Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 2 - Gaussianos

Problemas de Matemáticas en El País – Problema nº 2

Ayer viernes se publicó en la edición digital de El País el segundo problema de la serie de 30 problemas matemáticos que se van a proponer allí aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.

Este segundo problema se titula Una hormiga amenazada y lo propone Fernando Blasco, profesor de la Universidad Politécnica de Madrid. Podéis verlo haciendo click en este enlace.

Recordamos que se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean” entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@elpais.es antes de que termine el lunes día 28 de marzo.

23 comentarios

Vayapordios | 26 de March de 2011 | 19:27

La probabilidad de que muera es 1. Por conjeturar algo, la probabilidad de que muera en el vértice más cercano es de 3/4.
Trackback | 26 Mar, 2011

Bitacoras.com
sherekan | 26 de March de 2011 | 19:37

Tienes razón Vayapordios en que la probabilidad de que muera es 1, pero estás equivocado en que la probabilidad de que muera en el nodo más cercano es 3/4 (dicha probabilidad es algo menor). Obviamente no creo que sea correcto contar nada más hasta el martes.
josejuan | 26 de March de 2011 | 19:54

ops… hasta el martes…
juanes8400 | 26 de March de 2011 | 21:55

La probabilidad de que muera es 1, la probabilidad de que muera en el vértice 7 es 0.4286 y la probabilidad de que muera en el vértice 8 es 0.5714.
josejuan | 26 de March de 2011 | 23:07

Pues no exactamente (de hecho dudo que valga como solución).

Juanes, hay una forma mucho más fácil (y correcta) de solucionarlo que la que has utilizado.
sive | 27 de March de 2011 | 00:52

No deberíamos resolver estos problemas aquí ¿no?

Es inevitable que alguien haga trampas pero tampoco es plan de ponérselo fácil.
Leo H | 27 de March de 2011 | 02:32

0,4286? 0,5714? A mi no me sale eso, ¿de donde lo has sacado?
Leo H | 27 de March de 2011 | 02:37

Tampoco creo que pase nada por hablar de esto aqui, el premio creo que no es ni un coche ni un viaje, jeje

(Por cierto, ya podían regalar algo mejor, siempre las matemáticas tan infravaloradas…)
sherekan | 27 de March de 2011 | 04:21

Totalmente de acuerdo con sive.
Leo H revisa tus cuentas.
juanes8400 | 27 de March de 2011 | 04:57

La situacion de la hormiga es una cadena de Markov con 8 estados, cada uno de ellos es un vertice, como los vertices 7 y 8 tienen veneno, al llegar la hormiga a alguno de estos la hormiga no continua (muere), por lo que los estados 7 y 8 son absorbentes, mientras el resto son transitorios.

La matriz estocastica del problema seria asi:
$A_{(i,j)}=1/3$ si la hormiga puede ir desde el vertice $i$ al vertice $j$ (estados transitorios) (1 al 6)

$A_{(i,i)}=1$ si la hormiga esta en el vertice $i=7$ o $i=8$ o $A_{(i,j)}$ si $i$ no es igual a $j$

La matriz A se puede descomponer de la siguiente manera:
A=[Q R;0 I]

Las entradas $(i,j)$ de la matriz $M=(I-Q)^{-1}*R$ representan las probabilidades de ir de el vertice i al j despues de muchos estados.

Las entradas $M(1,7)$ y $M(1,8)$ son 0.4286 y 0.5714.
Vayapordios | 27 de March de 2011 | 11:44

He aplicado las fórmulas que he encontrado por ahí junto con lo que da juanes8400 y salen 4/7 y 3/7

No sé por qué no tenemos que poner aquí los cálculos:

1º No sé para qué, si no podemos comentar el resultado antes de lo que dicen las bases del concurso, una entrada.

2º En las bases del concurso no dice nada de que no se pueda resolver mediante la cosa esa de la web 2.0 esa que tanto cacarea por ahí todo el mundo, incluidos los periodistas de El Pravda.

