Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 36

Un viernes más os traigo uno de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Esta semana es el problema número 36 de los 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema treinta y seis se titula Unas medias enteras y lo propone Pedro Carrión Rodríguez de Guzmán, profesor en el IES Alcántara de Alcantarilla (Murcia), que además es el primer lector elegido para presentar su propio desafío. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 21 de noviembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. El problema es facilito. No creo que os dure más de diez minutos. Es complicado dar pistas, como no sea cuestiones elementales de divisibilidad. La restricción de que los dos números sean distintos es completamente necesaria, pues en caso contrario saldría de inmediato una solución trivial…

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  2. Menores que 1.000 me salen unos 10 primos. Por ejemplo el 5, el 13, …, etc.

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  3. Al hacer el planteamiento, los números salen sólos, si vas teniendo en cuenta las condiciones impuestas.
    Es acorde a lo que se suele plantear. Fácil, bonito y permite muchas variantes.
    En efecto, la divisibilidad marca la pauta, y el hecho de que deba ser primo, favorece el escenario.

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  4. Resuelto por fuerza bruta con excel ahora a pensar por que son esos valores.

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  5. Como este habrá sabido a poco sugiero otro parecido.

    Encontrar el menor primo p mayor que 100 para el que existen otros dos números enteros q y r distintos de él y entre sí, y no necesariamente primos, de manera que las medias aritmética, geométrica y armónica de p, q y r sean números naturales.

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  6. Otro más:
    Encontrar el menor primo p que forme simultáneamente parte de una pareja (p, q) y de una terna (p, r, s) con la citada propiedad de que en ambos casos la tres medias sean enteras y p, q, r, y s sean distintos.

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  7. Como este habrá sabido a poco sugiero otro parecido.

    Encontrar el menor primo p mayor que 100 para el que existen otros dos números enteros q y r distintos de él y entre sí, y no necesariamente primos, de manera que las medias aritmética, geométrica y armónica de p, q y r sean números naturales.
    _____________________________
    ¿Estas seguro que este problema tiene solución? Yo creo que no la tiene.
    Y, por tanto, el segundo problema que has sugerido tampoco la tiene.

    Creo disponer de demostración pero no del tiempo para publicarla. (Perdón por la excusa fermatiana)

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  8. pcrdeg, la demostración de que ambos problemas tienen solución cabría en el margen de la Aritmética de Diofanto. Además tengo soluciones para ambos problemas.
    El primero de ellos tiene 11 soluciones por debajo de 1000. El segundo, sin embargo, solo tiene 2 soluciones por debajo de 10000.

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  9. Fuá lo saqué! He sudao tinta. Todo el rato oía campanas pero no sabía dónde, de repente un camino se ha abierto sobre mí donde parecía no haber nada… Tenía que estar estudiando pero me ha absorbido totalmente el problemita. Por lo menos he desengrasado un poco las neuronas… jeje. Me ha costado una hora larga, nada de 10 minutos, imaginad la de vueltas en círculo que he dado! 😉 ¡Voy a contárselo a mi madre y a mi perro!

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  10. Creo que el hecho de que

    A(p,q) = \frac{p+q}{2} = \alpha

    G(p,q) = \sqrt{pq}  = \beta

    H(p,q) = \frac{\beta^2}{\alpha}  = \gamma

    Deberia ser de ayuda, pero no se hasta que realmente lo resuelva, o no.

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  11. Estos últimos problemas no han sido muy dificiles y para compensar se han propuesto alternativas, en cambio considero que quedó pendiente el de la Olimpiada Matemática Argentina “Máximo y nínimo valor de la suma”, dado que creo haber encontrado una solución satisfactoria lo propongo como alternativa, un poco mas tarde pasaré a él aportando unas pistas de mi forma de resolverlo dejando un poco de tiempo para los que jugaron con él puedan volver a intentarlo.
    Tengo pensado exponerlo por completo por si lo podeis mejorar
    Saludos

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  12. De forma similar a la del profesor, o un poco más sencilla creo, a lo que llegaba es

    (1) Para cualquier primo p:

    Las tres medias de p y q son enteras si y sólo si q=p(2p-1) y (2p-1) es un cuadrado.

    (2) Para cualquier número impar p (primo o no):

    Las medias de p y q son enteras si y sólo si q=p(2n-1) y (2n-1) es un cuadrado y n es divisor de p.

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  13. p = 113, q = p(2p-1) = 25.425

    Como G = G(p,q) = sqr(pq) es entero, la descomposición en factores primos de q debe contener a “p” u otra potencia impar de p (p1ó p3ó p5, ..). En particular q es múltiplo de p.

    q = p * r

    A = A(p,q) = (p+q) / 2 = (p + p r ) / 2 = p (1+r) / 2, es entero, y como p es primo (1+r) debe ser par (divisible por 2). Así que r es impar. Ponemos r = 2n-1.

    q = p * r = p (2n-1) = 2np – p
    p+q = p + 2np – p = 2np

    H = H(p,q) = 2pq / (p+q) = 2pq / 2np = q / n = (2np-p) / n = 2p – p/n

    p/n = 2p – H es entero (diferencia de 2 enteros) y por tanto p es múltiplo de n, y como p es primo n sólo puede ser 1 ó p. Y 1 no puede ser porque entonces sería q=p.

    Así que n=p => r=2p-1 => q = p*r = p(2p-1)

    Además G = sqr(pq) = sqr(pp(2p-1)) = p sqr(2p-1) => (2p-1) es un cuadrado

    Y ahora ya probamos con los primos p mayores que 100 a ver si encontramos uno para el cual (2p-1) sea un cuadrado.

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  14. Primos p menores de 10.000 para los que (2p-1) es un cuadrado:

    p_______2p-1____sqr(2p-1)_______q

    ___5________9_____3____________45
    __13_______25_____5___________325
    __41_______81_____9__________3321
    __61______121____11__________7381
    _113______225____15_________25425
    _181______361____19_________65341
    _313______625____25________195625
    _421______841____29________354061
    _613_____1225____35________750925
    _761_____1521____39_______1157481
    1013_____2025____45_______2051325
    1201_____2401____49_______2883601
    1301_____2601____51_______3383901
    1741_____3481____59_______6060421
    1861_____3721____61_______6924781
    2113_____4225____65_______8927425
    2381_____4761____69______11335941
    2521_____5041____71______12708361
    3121_____6241____79______19478161
    3613_____7225____85______26103925
    4513_____9025____95______40729825
    5101____10201___101______52035301
    7321____14641___121_____107186761
    8581____17161___131_____147258541
    9661____19321___139_____186660181
    9941____19881___141_____197637021

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