Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 31

Una entrega más de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Ayer jueves se publicó el problema número 31 de los, ahora, 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema treinta y uno se titula Números elegantes y lo propone Raúl Ibáñez, profesor titular de Geometría en la Universidad del País Vasco, responsable del portal DivulgaMAT, premio Savirón 2010 y COSCE 2011. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 17 de octubre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y recordad también que se ha animado a los lectores a que envíen sus propios desafíos. El objetivo es que al menos tres de los diez últimos sean de los enviados por los lectores. Si estás interesado en enviar una propuesta de problema debes enviar un mail a desafiolectores@gmail.com antes de que termine el martes 18 de octubre con los siguientes datos:

  • Texto del desafío, y de la solución propuesta, en formato texto. Puede ser acompañado de un doc o pdf con un desarrollo más extenso que explique cómo se presentaría y, en su caso, los dibujos o imágenes necesarios.
  • Nombre y dos apellidos y lugar de residencia.
  • Teléfono de contacto.

Se pide que los desafíos sean razonablemente originales y, en particular, que no se encuentren fácilmente en Internet. No hay limitación en cuanto al tema, pero tienen que poder resolverse con matemáticas de nivel medio o elemental. Y, evidentemente, los autores de estos tres desafíos recibirán la colección de libros que reciben los ganadores de cada semana.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

39 Comentarios

  1. Desde luego, la dificultad de éste, en concreto, brilla por su ausencia.
    Un poco de ensayo y error… y en menos de 5 minutos lo tienes.

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  2. Pues yo no he conseguido solucionarlo de momento.

    La clave será encontrar dos números consecutivos que lo sean, porque a partir de ahí ya está prácticamente hecho, pero a ver cómo encuentro esos dos números…

    En fin, habrá que pensar un poquito 😀

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  3. Rafaelillo, el camino es ese. Una vez que hayas encontrado dos números consecutivos elegantes, el resto del camino es fácil.

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  4. Lo bueno sería encontrar todas las parejas GENERADORAS.

    Sea la sucesión de todos los GENERADORES de números elegantes emparejados (n_{k}, n_{k}+1).

    Entonces (conjetura)

    \lim_{k\rightarrow \infty }\frac{n_{k}}{k}=43+\frac{e}{10}

    PD: supongo que se entiende lo de “GENERADOR”.

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  5. No es difícil.
    Por ensayo, por eliminación, o por tener en cuenta alguna propiedad de la suma, es fácil encontrar la solución.
    Crear subconjuntos infinitos, no tiene mucha excesiva complejidad.
    Si a ello añadimos que el problema en sí ya te da una pista descomunal, poco hay que trabajar.

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  6. No es por criticar, pero no me ha gustado el desafío nº 31, ya veremos el 32.

    Creo que es porque tiene más de calcular que de pensar. Demasiadas cifras y pocas letras. Esto de darle nombres a los números cuya representación en base 10 cumple no sé qué propiedad pienso que es más numerología que matemáticas.
    Por ejemplo en base 2 todos los números son elegantes, ¿no?.

    Por supuesto, cambiaré de opinión si alguien nos cuenta (cuando acabe el plazo si no puede ser antes) un razonamiento para averiguar los numeritos. No me vale lo de ir probando en orden hasta llegar.

    Me he alargado el nombre para no liarnos con “Jesús” y “Jesus” que sólo se distinguían en el acento.

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  7. Dicen que existen series de números consecutivos de números elegantes de todos los largos posibles, así por ejemplo, el primer par de números elegantes consecutivos son el xx y el xx.

    ¿Y cuáles son los primeros 3 números consecutivos elegantes?

    Pues son el abb0, abb1 y el abb2.

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  8. Como siempre, he dicho tonterías.

    Sí que hay cosas curiosas con estos números elegantes. Por ejemplo, que haciendo el cálculo que nos explica el video para ver si un número “n” es o no es elegante siempre llegamos a 1 (con lo que es elegante) o llegamos al “círculo”

    4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, … (con lo que no es elegante).

    Qué cosas.

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  9. A mi me ha servido para refrescar los comandos derecha, izquierda y extrae de excel. Que sabia que existían pero no suelo gastarlos. Casualmente mi apellido tambien empieza por C estoy por cambiarme al nick de gmail.

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  10. Jésús, una vez que tienes dos números hay un razonamiento fácil para encontrar otras parejas. No hace falta usar excel. Simplemente mira a la izquierda.

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  11. He usado excel para buscar la primera pareja, una vez que la tuviera la serie infinita es obvia.

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  12. Ya he encontrado una pareja de números elegantes 😀

    Eso sí, me gustaría que la explicación oficial no sea por fuerza bruta, que es como lo he hecho, y sí con una demostración pura y dura.

    Saludos y suerte a los demás 😉

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  13. Queda claro que hay infinitas parejas de elegantes consecutivos.
    ¿Alguien se atreve a demostrar que no existe un TRÏO de elegantes consecutivos?
    ¿O a mostrar un contraejemplo?

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  14. #JJGJJG

    Sí que hay trio de elegantes consecutivos. Si ponemos un ejemplo estamos dando una solución porque en un trio de números consecutivos hay dos parejas de números consecutivos.
    Te doy un ejemplo cuando acabe el plazo si quieres.

    Otra pista para el problema original:

    Los 6 primeros números elegantes son

    1, 7, 10, xx, xx y xx

    y sabiendo estos 6 números ya se puede resolver el desafío, y en estos 6 números no hay dos consecutivos.

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  15. Jesús C

    Con dos cifras yo he encontrado dos numeros elegantes consecutivos…
    y mas de seis que elegantes…

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  16. #Hipatia

    Sí, sí, claro que hay más de 6 números elegantes. Del 1 al 100 hay unos veinte números.

    Dicen que aprox. el 15% de los números son elegantes.

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  17. “…existe un TRÏO de elegantes consecutivos…”

    Lo suyo sería para N consecutivos.

    Por ejemplo, hay cadenas de 1, 2, 3, 4 y 5 números elegantes consecutivos, sin embargo, si hay una cadena con 6 elegantes consecutivos, ésta, debe empezar en un elegante bastante grande (al menos, respecto las cadenas anteriores).

    (La primera cadena de 5 elegantes consecutivos está dentro de los primeros 50K, pero para encontrar la cadena de 6 hay que ir más allá de 6,5M… si existe).

    (Todo ésto claro, por fuerza bruta 😛 ).

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  18. #Rafalillo

    Creo que “demostración pura y dura” igual no hay, pero tampoco hace falta fuerza bruta, se puede hacer “a mano”, en una hoja te cabrá. Y me refiero al desafío original, no a lo de buscar cadenas de 3, 4, 5,… consecutivos. A eso parece que se está dedicando #josejuan, con ayuda de la informática supongo.

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  19. “tampoco hace falta fuerza bruta, se puede hacer “a mano”, en una hoja te cabrá”

    Y en una línea, sólo hace falta ver que el número 10 se desco… de ahí que la gente proponga casos más generales, para hacerlo más divertido. 😀

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  20. #josejuan, Lo que quería decir es que puede ser interesante hacerlo a mano porque se ven cosas que no ves si lo haces con excel o con un programa.

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  21. Con las vacaciones me había descolgado de los desafíos matemáticos pero he vuelto a la carga y resolviendo este desafío aunque ciertamente no es de los más difíciles.

    No conocía el Proyecto Euler que comenta Ñbrevu lo he estado mirando y parece realmente interesante.

    Un saludo

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  22. Tengo 82 tríos del 1 al 100000, tambien tengo cuartetos y quintetos. Un sexteto aún no he encontrado, sólo he probado hasta 70000000.

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  23. “…existen series de números felices consecutivos tan largas como queramos…”

    Me encantaría que me explicaran cómo enlazar la propiedad recursiva de ser elegante con la de ser consecutivo.

    Hay muchas propiedades comunes a los elegantes (dan igual los ceros, da igual el orden, se pueden obtener a partir de las particiones de las potencias de 10, se pueden establecer relaciones entre grupos de dígitos, etc…) y muchas otras de los consecutivos (sólo incrementando el 9 se modifican los dígitos siguientes, etc…) ¡pero con qué propiedad/es se pueden enlazar esas propiedades!.

    Por ejemplo, viendo el ejemplo de 9 consecutivos que muestras (Jesús) se ve fácilmente (a toro pasado, claro :P) cómo se aprovecha la fantástica posición del 7 para modificar los dígitos según se incrementa, pero ¡¿cómo llegar a dicha relación?! (sin tanteo y error, claro).

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  24. Mi solución fue considerar un número formado por 10^n unos, de la forma 111….111. Evidentemente es elegante. El número 11…12 es consecutivo con el anterior, y también es elegante, pues 10^n-1+4=10^n+3 ; 1+9=10.

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  25. Pues algo más sencillo era: 31 y 32; 301 y 302, 3001 y 3002,…; 3·10^n+1 y 3·10^n+2
    Hay infinidad más de formas: 192 y 193; 1902 y 1903, etc
    262 y 263, 2602 y 2603, …
    Ad infinitum

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  26. Lo pensaba de otra manera:

    Tenemos un numero X = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \cdot 10^{i}

    y definimos los numeros Elegantes como:  E_{k}
    Por ejemplo:  E_{0}=1 ,  E_{1}=7 ,  E_{2}=10 ,  E_{3}=13 ,  E_{4}=19 ,  E_{5}=23

    Luego:

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )^{2} = \sum_{i=0}^{n} a_{i}^{2} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

    Entonces:

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )^{2} = E_{k} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

    Finalmente:

      E_{k} = \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )^{2} -2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

    Por ejemplo el 4417

      (4+4+1+7)^{2} - 2(4\cdot4 + 4\cdot 1+4\cdot 7+4\cdot 1+4\cdot 7+1\cdot 7)=82=E_{14}

      (8+2)^{2} - 2(8\cdot2)=68=E_{11}

      (6+8)^{2} - 2(6\cdot8)=100=E_{19}

    Los primeros 101 números elegantes

    1 – 7 – 10 – 13 – 19 – 23 – 28 – 31 – 32 – 44 –
    49 – 68 – 70 – 79 – 82 – 86 – 91 – 94 – 97 – 100 –
    103 – 109 – 129 – 130 – 133 – 139 – 167 – 176 – 188 – 190 –
    192 – 193 – 203 – 208 – 219 – 226 – 230 – 236 – 239 – 262 –
    263 – 280 – 291 – 293 – 301 – 302 – 310 – 313 – 319 – 320 –
    326 – 329 – 331 – 338 – 356 – 362 – 365 – 367 – 368 – 376 –
    379 – 383 – 386 – 391 – 392 – 397 – 404 – 409 – 440 – 446 –
    464 – 469 – 478 – 487 – 490 – 496 – 536 – 556 – 563 – 565 –
    566 – 608 – 617 – 622 – 623 – 632 – 635 – 637 – 638 – 644 –
    649 – 653 – 655 – 656 – 665 – 671 – 673 – 680 – 683 – 694 –
    700

    Los primeros 101 pares de elegantes consecutivos

    (31, 32) – (129, 130) – (192, 193) – (262, 263) – (301, 302) –
    (319, 320) – (367, 368) – (391, 392) – (565, 566) – (622, 623) –
    (637, 638) – (655, 656) – (912, 913) – (931, 932) – (1029, 1030) –
    (1092, 1093) – (1114, 1115) – (1121, 1122) – (1151, 1152) – (1184, 1185) –
    (1211, 1212) – (1221, 1222) – (1257, 1258) – (1274, 1275) – (1299, 1300) –
    (1332, 1333) – (1447, 1448) – (1474, 1475) – (1511, 1512) – (1527, 1528) –
    (1574, 1575) – (1581, 1582) – (1724, 1725) – (1744, 1745) – (1754, 1755) –
    (1771, 1772) – (1784, 1785) – (1814, 1815) – (1851, 1852) – (1874, 1875) –
    (1880, 1881) – (1881, 1882) – (1902, 1903) – (1929, 1930) – (2062, 2063) –
    (2111, 2112) – (2121, 2122) – (2157, 2158) – (2174, 2175) – (2211, 2212) –
    (2257, 2258) – (2338, 2339) – (2457, 2458) – (2484, 2485) – (2517, 2518) –
    (2527, 2528) – (2547, 2548) – (2554, 2555) – (2571, 2572) – (2574, 2575) –
    (2581, 2582) – (2602, 2603) – (2714, 2715) – (2751, 2752) – (2754, 2755) –
    (2844, 2845) – (2851, 2852) – (3001, 3002) – (3019, 3020) – (3067, 3068) –
    (3091, 3092) – (3132, 3133) – (3238, 3239) – (3312, 3313) – (3328, 3329) –
    (3331, 3332) – (3355, 3356) – (3364, 3365) – (3382, 3383) – (3391, 3392) –
    (3465, 3466) – (3535, 3536) – (3563, 3564) – (3607, 3608) – (3634, 3635) –
    (3645, 3646) – (3653, 3654) – (3789, 3790) – (3797, 3798) – (3832, 3833) –
    (3896, 3897) – (3901, 3902) – (3931, 3932) – (3977, 3978) – (3986, 3987) –
    (4147, 4148) – (4174, 4175) – (4257, 4258) – (4284, 4285) – (4365, 4366) –
    (4417, 4418)

    http://thantajayu.memi.umss.edu.bo/cristhian/weblog/numeros-elegantes

    Un detalle es que aun no encuentro un par consecutivo de elegantes ‘al cubo’

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  27. Ahora como relacionamos dos Números Elegantes?

    Partiendo de

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right ) \cdot \left ( \sum_{i=0}^{n} b_{i} \right ) = \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \cdot b_{i} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot b_{j} +a_{j} \cdot b_{i} \right )

    Y teniendo un número:   E_{m}=\sum_{i=0}^{n} a_{i} \cdot 10^{i}

    Luego

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right ) \cdot \left ( \sum_{i=0}^{n} 10^{i} \right ) = \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \cdot 10^{i} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right ) \cdot \left ( \frac{10^{n+1}-1}{9} \right ) = \left ( E_{m} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )

    Pero

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )^{2} = \sum_{i=0}^{n} a_{i}^{2} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )^{2} = E_{k} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

      \sum_{i=0}^{n} a_{i} = \sqrt[]{ E_{k} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j} }

    Ahora

      \left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} \right )  =  \left(   E_{m} + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{10^{n+1}-1} \right )

       E_{k} +   2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}  =  \left [  \left(   E_{m} + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{10^{n+1}-1} \right )  \right ]^{2}

    Finalmente

       E_{k}   =  \left [  \left(   E_{m} + \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{10^{n+1}-1} \right )  \right ]^{2} - 2 \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i}a_{j}

    Es importante notar que los valores de m y k no se usan

    Por ejemplo E_{m} = 31, n=1, a_{0}=1, a_{1}=3

      E_{k}   =  \left [  \left(   E_{m} + \left ( \sum_{i=0}^{0} \sum_{j=i+1}^{1} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{10^{2}-1} \right )  \right ]^{2} - 2 \sum_{i=0}^{0} \sum_{j=i+1}^{1} a_{i}a_{j}

      E_{k}   =  \left [  \left(   E_{m} + \left ( a_{0} \cdot 10^{1} +a_{1} \cdot 10^{0} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{99} \right )  \right ]^{2} - 2 \cdot a_{0} \cdot a_{1}

      E_{k}   =  \left [  \left(   31 + \left ( 1 \cdot 10 + 3 \cdot 1 \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{1}{11} \right )  \right ]^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 3

      E_{k}  =  \left [  \left(   31 + 13    \right )  \cdot \left ( \frac{1}{11} \right )  \right ]^{2} - 6  =4^{2}-6 = 16-6 = 10

    Otro ejemplo E_{m} = 4417, n=3, a_{0}=7, a_{1}=1, a_{2}=4, a_{3}=4

      \left [  \left(   E_{m} + \left ( \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=i+1}^{3} a_{i} \cdot 10^{j} +a_{j} \cdot 10^{i} \right )    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{10^{4}-1} \right )  \right ]^{2} - 2 \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=i+1}^{3} a_{i} \cdot a_{j}

      E_{k}   =  \left [  \left(   E_{m} +    \begin{pmatrix}     a_{0} \cdot 10^{1} +a_{1} \cdot 10^{0} +  \\ a_{0} \cdot 10^{2} +a_{2} \cdot 10^{0} +  \\ a_{0} \cdot 10^{3} +a_{3} \cdot 10^{0} +  \\ a_{1} \cdot 10^{2} +a_{2} \cdot 10^{1} +  \\ a_{1} \cdot 10^{3} +a_{3} \cdot 10^{1} +  \\ a_{2} \cdot 10^{3} +a_{3} \cdot 10^{2}    \end{pmatrix}    \right )  \cdot \left ( \frac{9}{9999} \right )  \right ]^{2} - 2 \begin{pmatrix}     a_{0} \cdot a_{1} +  \\ a_{0} \cdot a_{2} +  \\ a_{0} \cdot a_{3} +  \\ a_{1} \cdot a_{2} +  \\ a_{1} \cdot a_{3} +  \\ a_{2} \cdot a_{3}   \end{pmatrix}

      E_{k}   =  \left [  \left(   4417 +    \begin{pmatrix}     7 \cdot 10^{1} +1 \cdot 10^{0} +  \\ 7 \cdot 10^{2} +4 \cdot 10^{0} +  \\ 7 \cdot 10^{3} +4 \cdot 10^{0} +  \\ 1 \cdot 10^{2} +4 \cdot 10^{1} +  \\ 1 \cdot 10^{3} +4 \cdot 10^{1} +  \\ 4 \cdot 10^{3} +4 \cdot 10^{2}    \end{pmatrix}    \right )  \cdot \left ( \frac{1}{1111} \right )  \right ]^{2} - 2 \begin{pmatrix}     7 \cdot 1 +  \\ 7 \cdot 4 +  \\ 7 \cdot 4 +  \\ 1 \cdot 4 +  \\ 1 \cdot 4 +  \\ 4 \cdot 4  \end{pmatrix}

      E_{k}   =  \left [  \left(   4417 + 13359  \right )  \cdot \left ( \frac{1}{1111} \right )  \right ]^{2} - 2 \cdot 87

      E_{k}   =  \left [  \left(   17776  \right )  \cdot \left ( \frac{1}{1111} \right )  \right ]^{2} - 174 = 16^{2}-174=256-174=82

    Nota: Para editar las formulas en latex uso una página como http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php para ver on-line como quedarían las formulas luego es fácil poner la formula entre las etiquetas [ l a t e x ] formula en latex [ / l a t e x ] (sin espacios)

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  28. Los primeros 101 Números Felices o Elegantes (E_{m}) y sus respectivos valores E_{k} según la formula anterior.
    En formato m:[E_{m}, E_{k}]

    0:[1, 1] – 1:[7, 49] – 2:[10, 1] – 3:[13, 10] – 4:[19, 82] –
    5:[23, 13] – 6:[28, 68] – 7:[31, 10] – 8:[32, 13] – 9:[44, 32] –
    10:[49, 97] – 11:[68, 100] – 12:[70, 49] – 13:[79, 130] – 14:[82, 68] –
    15:[86, 100] – 16:[91, 82] – 17:[94, 97] – 18:[97, 130] – 19:[100, 1] –
    20:[103, 10] – 21:[109, 82] – 22:[129, 86] – 23:[130, 10] – 24:[133, 19] –
    25:[139, 91] – 26:[167, 86] – 27:[176, 86] – 28:[188, 129] – 29:[190, 82] –
    30:[192, 86] – 31:[193, 91] – 32:[203, 13] – 33:[208, 68] – 34:[219, 86] –
    35:[226, 44] – 36:[230, 13] – 37:[236, 49] – 38:[239, 94] – 39:[262, 44] –
    40:[263, 49] – 41:[280, 68] – 42:[291, 86] – 43:[293, 94] – 44:[301, 10] –
    45:[302, 13] – 46:[310, 10] – 47:[313, 19] – 48:[319, 91] – 49:[320, 13] –
    50:[326, 49] – 51:[329, 94] – 52:[331, 19] – 53:[338, 82] – 54:[356, 70] –
    55:[362, 49] – 56:[365, 70] – 57:[367, 94] – 58:[368, 109] – 59:[376, 94] –
    60:[379, 139] – 61:[383, 82] – 62:[386, 109] – 63:[391, 91] – 64:[392, 94] –
    65:[397, 139] – 66:[404, 32] – 67:[409, 97] – 68:[440, 32] – 69:[446, 68] –
    70:[464, 68] – 71:[469, 133] – 72:[478, 129] – 73:[487, 129] – 74:[490, 97] –
    75:[496, 133] – 76:[536, 70] – 77:[556, 86] – 78:[563, 70] – 79:[565, 86] –
    80:[566, 97] – 81:[608, 100] – 82:[617, 86] – 83:[622, 44] – 84:[623, 49] –
    85:[632, 49] – 86:[635, 70] – 87:[637, 94] – 88:[638, 109] – 89:[644, 68] –
    90:[649, 133] – 91:[653, 70] – 92:[655, 86] – 93:[656, 97] – 94:[665, 97] –
    95:[671, 86] – 96:[673, 94] – 97:[680, 100] – 98:[683, 109] – 99:[694, 133] –
    100:[700, 49]

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  29. No sé si habeis visto la solución que propone, pero hay algo que no me cuadra. ¿Por qué unos números tan enormes? Simplemente a partir de la pareja (31, 32) vamos colocando ceros enmedio y obtenemos infinitas parejas: (301, 302) (3001, 3002), etc. De hecho, esa fue la solución que envié. Un saludo.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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