3º En mi caso no tiene la más mínima importancia, no pienso concursar en ese diario ni harto de vino.
sive | 27 de March de 2011 | 13:52

Yo tampoco pienso concursar, y en realidad no me importa nada que se resuelvan aquí, o en cualquier otra parte.

Es sólo que creía que se publicaban aquí sólo para que quien estuviera interesado en el concurso, lo supiera.

Si esa no es la idea, me callo.
josejuan | 27 de March de 2011 | 16:43

Sea $P_{i}$ la probabilidad de que muera en el vértice 7 si se encuentra en el i-esimo. Entonces:

$3P_{1}=P_{5}+P_{4}+P_{2}$
$3P_{2}=P_{1}+P_{3}+P_{6}$
$3P_{3}=P_{2}+P_{4}$
$3P_{4}=P_{1}+P_{3}+1$
$3P_{5}=P_{1}+P_{6}+1$
$3P_{6}=P_{2}+P_{5}$

Las soluciones del sistema dan las probabilidades en cada vértice.

En particular, es $P_{1}=4/7$
josejuan | 27 de March de 2011 | 18:49

(Bueno, es el 8, pero creo que se ve claro).
gogo | 27 de March de 2011 | 21:00

Solución:

http://spltmatematicas.blogspot.com/2011/03/una-hormiga-amenazada.html
pcrdeg | 27 de March de 2011 | 21:12

Creo que no se deberían publicar las soluciones antes de que se diese por cerrado el concurso. Simplemente por motivos “deportivos”.
Pero, ya que se han publicado algunos resultados, me agrada saber que coincide con el enviado por mí, jeje.

Dicho esto, me queda la duda de si existe un método de resolución más elemental y elegante que el de emplear cadenas de Markov.
Tengo la sensación que la solución que se dará en El País será más bonita que las que hemos hecho alguno de nosotros.
Leo H | 27 de March de 2011 | 22:53

A mi me resulta más provechoso disfrutar aqui de los comentarios de los compañeros, debatir sobre el problema y que cada uno de su solución, que no poder hablar durante unos días por un concurso con un premio menor (y en el que no necesito participar)

Pero esta es solo mi humilde opinión. Saludos!
Francis | 28 de March de 2011 | 11:50

pcrdeg, yo creo que sí que existe.

Obviamente P17+P18=1 y además P27=P18, ¿qué relación hay entre P17 y P27? He aplanado el grafo del cubo (quitando la arista 7-8) y he observado la figura resultante. ¿Te das cuenta de cuál es el cociente P17/P27?
Javi | 29 de March de 2011 | 00:05

Yo he hecho exactamente lo que dice Francis. Pero lo de P17/P27 no me resulta en absoluto trivial. Me ha costado un par de ecuaciones demostrar la solución aunque ya conocía su valor numérico.
gaussianos | 31 de March de 2011 | 01:11

Ya tenemos solución:

Solución del problema “Una hormiga amenazada.
josejuan | 31 de March de 2011 | 09:15

La solución indicada es matricial, solo que hacen algunas reducciones previas “al vuelo” para que sólo queden 4.

A mí me parece más sencillo aplicar directamente mis 6…
onekim | 11 de November de 2011 | 17:48

Es la primera vez q comento no se si esta bien aun asi diganme si esta bn o mal por favor
Para llegar a ocho o siete tendria q pasar por otros numero antes ( no se si me esplico):
si cae en 1 podria pasar al 2 al 4 y al 5; 1(2,4,5)
2(1,6,3)
3(7,4,2)
4(1,3,8)
5(1,8,6)
6(2,5,7)
el 7 y el 8 no ace falta pornerles ya q si cae en esos numeros muere
si obserbamos esto vemos q la ormiga cae:
en el 1 3/18
en el 2 3/18
en el 3 2/18
en el 4 2/18
en el 5 2/18
en el 6 2/18
en el 7 2/18
en el 8 2/18
posibilidades de q muera : 2*2/18=4/18