Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 40

Hoy viernes día 16 de diciembre de 2011 os traigo el último de los problemas propuestos en la edición digital de El País, que corresponde al 40 problema propuesto aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este problema cuarenta se titula Un mensaje cifrado de despedida y lo propone Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y coordinador desde la RSME de esta iniciativa. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 19 de diciembre.

Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.

Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. Las cosas buenas se acaban. Una pena, porque ya es la última opción que tengo para llevarme el premio y porque ahora los fines de semana ya no serán lo mismo sin estos desafíos matemáticos.

    En fin, como pista diré que la frase oculta es una gran verdad.

    Saludos 😉

    Publica una respuesta
  2. Es cierto el mensaje, además me gustan los problemas a los que les encuentro alguna aplicación práctica.

    Publica una respuesta
  3. Bonieto desafío y acertado mensaje. Adjunto mi mensaje también cifrado en el mismo código:
    2628251282551298157451131122554877442621163877

    Publica una respuesta
  4. @Félix, si no me fallan los cálculos te falta un 2 al final del mensaje 😉 Aun así es una gran verdad >.<

    Publica una respuesta
  5. Félix, creo que se ha truncado el resultado y habría que añadir un 4 al final, quedaría 26282512825512981574511311225548774426211638774.
    Enhorabuena por haberlo resuelto tan pronto.

    Publica una respuesta
  6. No importa si al final añades un 4, un 5 o un 6: el mensaje no varía. (¿Esto es una pista?)

    Publica una respuesta
  7. La RSME se anotó un gran éxito con esta plan divulgativo de las matemáticas. Mejor que cualquier Olimpiada por el alcance que tuvo. Una combinación perfecta: RSME/El Pais/Gausseanos para darle mayor resonancia. Felicidades a los organizadores, especialmente al Profesor Adolfo Quiros. Excelente trabajo. Merecen el reconocimiento de la sociedad española. Extrañaré los desafíos.

    Publica una respuesta
  8. Pues para ser el último desafío lo hemos comentado muy poco.

    Y digo yo, que con los únicos datos que tenemos (357471=HOLA y 64523161=PEDRO), hay muchas formas de descifrado, aparte de la “oficial” me refiero.

    Publica una respuesta
  9. Hombre, digo yo que, además de las pistas de HOLA y PEDRO, otro requisito será que el mensaje que salga tenga sentido. O sea, que hay que dar un algoritmo que funcione en los ejemplos y dé un mensaje legible en el desafío. Puede que haya varios (evidentemente no voy a comprobarlo porque me parece buscarle tres pies al gato), pero “muchos” no creo.

    Publica una respuesta
  10. Prodem, sí que hay muchas.
    Si quieres de otra forma, para obtener la frase que todos sabemos, además del descifrado oficial hay otros muchos ( más de 712! factorial )

    Publica una respuesta
  11. JC, como ya se ha acabado el plazo, no creo que pase nada si amplías esa información.
    A mí, por ahora, sólo se me ocurre una forma lógica de acuerdo con la explicación del enunciado.
    De hecho, con el mensaje de Félix hay un pequeño problema, no sé si alguna variante que propones lo soluciona, porque puede faltarle un 4, un 5 o un 6, pero tampoco lo deja bien del todo.

    Publica una respuesta
  12. Por supuesto JC. Lo que han hecho, sin contar lo de las letras impares que complica un poco el análisis, es una sustitución entre dos alfabetos con 729 letras cada uno (pares de letras “normales” por un lado y trios de números del 1 al 9 por otro). O sea, una permutación, y ya sé que hay 729!. Fijadas las pistas, que dan la traducción de 4 “letras”, HO, LA, PE, DR (La O suelta no la cuento porque lo que hace es dar todavía más opciones y no participa en el cifrado), quedarían todavía 725! posibilidades.

    Pero como sólo tenemos que traducir las 15 “letras” (ternas de números) del desafío (insisto en ignorar lo que sobra); la primera, 471, ya sabemos que es LA; y las otras “letras” de los ejemplos no salen, las posibilidades de mensajes “en claro” distintos son Binom(725,14)=Binom(725,711), que es mucho menos que 712!. Todo eso lo sé.

