Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 35

Una entrega más de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Esta semana toca el problema número 35 de los 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema treinta y cinco se titula Un rectángulo de cuadrados y lo propone Marta Macho Stadler, profesora de Geometría en la Universidad del País Vasco. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 14 de noviembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

37 Comentarios

  1. ¿ Alguien puede precisar a qué se refiere con “Diréis que en la figura no todo son cuadrados, y es cierto. Lo que ha pasado es que la figura se ha deformado y los cuadrados se ven como rectángulos, pero sabemos que las alineaciones de los cuadrados que forman originalmente R son las mismas que las de los rectángulos de la figura” ¿

    ¿ Son cuadrados o no son cuadrados lo del interior ? Si lo que hay en el interior son rectángulos ¿ por qué lo llama cuadrados ?

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  2. Creo que todo son cuadrados salvo R que es un rectángulo.

    Por lo que interpreto, hay que rellenar completamente con 13 cuadrados de distintos tamaños un rectángulo R. Según la figura, el cuadrado rojo, de lado 3, es el más pequeño. Además, cada cuadrado de la solución debe tener como vecinos un número determinado de cuadrados de forma coincidente con la figura mostrada.

    Con un poco de búsqueda y paciencia en el lugar adecuado, la cosa sale rápido…

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  3. O sea, no hay que encontrar los lados de los “cuadrados” de la figura que muestran, sino encontrar una disposición de cuadrados dentro de un rectángulo similar a la de la figura
    Pues no se….no veo claro el enunciado del problema, la verdad …

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  4. Soy Marta, intento explicaros mejor lo que se pide.

    El rectángulo que se muestra en el video está subdividido en rectángulos… se ve claramente.

    El rectángulo del desafío es SIMILAR al que se muestra en el sentido de que los CUADRADOS que lo forman están alineados como en la figura. Pero el buscado está formado por 13 cuadrados (incluído el rojo). ¿Por qué hemos puesto una imagen deformada?
    Porque si hubiéramos puesto la imagen real, bastaría con imprimir la figura, coger una regla y medir… y se trata de recuperar los cuadrados (los 12 + el rojo) a partir de la figura que se muestra…

    Espero que ahora esté más claro.

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  5. Aparte de la forma fácil, que es la búsqueda especializada en la web adecuada, supongo que la forma laboriosa de resolverlo sería plantear un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas basándonos en la disposición de los cuadrados en la figura.

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  6. Dimitri, no hacen falta tantas incógnitas. Yo he conseguido reducirlas bastante.
    Vamos un sudoku diferente.

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  7. En estos ejercicios, se trata de jugar, Dimitri… buscar la solución en otros sitios no tiene gracia.
    Se trata de un problema para pasar un rato de diversión… 😉

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  8. Marta, a buena fe que lo has conseguido.
    ¿No hay una solución de esas instantáneas?. Una de esas ideas felices.
    Deduzco por lo que dices que hay que jugar, pero me quedo con ganas de buscar otra alternativa. Me ha costado un ratito.
    Dime que no la hay, y así paso el fin de semana tranquilo.

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  9. Julio,
    no creo que haya una solución “de idea feliz”… es decir, no creo haya que usar técnicas de teoría de supercuerdas… 😯

    Estáte tranquilo, Julio… pasa el fin de semana relajado, y no te olvides de mandar tu solución,… a ver si ganas la bilbioteca 😛

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  10. Marta, estos desafíos no suelen terminar con la respuesta, seguro que aparece alguien que se pone a buscar alguna función, o el término general de la sucesión, o vete tú a saber, y lo que parece un juego termina siendo un auténtico problema de magnitud insospechada.
    Por mi parte intentaré dejar algo bonita la parte de la explicación, aunque veo que no es obligatoria.

    Y ahora para los curiosos. Hoy es 11/11/11, ¿Estará el 11 entre esos números?

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  11. No es obligatoria, pero mejor si la mandas.

    Y si no se acaba con la respuesta, mejor… hay que tener la neurona alegre y combativa.

    ¿Estará el 11? ¿o no?

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  12. Yo envié la primera forma que se me ocurrió, un poco laboriosa. Pero veo que te puedes apañar con 2 o 3 incógnitas e ir jugando al “sudoku”.
    E idea feliz instantánea de la que busca julio no creo que haya.

    Lo primero que se le puede ocurrir a uno es 14 incógnitas (12 lados de los cuadrados más 2 lados del rectángulo) e intentar sacar 14 ecuaciones. Y creo que se pueden sacar lo menos 15. No sé, igual hasta sobran datos.

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  13. Pues yo creo que la gracia está en tratar de buscar el enfoque más simple para tratar con el menor número de incógnitas posibles. Yo me las he arreglado con 2 incógnitas.
    En cinco minutos listo.

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  14. Este desafío estuvo fácil, y sí hay un cuadrado de tamaño 11 por ahi, jeje.
    También lo pude hacer con 2 variables

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  15. Problema de formar un rectángulo AxB con n cuadrados que sean todos distintos. También sirve que el rectángulo sea un cuadrado, es decir que A=B.

    Para n=2. No se puede. Se ve claro que con 2 cuadrados distintos no podemos formar un rectángulo.

    Para n=3. No se puede. Sólo se me ocurre poner 3 cuadrados iguales en fila, o 1 grande y dos pequeños iguales al lado. Pero no serían los 3 distintos.


    Para n=13. Sí que se puede. Por ejemplo el caso de este desafío.

    Y los que han estudiado el tema dicen que tampoco se puede para n=4, 5, 6, 7, 8. Para 9 ya sí.

    Curioso.

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  16. Efectivamente, se pueden fácilmente formular todas las incógnitas en función de 2 de ellas.

    Con un tanteo rápido se descubre la única diferencia válida entre esas dos y ya solo queda tantear valores de una de ellas para resolver completamente.

    El dibujo tiene una pequeña trampita que podría inducir a pensar que la solución encontrada no sirve, pero creo que, o se ha producido inadvertidamente al deformar el rectángulo original, o se ha introducido intencionadamente para no ponerlo demasiado fácil.

    La “trampita” se descubre al dibujar a escala la solución una vez obtenida.

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  17. JJGJJG ya nos informarás de esa trampita, por curiosidad, (cuando acabe el reto).
    Por cierto, hablas de tantear valores, en mi caso reduje todo a dos incógnitas, y con un sistema de dos ecuaciones me salía directamente la respuesta, no tuve que tantear nada.
    Me imagino que habrá diferentes estrategias, y con el mismo resultado.

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  18. Muy observador JJGJJG 🙂

    No ha sido intencionado. Cuando algún lector nos lo ha señalado hemos hecho un nuevo dibujo, pero los de elpais.com todavía no lo han subido (como creo que he comentado alguna vez por aquí, los medios con los que contamos para esto son menos de los que se puede pensar).

    A juzgar por las soluciones recibidas, no parece en cualquier caso que el pequeño fallo (que no trampa) esté causando confusión. Supongo que la mayoría de los lectores ni siquiera lo han notado, así que no lo comento no vaya a ser que sea yo el que confunda.

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  19. Al comprobar mi respuesta, me acabo de dar cuenta, es verdad.
    Creo que lo hemos resuelto por la vía difícil. hubiese sido mucho mas facil.

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  20. Cuando puse mi primer comentario había puesto todas en función de dos y me lancé a tantear sin más averiguaciones por la impaciencia por obtener el resultado.
    Mirado después con más calma ví que en efecto, es fácil encontrar otras dos ecuaciones independientes que dan directamente los valores de las dos elegidas al principio.

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  21. El errorcito fue afortunado pues sin él hubiéramos disfrutado menos al resolverlo.

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  22. La pista de la dimensión del cuadrado de tres unidades de lado es innecesaria.
    Si consideramos como incógnita este dato tendremos el mismo sistema de ecuaciones que antes pero ahora será homogéneo.
    Expresando todos los lados en función de la nueva incógnita comprobamos que el mínimo valor que nos da valores enteros para todas las dimensiones es precisamente el 3.
    Se podía haber planteado el problema pidiendo el rectángulo mínimo que se pueda formar con cuadrados de lados enteros y que se ajusta al dibujo al deformarlo.

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  23. Vaya, entonces la ecuación adicional con la que me he encontrado al pasar a limpio la solución era el “error” del que estáis hablando. Menos mal que todo cuadra… Cuando estás dando clase suelen producirse este tipo de cosas: problemas que no tienen solución, problemas que de repente tienen soluciones inesperadas, son cosas del directo…

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  24. Ya está en elpais.com la imagen corregida.

    Esto proporciona un nuevo reto: encontrar la diferencia 🙂

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  25. En el enunciado no pone en ningún lugar que los lados han de ser valores enteros.

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  26. Ferran, en el enunciado no pone que los lados han de ser valores enteros porque no hay motivo para ponerlo, no es un olvido. Que los lados sean enteros no es una hipótesis del problema.

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  27. Variante de problema. No sé cómo se resuelve, pero sí creo que la solución es única.

    Tenemos un rectángulo de 150 x 224, que está dividido en 13 cuadrados. El lado de uno de los cuadrados mide 6. ¿Cuánto miden los otros 12 lados?

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  28. Jesús C: Lo divertido de estos problemas es que siempre estamos buscando los tres pies del gato. Yo aún no he superado el trauma del a^2+b^2=99^2+c^2 y este que propones a primera vista me huele mas duro de roer.
    Saludos

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  29. Jesus C, me aventuro a decir que el doble de un número al cuadrado, es cuatro veces mayor, y la suma de elementos cuadruplicados, hace lo mismo con el resultado final. Con ese razonamiento, y que el doble de un número, por el doble de otro, también cuadruplica el resultado……

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  30. julio, no te sigo, creo que te he mareado con doblar los lados del rectángulo. Lo repito si quieres de otra forma…

    Tenemos un rectángulo de 75 x 112, que está dividido en 13 cuadrados. El lado de uno de los cuadrados mide 3. ¿Podemos asegurar cuales son las medidas de los otros 12 lados?

    sebas, no sé qué es lo de a^2+b^2=99^2+c^2, ¿Se trata de hallar soluciones enteras, a distinto de 99 y b distinto de c?

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  31. Jesús C: Me refiero a un problema que apareció qor aqui (y ahora no lo encuentro). Creo recordar que pedía, calcular los enteros a, b y c tales que a+b+c sea máximo, yo lo resolví a lo bestia y logicamente no quedé satisfecho, a lo mejor ^DiAmOnD^ nos manda el enlace Saludos

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