Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 38

Hoy viernes os traigo otro de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Esta semana es el problema número 38 de los 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema treinta y ocho se titula Rock and roll en la plaza del pueblo y lo propone Francisco Javier Masip Usón, licenciado en Medicina y jefe de Sección de Control de Mercado en la Dirección General de Consumo de la Diputación General de Aragón y tercer y último lector elegido para presentar su propio desafío. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 5 de diciembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a tod

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

69 Comentarios

  1. Si la respuesta obvia no es la correcta (y no lo es), entonces tiene que haber un número de medidas más pequeño… entre esto y el comentario de Juanjo, debería ser fácil.

    Curiosamente, y aunque pueda parecer retorcida esta forma de medir, en la práctica sería más fácil incluso que hacer las medidas obvias, yo creo.

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  2. Había enviado una solución en la que no hay que hacer CERO “mediciones entre 2 puntos”, pero veo claro que no se refieren a esto, así que enviaré otra en la que haya que hacer UNA.

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  3. Bueno, me parece excesivamente simple: El Teoréma Isoperimétrico (para una circunferencia) nos garantiza que (Perímetro)^2=4(Pi)(Área).
    Medír el perímetro de la plaza y el perímetro de la fuente, no requiere medidas entre “dos puntos”, sino sobre “uno sólo”, luego el Aparejador no podría cobrar dichas medidas. Una vez tenemos ambos perímetros, tenemos (por el Tª anterior) las Áreas.

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  4. Me parece que no están muy claras las condiciones del problema. Otro fallo después de la cagada de la semana pasada, con un problema infumable. En el enunciado dice que el aparejador realiza una serie de mediciones. Cada medición se supone que es la distancia entre dos puntos. Ahora bien, no se nos informa de que tipo de aparatos de medida tiene el aparejador, en el sentido de si es capaz de trazar alguna tangente. A mi me da que no, que es como si a cualquiera de nosotros nos dan una cinta métrica y nos piden determinar el area midiendo distancias entre puntos de las dos circunferencias…

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  5. Es muy fácil hacer la medida que se pide usando una simple cinta métrica, manuel.

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  6. manuel, si quieres añade al enunciado, “el aparejador dispone de una cinta métrica tan larga como el diámetro de la plaza”. (o un poco más corta si quieres)

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  7. El problema me parece bien planteado si no se es excesivamente tiquismiquis. Puestos a exigir precisión en el enunciado, ¿habría que considerar la curvatura de la Tierra? 😛 😛

    La solución es muy bonita y lo único que echo en falta es cierta originalidad pues es un problema planteado ya en algún libro de Martin Gadner.

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  8. Debemos suponer que no se puede usar lo de recorrer la circunferencia, y que la solución debe ser una unica medida (dado que con dos es trivial).

    Así que sería con una única medida como saber el área del anillo.

    La verdad que no conocia a Martin Gardner, ya he buscado algunos de sus libros, muy interesantes, gracias por la sugerencia.

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  9. Y digo yo… tirar con la cinta métrica una cuerda del círculo exterior que sea tangente al círculo interior… ¿supone una medida (punto del exterior a punto del exterior) o dos (punto del exterior a punto del interior y punto del interior a punto del exterior)?

    Por otro lado, ¿podemos considerar que trazar un radio involucra una sola medida, o no podemos dar por conocida la posición del centro?

    Creo que es un problema bastante mal planteado; debería haberlo definido mejor en lugar de hablar tanto del aparejador, el ayuntamiento, y todo eso.

    La única pista que tengo es que el mínimo de medidas tiene que ser dos (pues es el número de grados de libertad de la figura), y que si el centro es un punto conocido es un problema demasiado fácil para tener interés.

    Alguien que lo vea claro tendría, por favor, la amabilidad de re-enunciar el problema con un poco más de claridad.

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  10. Voy a plantear el problema de forma ligeramente diferente tratando de eliminar la ambigüedad.