    Mi duda viene de: a) ¿Cuántos de los mensajes aleatorios son legibles? Ni idea, pero 712! seguro que no por la cuenta que he hecho antes sobre el total de mensajes, legibles o no. b) Como he dicho, estoy seguro de que no es una sustitución aleatoria, sino que hay un algoritmo claro.

    Formalmente puedes ignorar b (aunque me siga pareciendo buscar 3 pies al gato), pero no a, porque te han dicho que estaban transmitiendo un mensaje.

    Así que si quieres ponerte exigente, la pregunta sería: ¿cuántas frases con sentido puedes formar en castellano empezando con LA, siguiendo con 14 pares de letras distintos, y añadiendo una letra al final? Yo desde luego no me atrevo a estimar la respuesta.

    Publica una respuesta
  13. Prodem, que no era por ponerme exigente, era sólo por comentar. La pregunta que tu haces tampoco la he pensado (“¿cuántas frases con sentido puedes formar en castellano empezando con LA, siguiendo con 14 pares de letras distintos, y añadiendo una letra al final?”) (ojo que te falta decir que el tercer par y el quinto han de ser iguales y que no esté ni HO ni PE ni DR)

    Lo de 712! me refería a alfabetos distintos para obtener la misma frase

    LA SM AT EM AT IC AS ES TA NA TU AL RE DE DO

    a partir de

    471 754 133 254 133 373 132 262 771 541 794 123 715 215 227

    Publica una respuesta
  14. Prodem, 3 ejemplos de frases, descifrados con algoritmos distintos a la “solución oficial”

    471 754 133 254 133 373 132 262 771 541 794 123 715 215 227
    LA SM AT EM AT IC AS ES TA NA TU AL RE DE DO

    LA SM AT EM AT IC AS NO ES TA NA QU IN IA HI

    LA GA TA ES TA PE NS AN DO SI TI EN ET RE SS

    Publica una respuesta
  15. JC, efectivamente no me había fijado en que tiene que haber una sílaba repetida. Lo de HO, PE y DR estaba ya tenido en cuenta, así que la fórmula correcta para el número de posibles descifrados, sin contar la letra suelta al final, sería Binom (725,13)=2203529192385899178231475450. Y gracias a tus ejemplos sabemos (módulo el problema de la letra suelta) que hay al menos 3 que tienen sentido (seguro que hay más).

    En lo de “alfabetos distintos para obtener la misma frase” tienes razón, son 712!, que, por comparar, tiene 1724 cifras.

    Publica una respuesta
  16. Prodem, exacto, incluso este problema tiene muchas soluciones. La “solución alternativa” que envié era “La RSME se merece una Enhorabuena más”.

    471 754 133 254 133 373 132 262 771 541 794 123 715 215 227 71
    LA RS ME SE ME RE CE UN AE NH OR AB UE NA MA S

    TABLA A (729 filas)
    123 = AB
    132 = CE
    133 = ME
    215 = NA
    227 = MA
    231 = DR
    254 = SE
    262 = UN
    357 = HO
    373 = RE
    471 = LA
    541 = NH
    645 = PE
    715 = UE
    754 = RS
    771 = AE
    794 = OR

    TABLA B (27 filas)
    61 = O
    71 = S

    Publica una respuesta
  17. Jc, te pido disculpas por pensar que estabas buscándole tres pies al gato. Es evidente que lo habías pensado bien y con un objetivo.

    En nuestro debate he aprendido la enorme diferencia entre “número de cifrados que dan un mismo mensaje en claro” y “número de posibles moaneras de descifrar un mismo mensaje cifrado”. Gracias por plantear la pregunta.

    Publica una respuesta
  18. Prodem, no hay nada que disculpar. Si hemos pensado y encima hemos aprendido algo, que más se puede pedir…

    Si quieres para finalizar podemos decir que la “solución natural” al desafío es
    “Las matemáticas están a tu alrededor”, y la “solución general” es cualquier frase de 31 letras (15 “parejas de letras” más 1 suelta) que cumpla que

    1) la primera pareja es “LA”
    2) la tercera y la quinta pareja son iguales
    3) no contiene las parejas “HO”, “PE” ni “DR”
    4) la última letra suelta no es O

    Gracias por “seguirme el rollo”.

    Publica una respuesta
  19. JC, creo que tienes que añadir una condición 2′: todas las demás parejas son distintas de estas dos y distintas entre sí 🙂

    Publica una respuesta
  20. Prodem, correcto entonces añadiendo

    2′) todas las demás parejas son distintas de esta tercera y quinta, y distintas entre sí

    (Para la “solución general” suponemos, eso sí, que cada 3 números se transforman en una pareja de letras, y que pueden sobrar 2 números, que se transforman en una letra)

    Publica una respuesta
  21. No puedo estar de acuerdo con el planteamiento que han ido desgranando JC y Prodem:

    NO es consistente con el enunciado.

    Antes de explicarlo diré que para llegar a tantísimas soluciones, y muchas más, no hace ninguna falta tomar pares de letras. El mensaje original podría ser cualquier cosa, literalmente, si se codifican palabras completas. HOLA se cifra como 357471, PEDRO como 64523161, y ya está. Cada palabra su propio código, sin más gaitas. Bueno, sí: que ninguna palabra cifrada sea el principio de otra. Aunque tampoco este procedimiento es consistente con el enunciado.

    Y es que, según se explica al plantear el desafío, el primer paso del cifrado es convertir las letras a ternario. Eso no se puede obviar, se presenta como un paso necesario parte de la codificación. No un capricho del codificador, que no importa si se hace o no. Por tanto, no vale ya tomar pares de letras como punto de partida porque convertiría en superfluo el paso a ternario. Ni letra a letra. Cualquier abordaje que sea equivalente a otro hecho sin pasar a ternario, hay que descartarlo porque no sería conforme con el enunciado.

    ¿He razonado correctamente?

    Si tomamos los números ternarios de dos en dos por la izquierda hay dos soluciones. Pero quedan otras posibilidades por explorar.

    Publica una respuesta
  22. Mariano, tomamos los “números ternarios” de seis en seis. A cada seis números le asignamos un número de tres cifras del 1 al 9. Sí que es coherente con el enunciado, aunque sea más complejo. En la “solución natural” agrupamos de 2 en 2, y nosotros lo que hacemos es agrupar de 6 en 6.
    El ejemplo que dices de que cada palabra un código sí que no es coherente con el enunciado.

    Publica una respuesta
  23. Claro, JC. Pero agrupar de seis en seis es lo mismo que tomar las letras de dos en dos. Y para eso no hacía falta pasar a ternario. Se pueden tomar los ternarios en grupos con un número de cifras que no sea múltiplo de tres, es decir, solo los que no se pueden hacer directamente con las letras. Si se puede hacer sin el primer paso, convertir a ternario, no responde al enunciado. Eso es lo que he intentado explicar, parece que con poco acierto.

    Sobre tu última frase, no veo por qué no es coherente con el enunciado codificar palabras completas, aparte del paso a ternario. Dame más pistas, por favor.

    Publica una respuesta
  24. Mariano, estamos filosofando, son distintos puntos de vista, puede que los dos tengamos razón, se puede defender una cosa o la otra y no nos faltarán argumentos. Esto siempre pasa salvo que nos expresemos en lenguaje formal (o sea, matemáticas). Dices que si se puede hacer sin pasar a ternario no te sirve como solución. Pues bien, la solución natural también se puede hacer sin pasar a ternario.
    Lo que tenemos es una tabla de 729 elementos para convertir de números de tres cifras de uno a nueve a números ternarios de seis cifras. Tablas de este tipo hay muchas (729!) y la solución oficial es una de ellas.
    La diferencia es que la solución oficial se puede deducir de una tabla de sólo 9 elementos, que convierte cada pareja de ternarios en una cifra del uno al nueve.
    El tema de una palabra un código lo veo más complicado cómo sabes cuánto mide cada código, cuando empieza una palabra y tal.
    De todas formas, como el desafío ha de tener solución, hemos de ser capaces de descifrar el mensaje secreto, por lo que la única solución realmente válida es la oficial.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Hoy viernes día 16 de diciembre de 2011 os traigo el último de los…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *