Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 8

Nuevo problema matemático de la edición digital de El País. Ayer jueves apareció el octavo de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este octavo problema se titula Un cubo de suma cero y lo proponen Izar Alonso y Paula Sardinero, dos estudiantes de 4º de ESO que participan en el proyecto ESTALMAT. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el martes día 10 de mayo (en la web pone que en martes es día 8, pero en realidad es día 10, lo que no sé seguro es si también se han equivocado poniendo martes y querían decir lunes).

Respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Ya sé que es cuestión de gustos pero a mí particularmente es uno de los que más me han gustado, junto con el del reloj.

    Además me parece estupendo que hayan colaborado personas menos entendidas en el tema. Esta vez ya sabemos desde un primer momento que los contenidos que se requieren van a ser abordables “hasta” por estudiantes de la ESO o Bachiller, incluso aunque las chicas participen en Estalmat y no se las pueda considerar como un estudiante de la ESO tipo.

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  2. El problema, en efecto, es bonito. Y comparte algunos aspectos en su solución con el problema del reloj.

    Se puede demostrar un resultado algo más general si en lugar de limitarnos a los valores 1 y -1 podemos permitir poner cualquier número impar.

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  3. Distinguir dos casos: nº de -1 par e impar.
    Para cada uno de los casos ver cuanto pueden sumar los vértices y las caras (por separado), y ver que ambas cantidades no se pueden anular entre sí.

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  4. Yo lo he hecho a lo bruto (por Geometría), pero me lo he pasado muy bien, inventándome un relato corto con la solución 😉

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  5. Y la demostración es bonita y elegante.

    Yo había obtenido ese resultado de otra forma que luego pude generalizar demostrando que si se etiquetan los vértices con números impares no puede ser un cubo de suma cero.
    El razonamiento es simple: Si cambiamos el valor de un vértice por otro número impar, el resultado de la suma varía en un múltiplo de cuatro (es muy sencillo probar esto)
    Si tuviéramos un cubo de suma cero, cambiando los vértices de uno en uno y sustituyéndolos por 1 tendríamos un cubo de suma múltiplo de cuatro, lo que es imposible pues la suma es 14.

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  6. La de la potencia cuarta me parece de una elegancia increible.

    Yo habia demostrado los saltos de 4 en 4 y que partiendo de un caso cualquiera se ve que no llega al 0.

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  7. Otra solución:
    Asignemos el valor +1 a los ocho vértices. tendremos un número par de +1 (14). Si cambiamos de signo un vértice cualquiera cambian de signo él y las tres caras que concurren en él, es decir, obtenemos un número par de +1 y un número par de -1. Cualquier otro cambio de un vértice provoca un número par de cambios, por lo tanto nunca conseguiremos el número impar (7) de +1 y -1 necesarios.

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