    Supongamos que en lugar de la plaza real tenemos un plano a escala conocida pero sin ninguna medida de dicha plaza. Disponemos de una regla graduada, una regla sin graduar y un compás. Podemos realizar con estos objetos las construcciones geométricas que queramos (trazar paralelas, perpendiculares, bisectrices, etc) pero cada vez que utilicemos la regla graduada debemos pagar 1 euro.

    ¿Qué cantidad mínima de dinero necesitamos para calcular la superficie de la zona de la plaza a embaldosar?

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  11. De acuerdo en que las medidas deben ser en línea recta y en que no se sabe el centro de las circunferencias.
    Pero, con esas premisas, ¿se puede hacer con una sola medición?. Yo estimo que no.

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  12. sive, ¿puedes medir con una cinta métrica los puntos opuestos de la fuente? NO. Creo que a eso se refiere

    No obstante ya os digo que da igual el sistema de medición que use, el número de medidas mínimo no va a depender de ello.

    Y por otro lado, me parece un problema muy simple. Hace tiempo que no sigo los desafíos matemáticos, pero los anteriores tenían más gracia. Este se resuelve en una línea con cuentas super-básicas y sin usar ningún razonamiento especial ni nada.

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  13. Sigo pensando que el problema no está suficientemente definido. Es una opinión personal, claro, pero tengo la impresión que en los últimos desafios hay una cierta dejadez. Volviendo al problema, es evidente que el centro de los círculos no los sabemos, y ésto podría trasladarse a una situación real. Lo que me pregunto es si el aparejador puede medir “en linea”, lo que significaría trazar algún tipo de raya en el suelo o usar algún aparato topográfico. Si es así, a mi me sale que con 2 medidas es suficiente para determinar el Area buscada: el razonamiento es tan sencillo que cualquier pista conduce a la solución.

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  14. Manuel, para que tu razonamiento fuese completo tendrías que saber demostrar por qué con una sola mediad no es posible. Y ya te digo yo que no eres capaz de demostrarlo.

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  15. Pues está claro que con dos medidas basta para determinar el área a asfaltar(y es trivial además). ¿Con una medida basta? Pues si medida es tomar la distancia entre dos puntos(como se dice en la formulación que hay por escrito) pues va a ser que no: el disco interno puede ser de cualquier tamaño así que sin tomar dos datos no conocemos la relación entre los radios …

    Ahora si medir es tomar la distancia entre dos puntos y además la distancia entre esos puntos y “los que haya por el camino” pues una medida basta….

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  16. Pues yo lo he resuelto tomando una sola medida, entendiéndose que se trata de la distancia entre dos puntos.

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  17. Alucino con los que dicen cosas como que en los últimos problemas hay cierta dejadez. Los últimos han sido justo los propuestos por los lectores. ¿Será que proponer y presentar problemas no es tan fácil? ¿Será que los que se quejan son un poco tiquismiquis? ¿Cómo lo habrían hecho ellos?

    Porque yo no veo ninguna dificultad en entender este desafío en particular. Y el anterior, lejos de ser infumable, ha sido, en mi opinión, de los más bonitos (aunque en ése la presentación en vídeo, que no en el texto, si que fuese algo oscura).

    Respecto a la dificultad, yo con el anterior no pude, pero me divirtió (insisto, me pareció muy bonito). Y me ha gustado que ahora haya tocado uno con el que sí he podido. Como es difícil que cada día llueva a gusto de todos me parece muy acertado que distribuyan la lluvia a lo largo del año en lugar de poner siempre problemas difíciles o siempre problemas más fáciles.

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  18. Manuel,

    “tengo la impresión que en los últimos desafíos hay una cierta dejadez”

    De dejadez nada, todos los desafíos son divertidos, algunos más difíciles y otros más fáciles, pero todos interesantes si nos hacen pensar. Mi enhorabuena a los organizadores.

    “es evidente que el centro de los círculos no los sabemos”

    Lo que sí está claro por el enunciado es que se trata de 2 circunferencias concéntricas, o sea que tienen el mismo centro. Si no, sería otro problema.

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  19. Jesus C, ya me he fijado en que son dos circunferencias concéntricas. Pero el centro de ambas lo desconocemos. No puedes decir: “este punto que cojo para realizar mi medición es el centro de las circunferencias”…
    Estoy de acuerdo con kurodo77 en que “si medir es tomar la distancia entre dos puntos y además la distancia entre esos puntos y “los que haya por el camino” pues una medida basta”. Me parece que ya somos bastantes los que hemos llegado a la misma conclusión.
    Como dice Zurditorium, otra cosa es demostrar que con 1 medida no es posible determinar el área, aunque parece de sentido común…

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  20. Por cierto, la cuestión planteada por Zurditorium podría llevarnos a plantear el siguiente problema: tenemos una plaza circular. ¿Cuántas mediciones del tipo comentado deberían realizarse como mínimo para averiguar el radio del círculo?

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  21. Manuel, no sabes cómo es la fuente, es posible que ni siquiera puedas acceder dentro de ella para tomar medidas. Piensa otras posibilidades. En lugar de fuente podría ser por ejemplo una columna gorda y muy alta, y no tienes escalera. Y la solución es la misma.

    Lo otro que planteas, para saber el radio de una circunferencia basta medir su diámetro. O sea, una medición.

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  22. zurditorium no, no creo que se pueda, pero la solución NO incluye esa medida que comentas.

    Ya lo comenté en mi primera participación en este hilo: la solución al desafío, en la práctica, con una plaza y una fuente totalmente circulares, pero reales, sería muy fácil de medir, y sin más instrumentos que una cinta métrica lo bastante larga.

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  23. Y si la plaza y/o la fuente tuvieran otra forma (triángulo, cuadrado,…) no podríamos calcular la superficie con una única medida, ¿verdad?

    Y si lo que queremos es vallar la plaza, aprovechando la valla de la fuente, es decir si queremos calcular diferencia de perímetros (en el desafío lo que queremos calcular es diferencia de superficies), entonces sí que nos podemos apañar con una sóla medida aunque tuvieran otras formas. Por ejemplo plaza y fuente cuadrados (con el mismo centro, eso no lo cambiamos).

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  24. Me parece que todos tenemos la misma solución, como comenta Sive se necesita solamente una cinta métrica suficientemente larga. Tomando 2 medidas podemos calcular el área buscada.

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  25. Una cosa me llama la atención. El desafío anterior tuvo muy pocos comentarios, y este que es más fácil, está lleno de opiniones. Muy curioso.
    Por mi parte no veo tanta complicación. El centro no es necesario saberlo, al menos en mi respuesta. Así que no hay que mojarse
    Yo veo muy clara la explicación. La historieta del ayuntamiento y aparejador, igual es por el tema de las comisiones.

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  26. Manuel, nunca dije que la respuesta correcta fueran dos medidas.

    Voy a enunciar el problema de otra forma, aunque yo creo que es bastante claro, y que da información suficiente.

    Tenemos una plaza perfectamente circular, en cuyo interior hay una fuente también circular, concéntrica con la plaza. Disponemos únicamente de una cinta métrica lo bastante larga como para hacer cualquier medida que nos apetezca, y podemos fijarla en un extremo de alguna forma (por ejemplo, con un ayudante o mediante una pica), y así hacer medidas.

    Calcular el área de la corona entre la plaza y la fuente, sabiendo que se nos permite hacer una única medida.

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  27. Pues con una sola medida no sé yo. Si desde un punto de la circunferencia exterior se nos permite trazar una tangente a la circunferencia interior, con una sola medida sería suficiente. Pero, ¿es eso admisible?. En una situación real podríamos hacerlo a ojo, pero no creo que sea una actuación demasiado precisa…

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  28. No se si esto es realmente importante, pero nos piden el área solo, no los radios de las circunferencias. Con una sola medición tiene pinta de poder realizarse porque con dos ya se ve que es demasiado obvio.

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  29. Si teneis problemas para las mediciones “a ojo” os puedo prestar un tendel que mi padre me dejó en herencia

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  30. Parece que la cosa va quedando clara. Acabo de localizar la “fuente” del problema. Es un problema geométrico propuesto por Martin Gardner. De hecho tengo el libro delante. Un nuevo triunfo de los del País, que imponían como una de las condiciones de los ejercicios a plantear que no fuesen demasiado conocidos. Pues bien, el problema escogido ya ha sido planteado -con otra envoltura- por el mayor divulgador de acertijos matemáticos de todos los tiempos. Otro “acierto” del desafio propuesto es que mientras en el problema propuesto por Martin Gardner el “envoltorio” no plantea dudas, aquí sí las plantea, y de hecho, me parece que la solución que más o menos todos tenemos en mente no tiene sentido práctico alguno, porque obtener en la realidad una cuerda tangente a una circunferencia no es sino algo aproximado.

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  31. Manuel, no, no todos tenemos la misma solución, algunos tienen una solución correcta y la mayoría tienen una incorrecta. De tus comentarios te puedo adelantar que estás en el segundo grupo, cosa que podrías haber deducido de mi mensaje anterior a ti, que en el fondo es una pista muy gorda. Te lo digo para que te replantees tu solución.

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  32. Manuel, no sé que solución tendrás tú en mente, pero te aseguro que la mía es exacta (ah, y con una sola medida).

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  33. Pues estoy verdaderamente intrigado. Con una sola medida he conseguido resolver el problema, y la verdad es que no encuentro ninguna otra manera de hacerlo. Y zurditorium dice que estoy equivocado…

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  34. Manuel, lo que a mi me intriga es tu comentario acerca de lo “aproximado” de la solución con una sola medida. ¿Podrías aclarar por qué es aproximado y no exacto?

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  35. Juanjo, porque si de lo que se trata es de obtener una cuerda tangente a una circunferencia, evidentemente, si lo hicieses en la realidad sería una aproximación, aunque esto tambien es bastante discutible, lo reconozco, ya que cualquier medición real no es sino una aproximación. Por lo que sé, los topógrafos lo que suelen hacer es “triangular” los terrenos para medirlos. Es una pena que no haya por aquí ningún topógrafo que nos diga que método usaría él para realizar la medición del problema.

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  36. Manuel, si el topógrafo tiene la ayuda de otra persona le resultaría fácil calcular la cuerda tangente y la medida no sería menos exacta que si intenta calcular alguno de los radios.
    Marca un punto en la circunferencia menor (que se vea bien desde lejos), se coloca en un punto de la circunferencia mayor y le pide a su ayudante que se sitúe “enfrente”, en otro punto de la circunferencia mayor de manera que los tres puntos estén alineados.

    saludos

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  37. Manuel, te contestaba al mensaje en el que decía que todos teníamos la misma solución y ahí decías que con 2.

    Ahora he visto que después publicaste (entonces no lo vi porque tenía la página abierta un rato). Por cierto, demasiado grande la pista en dicho comentario.

    Y lo de acertijos originales que no se puedan encontrar en ningún sitio, hombre, es muy difícil que no se pueda encontrar la solución en ningún sitio.

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  38. Manuel, quizás deberías pensar en dejar de prestar atención a algo que te parece que está tan mal organizado, tan mal presentado, que es tan poco original,…no es razonable que sufras de esta manera con lo que debería ser un entretenimiento.

    Por otra parte, que esto lo hubiese considerado Martin Gardner digno de publicarlo en un libro no hace sino confirmar mi opinión de que es un problema muy acertado.

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  39. Totalmente de acuerdo con el comentario de Prodem

    “Manuel, quizás deberías pensar en dejar de prestar atención a algo que te parece que está tan mal organizado, tan mal presentado, que es tan poco original,…no es razonable que sufras de esta manera con lo que debería ser un entretenimiento.”

    Y también con la idea original del post, que ha degenerado

    “En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual”

    En varias ocasiones se da la solución directamente.

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  40. Manuel:

    Como dices, en cuanto hay mediciones implicadas, todo se convierte en aproximado. Además seguro que no hay ninguna plaza perfectamente circular con una fuente concéntrica y perfectamente circular.

    Pero si eliminamos los adornos, podemos ver fácilmente que el problema se puede formular en los siguientes términos: “Sabemos que el área de una corona circular depende de dos parámetros, R, el radio exterior y r, el interior. ¿Existe alguna fórmula para expresar el área de una corona circular en función de un solo parámetro? En caso afirmativo, encuentra esa fórmula”.

    Personalmente, me gusta más con plazas y fuentes, pero para gustos están los colores.

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  41. Lo que voy a decir espero que no moleste a nadie.

    Si nos pusiéramos tan tiquismiquis con el problema de las hormigas paseando por un cubo (yo no he visto una)… Con un piano de millones de teclas… Colinas de forma cónica y gusanos que calculan… Territorios con forma de triangulo equilátero…

    Se trata de saber si matemáticamente es posible, con una medición (con dos es obvio que sí), calcular el área de una corona…

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  42. Una pequeña reflexión. Supongamos que estamos en un examen de Dibujo Técnico. Nos ponen el siguiente ejercicio. Nos dan una circunferencia y un punto P exterior a la misma. Y nos piden que obtengamos la recta tangente desde P a la circunferencia y la distancia desde P a dicho punto de tangencia. ¿Qué haríamos? ¿Iríamos probando trazando rectas desde P hasta encontrar la tangencia con la circunferencia? No. Realizaríamos la construcción tradicional: uniríamos P con el centro de la circunferencia y desde el punto medio de ese segmento trazaríamos un circunferencia que pasase por P. La intersección con la otra circunferencia nos proporcionaría el punto de tangencia buscado P´. Y podríamos medir la distancia P-P´. ¿Es esa medición una medición “simple”, punto a punto? No. Lo que quiero decir es que si en la resolución del desafio matemático hay implicada una tangencia en realidad las mediciones “simples” entre dos puntos no son tan “simples”.

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  43. Manuel: en el problema hay una distancia mucho más fácil de medir. Es la distancia entre dos puntos, ninguno de los cuales es un punto de tangencia. Luego haces una sencilla operación con esa distancia y tienes la distancia que tan complicada ves de medir.

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  44. Juanjo, pues entonces me callo, sencillamente ese punto no lo veo. Yo estoy hablando de una suposición, viendo el método que he seguido y también el problema similar que plantea Martin Gardner en uno de sus libros, por cierto un libro estupendo.

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  45. Manuel: sigue la recta hasta que corte otro punto y luego haz la operación obvia. ¿Lo ves ahora?

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  46. Para cambiar de tema, propongo OTRO MÁS SENCILLO, y más impreciso (así el original os parecerá perfecto).

    (1) En el pueblo vecino tienen una plaza cuadrada, y también en el centro una fuente también cuadrada. Para que no entren los del pueblo redondo a hacer botellón en su plaza, que la ensucian mucho, quieren vallarla. Y han decidido que van a vallar las dos cosas, la fuente y la plaza. (Necesitan saber la suma de perímetros).

    Y como se han enterado que los del pueblo vecino lo resuelven con UNA medición ellos no quieren ser menos, y también saben resolverlo con una medición. ¿Cómo?.

    (2) El empresario que va a colocar la valla, acostumbrado a tratar con alcaldes, le dice que le cobrará 25 euros por metro, pero que la parte correspondiente a la fuente se la cobrará a 75 euros/metro y así se puede quedar de comisión 50 euros/metro.

    Y ahora quieren saber cuánto hay que pagarle al empresario (incluída la comisión), haciendo también sólo UNA medición. (sin usar la medición de (1), son dos problemas independientes)

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  47. He leído un comentario sobre los topógrafos. No lo soy, pero tengo amistades. Miden triangulando, cuando las superficies son irregulares.
    Saben que, para medir un círculo, no necesitan más que tomar el radio.
    Por cierto, aquí tienen muy claro lo que hay que medir. Juanjo va en la “línea” adecuada.
    Para nada les gusta medir mitades. Me da que va a haber muchas respuestas incorrectas, a pesar de ser tan sencillo.

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  48. Juanjo, ¿seguro que ninguno de los dos es un punto de tangencia?

    El que yo obtengo si es un punto de tangencia, sólo que es muy fácil de obtener, en la práctica.

    Pregunto más que nada, porque si hay otra solución le doy otra pensada a ver si la encuentro…

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  49. Ah, vale, ya me imagino qué es lo que algunos tenéis en mente. En realidad es una forma indirecta de medir lo mismo. Pero sigo pensando que se puede medir directamente, aunque concedo que de esta otra forma se puede conseguir más precisión.

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  50. El problema está perfecta, total y abosulutamente bien planteado, y se entiende sin ningún atisbo de duda. Cristalino. Es un problema de matemáticas, no de ejecución práctica…

    Es obvio que no pueden ser dos medidas: eso da directamente el resultado. Es una medida, la tangente, síp, lo que hay que demostrar es por qué cualesquiera que sean los radios de las dos circunferencias, para una distancia medida determinada, el anillo circular es siempre… Bueno, pues eso.

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  51. Tengo ganas de ver la respuesta. Tengo mis dudas de que una tangente se puede medir
    sin tener en cuenta más de dos puntos (¿y el centro?). Recordad que el enunciado es cansino en lo de “cada dos puntos”.
    Yo me inclino a pensar que hay que medir el segmento entero que une dos puntos de la circunferencia exterior siendo tangente al circulo interior, y luego dividirlo entre dos.

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  52. Pues sí, Julio, seguro que la solución es así, medir una cuerda de la circunferencia exterior que “toque” la fuente (que sea tangente a la circunferencia interior).

    Y dividimos por dos, y elevamos al cuadrado, y multiplicamos por pi.

    No sé si la publicarán hoy, como es festivo…

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  53. Jesús C: Hiciste una proposición de problema, supongo que los cuadrados de lados`paralelos.
    (1) sin problema
    (2) ¿Se supone una medición única con cinta métrica y en linea recta?

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  54. Sebas, no, no pensaba en linea recta, se puede “doblar” la cuerda o lo que se use para medir, en (1) y en (2). Vamos, que tenía “truco”.
    Se trataba de con una medición conseguir medir (lado+Lado), o (2l+L), o (3l+L).

    Y sí, los cuadrados eran de lados paralelos.

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  55. Jesús C: Vale!
    (1) Línea recta 1/2L+1/2l
    (2) Relación de precios 3/1 >> 1l doblar 90º 1/2l+1/2L = 3/2l+1/2L
    Saludos

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  56. Sebas, es verdad, tienes razón, para (1) no hacía falta “doblar la cuerda bordeando la fuente”. Para (2) sí, por ejemplo como tu dices.

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  57. En la solución escrita se comenta la posibilidad de medir hasta el punto de tangencia únicamente, y se dice lo siguiente:

    Ahora bien, a la hora de llevarlo a la práctica, tal como nos confirma en su respuesta desde México el ingeniero de caminos cántabro Francisco Pi Rodríguez, la medición íntegra de la cuerda ofrecería más garantías que la de la simple tangente, que requiere conocer el centro de ambos círculos y verificar que se ha trazado correctamente el ángulo comprendido entre el radio y la tangente.

    Bien, eso no es cierto. Obtener el punto de tangencia es tan fácil como medir la cuerda completa, basta con extender la cinta y acercarla a la fuente hasta que la toque en un punto, que será el punto de tangencia.

    Es verdad que es más preciso medir la cuerda completa, pero por otras razones.

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  58. Algo que no hemos comentado es que también con una sola medición podemos calcular el área, aunque las circunferencias NO sean CONCÉNTRICAS.

    Lo explica el autor del desafío aquí..

    http://santiprofemates.wordpress.com/2011/12/07/solucion-desafio-38o-una-sola-medicion/#comments

    Eso sí, tendríamos que saber medir una cuerda de la circunferencia exterior que sea tangente a la circunferencia interior y que sea paralela al diámetro que pasa por los dos centros de las circunferencias.

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  59. Acabo de leerlo. Me ha recordado a cuando un guía te explica alguna curiosidad de algún monumento. Interesante, posiblemente más que el propio problema.

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  60. Bueno, ya se ha descubierto el pastel y era lo que sospechábamos. Lo que todos habíamos intuido. Mi conclusión, aunque sé que no le gusta a muchos es que no siempre una cuestión matemática puede adornarse con una vestimenta de problema real. Y este es un caso. Porque repito, hacer en la práctica el procedimiento tan elegante de la teoría sería sencillamente una “chapucilla”

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  61. Holassss,
    Jé, jé… soy el ganador de este desafío, me ha tocado a mí :)) !!
    Me llamaron de El País el mismo martes a las 20h, me dijeron que me había tocado, pero que la biblioteca matemática la envían cuando acaben todos los desafíos… como sólo quedan dos, me dijeron que en enero me la empaquetan…
    La respuesta que yo di (un poco más complicada que la publicada, la verdad, la hice sobre la marcha y me salió tal cual), es esta (falta el dibujillo que les hice):

    Hola, esta es la resolución al problema “Rock and roll en la plaza del pueblo”:

    – Hace falta una sola medida, entre dos puntos de la plaza de forma que el segmento que los una sea tangente a la circunferencia de la fuente. Si tal distancia es d, el área del anillo circular será Área= PI*d^2/4
    (d^2 es d al cuadrado).
    -Justificación (ver dibujo adjunto): Si disponemos la plaza y la fuente con centro en el origen de coordenadas (circunferencias en negro), tal como se ve en el dibujo y hacemos la medición (en verde, distancia d), de forma que sea tangente a la fuente (como se ha dicho), y horizontal, para mayor simplicidad, tenemos que los puntos extremos del segmento medido serán (x1, y1), (-x1, y1). La longitud del segmento será d= 2×1, con lo cual x1=d/2
    Con ello, el área del anillo queda:

    R^2=x1^2+y1^2
    r^2=y1^2
    Área= PI(R^2-r^2)= PI(x1^2+y1^2-y1^2)=PI(x1^2)=PI*d^2/4

    Pero para una distancia d medida, hay infinitas posibilidades en cuanto a los tamaños de las circunferencias, así que supongamos ahora que para dicha medición d, los radios son diferentes. Simplificamos mucho el problema si desplazamos las circunferencias como se muestra en el dibujo, hasta una posición genérica dibujada en rojo. Obtengamos ahora el área del nuevo anillo, de radios R´ y r´:

    R´^2=x1^2+r´^2
    r´^2
    Área= PI(R´^2-r´^2)= PI(x1^2+r´^2-r´^2)=PI(x1^2)=PI*d^2/4

    Es decir, exactamente igual. En el caso límite de que el radio de la fuente fuera cero, tendríamos que la distancia tomada sería el diámetro (desplazando la figura roja cada vez más hacia arriba), e igualmente:

    R=d/2
    Área=PI*d^2/4

    Saludos, y seguid con esta iniciativa !!

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