el problema peor expuesto y explicado de todos.

    ¿Por qué no es razonamble apostar 3000? Si ya, porque nos pasaríamos de los 5000 que necesitamos, pero eso hay que decirlo.

    Tampoco aclara si los 1000 con los que partimos cuentan para los 5000, o se necesitan 5000 de ganancia neta. Se puede deducir que sí que cuentan de lo anterior, pero si tenemos que andar descifrando el enunciado…

    ¿Y lo de los billetes al principio a que viene?

    Publica una respuesta
  4. A mí tampoco me ha quedado muy claro cómo pueden ser las apuestas. Yo deduzco lo siguiente, pero no estoy del todo seguro:
    – Si tenemos 1000, apostamos 1000.
    – Si tenemos 2000, apostamos 2000.
    – Si tenemos 3000, apostamos 2000.
    – Si tenemos 4000, apostamos 1000.
    – Si tenemos 5000, dejamos de apostar.

    ¿Estoy equivocado? A ver si me podéis sacar de la duda cuanto antes, que si no la solución varía bastante.

    Publica una respuesta
  5. Rafalillo, yo creo que las posibilidades son las que tu planteas. Sive, como siempre tienes razón. Me ha parecido una presentación bastante “tosca”, de hecho he tenido que leer el enunciado por escrito pues tenía mis dudas. No se si me he equivocado pero lo he resuelto en un momento. Un pequeño árbol de probabilidad, y una simple observación en cuanto a una recurrencia… y listo.

    Publica una respuesta
  6. Pues, en tal caso, como la solución es un número y no es plan decirlo, diré como pista que la probabilidad que nos piden en un valor que está entre el 0% y el 50%.

    Publica una respuesta
  7. Un economista resolvería este problema sin pestañear, y le sobrarían datos (da igual que haya que hacer forzosamente la apuesta más arriesgada o no, o que la cantidad deba ser un multiplo de 1000).

    Publica una respuesta
  8. Creo que el problema se resuelve fácilmente.
    Si no me he equivocado, el resultado es un número natural (o sea un porcentaje “natural”, XX%)…

    Publica una respuesta
  9. Entonces… ¡todos los racionales son naturales! XD XD XD (no me he podido contener Guille, es sólo una broma).

    Publica una respuesta
  10. Buenas, ¡sabéis cuántos problemas más van a poner? ¿O este es el último?

    Publica una respuesta
  11. Este es un caso en el que la solución intuitiva resulta ser correcta, lo que es poco habitual en estadística.

    Publica una respuesta
  12. La verdad es que es muy, muy facilito … Y el enunciado no lo encuentro tan confuso, la verdad. Y la apuesta, más que arriesgada, raya casi en lo desesperado …

    En cuanto al número de problemas, parecen que amplián a 10 más, al igual que la colección.

    Publica una respuesta
  13. Rafalillo, anda que te has lucido dando esa pista. El que no sea capaz de llegar a lo que has dicho, desde luego que no va a ser capaz de resolver el problema aún usando tu pista.

    Por cierto, de nuevo un problema bastante fácil. Y no es que sea fácil, es que anteriormente salió uno muy muy muy parecido, pero bastante más complicado, mucho más complicado. Habiendo salido el anterior, este no tiene ningún sentido, pero bueno.

    Publica una respuesta
  14. Me sorprende que ninguno digáis si os vais a animar a enviar una propuesta de desafío. A mí me gustaría, pero no me veo capaz ni de idearlo ni de luego exponerme a escarnio público si me graban, que aquí las críticas son feroces.

    Publica una respuesta
  15. Pues a mí el desafío me ha gustado bastante, creo que el bilbaino lo expone con gracia y desde luego este problema es la puerta para muchos de los problemas estocásticos. Efectivamente se puede resolver de varias maneras, en todas ellas seguramente recurrirá a árboles, recurrencia, conceptos de esperanza. Yo ya mandé mi solución y espero que los de la RSME pongan problemas en esta línea, ya que los problemas difíciles los hay a montones. Por cierto el enunciado está clarito, o al menos a mí me lo parece.

    Publica una respuesta
  16. Yo ya he pensado en mandar un problema. Pienso titularlo “Gol en el Camp Nou”.

    Publica una respuesta
  17. @Prodem yo he criticado muchas veces la exposición del problema, y también he aplaudido cuando me ha parecido digna de aplauso. Por ejemplo, el profesor José Manuel Bayod hizo una exposición magistral en la solución de su desafío, y así lo dije aquí. Vamos, es que ese video es para ponérselo a todo el que aspire a enseñar matemáticas o lo que sea, e ir explicando que es lo que hace bien el profesor y por qué es tan importante que se enseñe así. Y que conste que no conozco al profesor de nada.

    No me parece mal que se hagan bromas, pero es que la broma de este video ocupa demasiado y uno piensa que tiene algo que ver con el problema. El profesor Juan Gonzalez-Meneses, por ejemplo, hizo algunos comentarios chistosos (¡pero breves!), que quedaron bastante bien.

    En cambio, no critico si un problema es fácil, o no, feo o bonito (de hecho, me suelen parecer bonitos todos, por una razón o por otra).

    Publica una respuesta
  18. @Manuel. Me alegro de que te animes. A mí me sigue dando corte. Creo que me dolería que se dijese que mi explicación es “de frenopático” (DRAE: frenopatía. Enfermedad mental).

    Publica una respuesta
  19. Sive, un economista quizá permitiría que nuestro jugador inmortal se endeudara, como hace todo el mundo. Así, la primera apuesta sería de 4.000, y pasaría a tener 5.000 ó -3.000.
    Y siguiendo este sistema la probabilidad de conseguir los 5.000 sería 1, ¿No?
    Vale, no llegaría a 1 porque en algún momento alguna agencia de calificación haría que le cortaran el crédito, pero tendría una probabilidad alta de conseguir los 5.000.

    Publica una respuesta
  20. Sive, ahora más en serio, lo que comentas es que da lo mismo lo que apueste nuestro jugador. Si te entiendo bien, quieres decir que si por ejemplo en cada jugada apuesta siempre 1.000 euros, la probabilidad de conseguir los 5.000 euros también será …..
    Esto, ¿es fácil demostrarlo?.

    Publica una respuesta
  21. #Jesus, si no puede endeudarse, es fácil plantear un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (las probabilidades de ganar partiendo de 1000, 2000, 3000 y 4000 euros), que da el mismo resultado que en las condicones planteadas en el problema inicial.

    Publica una respuesta
  22. Ignacio Larrosa, no se si quieres decir que tu sistema de ecuaciones da el mismo resultado para el caso de empezar con 1000 euros o que es igual la probabilidad de ganar empezando con cualquiera de las cantidades, lo cual no es cierto.

    Publica una respuesta
  23. Hola a todos! ha sido el primer problema que me he atrevido a solucionar y estoy muy contento, me gustaria hablar con alguien que haya usado lo mismo que yo (una suma infinita) para ver si la función que he diseñado a trozos es aceptable o no. Espero no haberme excedido demasiado si así lo consideras Diamond borralo. Un saludo

    Publica una respuesta
  24. Ignacio Larrosa, ¿qué colección es la que amplían, la de los libros RBA que dan los domingos?

    Publica una respuesta
  25. Acabo de resolver el problema y me ha parecido muy interesante, desde luego no es evidente para personas con poca formación matemática. La presentación del desafío está bien y se ve que el profesor tiene ganas de comunicar. Quiero felicitar a los del País por esta iniciativa, que dure. Gracias

    Publica una respuesta
  26. @Jesus, mi comentario era una pista, para que al menos se pueda conseguir el resultado al cual hay que llegar.

    Un economista lo valoraría en términos de riesgos y ganancias. Como en este caso la ganancia es un dato, podría calcular el riesgo fácilmente, y llegaría al resultado correcto.

    Cambiando ligeramente el problema, probablemente el economista se equivocaría en su análisis, pero no es este caso.

    Publica una respuesta
  27. #JJGJJG, decía que si empieza con 1000 euros y siempre apuesta 1000 euros, la probabilidad de alcanzar 5000 es la misma que en el enunciado del problema. Desde luego que no es la misma que si empieza con 2000, 3000 ó 4000; lo que decía es que con estas cuatro probabilidades se puede formar un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que se resuelve muy fácilmente.

    #alex_cadiz, lo que se es lo que pone en El PAÍS:

    “Los desafíos matemáticos de EL PAÍS se prorrogan diez semanas más. Prometimos 30 retos para celebrar el centenario de la Real Sociedad Matemática Española pero serán finalmente 40, con un premio incrementado en la misma proporción, porque la biblioteca matemática que sorteamos entre los acertantes, y que cada semana se distribuye en el quiosco con EL PAÍS, también se amplía en diez volúmenes.”

    Publica una respuesta
  28. #Leumas, puede que tu solución sea correcta, pero no es necesario conocer el valor de la suma infinita de una progresión geométrica para resolver este problema

    #Sive, si llamamos p(k,N) a la probabilidad de conseguir N-mil euros partiendo de k-mil euros con las condiciones de apuesta más arriesgada del enunciado, lo que nos pide el problema es p(1,5) y eso lo tenemos claro y también está claro el valor de p(k,5). Me imagino el valor de p(1,N) y de p(k/N) pero no sé cómo se demuestra.
    Con la estrategia más sencilla de aportar siempre 1000 si que veo fácil demostrar que q(1,N) vale …. y q(k,N) vale …, con la pista de #Ignacio por ejemplo.

    Publica una respuesta
  29. Y por cierto, no se por qué le sigo llamando “apuesta más arriesgada” si resulta que tenemos la misma probabilidad de conseguir el objetivo con esta apuesta que con cualquier otra menos arriesgada.

    Publica una respuesta
  30. Leumas, sí, se puede hacer con una suma infinita, me imagino lo que has hecho. Pero también te comento que puede salir bastante más fácil. Fíjate en lo que pasa tras los 4 primeros términos de esa serie a ver si puedes reducirlo a algo más sencillo.

    Publica una respuesta
  31. #Zurditorium, lo de “suma infinita” puede asustar un poco, pero no es más que la suma de una progresión geométrica de razón menor que 1, que se enseña en 3º de ESO … No sabría decir muy bien cual es el método más sencillo de los dos. para un estudiante de ESO mínimamente aplicado, yo creo que el de la progresión.

    Publica una respuesta
  32. Gracias por molestaros en contestar mi post ^^ cuando salga publicada la solución diré lo que hice, aunque seguramente ya lo sabéis jaja. Un saludo!

    Publica una respuesta
  33. ¿Alguna pista para demostrar el caso general? Es decir, que la probabilidad de conseguir N partiendo de 1 (o partiendo de k si se quiere más general) es …., siguiendo la estrategia de apuesta del enunciado.
    O más general, apostando cada vez lo que se quiera, sin pasarnos en caso de ganar y sin endeudarnos en caso de perder.

    #Ignacio, aunque lo de sencillo es muy subjetivo, creo que si hay que elegir entre resolver una suma infinita o resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es más probable que el estudiante aplicado de la ESO elija la ecuación. Otra cosa sería si el enunciado se hubiera planteado en la forma ¿Que probabilidad tiene de conseguir los 5000 jugando un máximo de 4 veces? ¿y jugando un máximo de 8 veces? ¿y jugando un máximo de 12 veces? ¿y jugando un máximo de 4n veces?

    De todas formas, a mi también se me ocurrió primero la suma infinita, y después vi que con una ecuación salía más fácil.

    Publica una respuesta
  34. Por cierto Zurditorium, me gustaría, si quieres que una vez que se acabe el plazo de este problema publicases ese algoritmo más sencillo para ver a qué te refieres porque la verdad es que ahora mismo no caigo.

    Publica una respuesta
  35. ¿Y plantearlo como una cadena de Markov con 6 estados (dos de ellos absorbentes) y resolver el sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas asociado a dicha cadena?

    Publica una respuesta
  36. Hola.
    Más fácil aun. Es un juego justo, haga lo que haga, la esperanza de ganar debe ser …

    Publica una respuesta
  37. En este juego sólo hay 2 posibilidades, o ganamos 4 euros (con probabilidad p), o perdemos 1 euro (con probabilidad 1-p).
    La esperanza es la suma de los productos de las ganancias por la probabilidad, así que en este caso
    E = 4 * p – 1 * (1-p)

    El juego se llama justo cuando la esperanza es cero.

    Supongo que te refieres a que como intuitivamente el juego es justo, E debe valer 0, y por tanto p = 1/5.

    Publica una respuesta
  38. Me han gustado mucho las explicaciones del profesor Fernández en su resolución.

    Publica una respuesta
  39. La solución es algo más sencilla aplicando recursividad
    P = (1/2)^3+ ((1/2)^4 + (1/2)^4·P
    Y sale P=1/5
    Por cierto, la probabilidad de conseguir 6000€ sí es de un sexto, por idénticos motivos.

    Publica una respuesta
  40. ¡Qué curioso! El redactor de la solución ha leído gaussianos. Mirad lo que dice en el antepenúltimo párrafo y mi comentario (de 10 de octubre a las 20:13). Es casi una copia literal.

    Publica una respuesta
  41. En resumen, la probabilidad de conseguir N mileuros partiendo de k mileuros es k/N, y da igual que se haga siempre la apuesta más arriesgada o cualquier otra posible.

    Y a falta de otra demostración nos conformaremos con la que se basa en que la esperanza debe ser 0 por ser un juego justo. Que además queda tan sencilla…

    (N – k) p – k (1-p) = 0

    p = k/N

    Publica una respuesta
  42. Ignacio: porque en cada jugada la esperanza de la ganancia es nula y, por tanto, como el juego es una acumulación de jugadas y la esperanza de una suma es la suma de esperanzas, resulta que la esperanza de ganancia en el juego es nula.

    Publica una respuesta
  43. En ese caso, la demostración basada en la esperanza nula no tiene ninguna pega.

    Mi solución era la del árbol de probabilidades, que nos lleva de forma inmediata a una progresión geométrica de primer término 3/16 y razón 1/16, que me sigo pareciendo más directa y sencilla que plantear un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque sea muy fácil de resolver, como este.

    Publica una respuesta
  44. Sí. En este caso la cadena de Markov es como matar moscas a cañonazos.

    Publica una respuesta
  45. #Ignacio, a mi también me falta fundamentación teórica en este tema, pero se me ocurre un ejemplo que me desmonta la demostración basada en la esperanza…

    Supongamos que nos podemos endeudar, empezamos con 1, apostamos 4 y pasamos a tener -3 ó 5. Si tenemos -3 apostamos 8 y pasamos a tener -11 ó 5,…

    La probabilidad de conseguir 5 siguiendo este método es p = 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

    Sin embargo, si es un juego justo porque cada jugada es justa, como el juego sólo puede terminar con ganancia 4 (en otro caso no termina porque seguimos jugando), la esperanza quedaría

    E = 4 p

    y obtendríamos p = 1/4.

    Así que pienso ahora que el juego que consiste en apostar indefinidamente puede no ser un juego justo, aunque todas y cada una de las apuestas sean justas.

    A ver si algún teórico de la estadística nos saca de dudas…

    Publica una respuesta
  46. #Jesus, pero ahí te quedaría p = 0, no 1/4. Lo que ocurre es que hay una probabilidad nula de perder una cantidad infinita … Esto nos impide aplicar el procedimiento.

    Publica una respuesta
  47. #Jesus

    En tu juego, la última jugada no tiene esperanza nula sino positiva ya que el juego siempre acaba ganando. No es cierto, por tanto, que todas las jugadas sean justas.

    Publica una respuesta
  48. Yo di la misma explicación que Paco Moya, que me parece de las más sencillas. En cuanto a la exposición de la solución, la encuentro un poco confusa; quizá sea la forma de explicar del profesor. Yo no lo encuentro demasiado didáctico, la verdad.

    Publica una respuesta
  49. #Juanjo, no entiendo lo que quieres decir con que en la última jugada…

    No hay última jugada porque el juego no acaba nunca, y TODAS las jugadas tienen esperanza 0.

    Pero este juego NO es justo porque E = 4 p = 4 * 1 = 4

    Publica una respuesta
  50. #Jesus:

    Dices que el juego solo puede terminar con ganancia y que, en caso contrario, no termina. Entiendo, por tanto, que el juego termina cuando llegas a tener 5.

    Es cierto que no sabes en qué jugada acabará el juego pero sí sabes con seguridad que acabará. Tú mismo has calculado que la probabilidad de llegar al 5 es 1, por lo que es seguro que el juego acabará. En consecuencia, sí existe una última jugada: la que te lleva a 5.

    Además, esta última jugada es, por definición de tu juego, una jugada de esperanza positiva ya que en la última jugada siempre llegas a 5 viniendo de un número inferior. Así, hay una jugada (la última) con esperanza no nula. En consecuencia, no es cierto que todas las jugadas tengan esperanza nula: la última (que sí existe y es la que te lleva al 5) tiene esperanza positiva.

    En definitiva, se trata de un juego en el que todas las jugadas tienen esperanza nula MENOS LA ÚLTIMA (que tiene esperanza positiva) y, por tanto, no es un juego de esperanza nula.

    Publica una respuesta
  51. Jesús, creo que el fallo de tu razonamiento no es estadístico sino matemático.
    Con tu método calculas la probabilidad mediante la suma de una serie infinita.
    Al final de ella te encuentras con una probabilidad de “casi 1” de obtener una ganancia de 4 y una probabilidad infinitésima de tener una pérdida infinita.
    Al calcular la esperanza tendrías 4 x 1 – 0 * infinito y el segundo término es, como sabes, una indeterminación.
    Con las estrategias contenidas en los otros comentarios las series siempre son convergentes ya que las apuestas son finitas y el segundo término es 0 x finito.

    Publica una respuesta
  52. #JJGJJG, creo que estamos en las mismas, NO podemos asegurar que sea justo un juego que consista en apostar indefinidamente, aunque todas y cada una de las apuestas sean justas.
    En el problema del jugador inmortal original teníamos una serie que converge a 1/5, y en el problema del jugador inmortal endeudado tenemos una serie que converge a 1. Pero creo que no te refieres a esas series. Te refieres a las “pérdidas”, que en el caso original están acotadas y en el otro caso puede tender a -infinito.
    En el problema original, siguiendo tu razonamiento, tenemos una probabilidad “casi 1/5” de ganar 4 euros, “casi 4/5” de perder 1 euro, y “casi 0” de quedarnos igual.

    En resumen, la probabilidad de conseguir N mileuros partiendo de k mileuros es k/N, y da igual que se haga siempre la apuesta más arriesgada o cualquier otra posible (sin endeudarse y sin pasarse). Pero no tenemos demostración.

    Publica una respuesta
  53. #JJGJJG

    El juego que plantea Jesús tiene esperanza 4 y está bien calculada. El jugador siempre gana finalmente 4, pero no sabemos en qué jugada ocurre:

    – Si en la primera pasa de 1 a 5, gana 4 y acaba. La probabilidad de esto es 1/2
    – Si en la primera pierde (pasa de 1 a -3) y en la segunda gana (pasa de -3 a 5), gana 4 y acaba. La probabilidad de esto es 1/4.
    – Si en las dos primeras pierde (pasa de 1 a -11) y en la tercera gana (pasa de -11 a 5), gana 4 y acaba. La probabilidad de esto es 1/8
    – Si en las tres primeras pierde (pasa de 1 a -27) y en la cuarta gana (pasa de -27 a 5), gana 4 y acaba. La probabilidad de esto es 1/16.

    En resumen, la esperanza es 4x(1/2+1/4+1/8+1/16+…) = 4 x 1 = 4.

    Publica una respuesta
  54. Insisto #Jesús:

    No todas las jugadas son “justas”. La última, que existe con probabilidad 1 (o casi 1, según JJGJJG) es una jugada con esperanza positiva.

    Por tanto, no es válido tu argumento de las 15:32 cuando dices “aunque todas y cada una de las apuestas sean justas”.

    Publica una respuesta
  55. #Juanjo, que en la práctica no puede existir el juego planteado ya lo sabemos, tampoco es posible en la práctica el problema original porque para llegar a la probabilidad 1/5 hay que suponerle inmortal y que hace infinitas apuestas.

    #JJGJJG, No sé si ayuda o añade más dudas, sobre la indeterminación de cero por infinito, podemos pensar en el juego que consiste en hacer “n” apuestas. En este juego n, hay 2 posibilidades,

    o ganamos 4 con probabilidad (1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n),
    o perdemos (2^2 + 2^3 + … + 2^n) con probabilidad 1/2^n

    La esperanza de este juego n es E(n) = 0, haciendo el cálculo.

    O sea, que el limite cuando n tiende a infinito de E(n) es 0. La indeterminación infinito x cero que comentabas tiene valor 4.

    Publica una respuesta
  56. Límitemos el juego de Jesús en principio a n jugadas. Si lo he entendido correctamente, se trata de un juego justo con esperanza 0 de ganancias. Sea la probailidad de ganar 4000 euros p y la de perder (2^(n+2) – 5)*1000 euros (1 – p). Tenemos que

    4·p – (2^(n+2) – 5)(1 – p) = 0 ===> p = (2^(n + 2) – 5)/(2^(n + 2) – 1)

    Y como no puede ser menos, cuando n —> inf, p —> 1. Sin contradicción por ningún lado.

    Publica una respuesta
  57. … O sea, que el juego que parece el límite de los juegos “n” no tiene de esperanza el limite de las E(n).
    O sea, que la esperanza de limite (4 en nuestro caso) no es el limite de las esperanzas (0 en nuestro caso).

    Publica una respuesta
  58. Yo pienso que no puedes calcular la esperanza del límite. Puedes definirla como el límite de las esperanzas, 0.

    Este problema no es más que el clásico del jugador de ruleta, que juego siempre a rojo/negro, duplicando la apuesta cuando pierde. En la realidad, no puede aguantar una racha mínimamente prolongada de pérdidas, claro está.

    Publica una respuesta
  59. Pues el siguiente desafío, el 31, sí que es muy fácil, o lo he entendido mal.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Nueva entrega de los problemas propuestos en la edición digital de El País…con novedades.…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *