Producto cuadrado perfecto

Como el problema de esta mañana ha resultado más sencillo de lo esperado os dejo otro para el día de hoy. Ahí va el enunciado:

Si a,b,c son enteros positivos, demostrar que el producto (ab+1)(bc+1)(ca+1) es cuadrado perfecto si y sólo si cada uno de los factores (ab+1), (bc+1), (ca+1) es un cuadrado perfecto.

Que se dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

45 Comentarios

  1. (ab+1)(bc+1)(ca+1) es cuadrado perfecto si y sólo sí:

    (ab+1)(bc+1)(ca+1) = \sqrt{(ab+1)(bc+1)(ca+1) *  (ab+1)(bc+1)(ca+1)}

    Aplicamos la propiedad distributiva de la raiz respecto a la multiplicación:
    (ab+1)(bc+1)(ca+1) = \sqrt{(ab+1)}\sqrt{(bc+1)}\sqrt{(ca+1)} *  \sqrt{(ab+1)}\sqrt{(bc+1)}\sqrt{(ca+1)}

    Aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicación:
    (ab+1)(bc+1)(ca+1) = \sqrt{(ab+1)} * \sqrt{(ab+1)} * \sqrt{(bc+1)} * \sqrt{(bc+1)} * \sqrt{(ca+1)} * \sqrt{(ca+1)}

    Aplicamos la propiedad asociativa de la raiz respecto a la multiplicación:
    (ab+1)(bc+1)(ca+1) = \sqrt{(ab+1) * (ab+1)} * \sqrt{(bc+1) * (bc+1)} * \sqrt{(ca+1) * (ca+1)} *

    Si (ab+1), (bc+1), (ca+1) son cuadrados perfectos, quiere decir que:

    1.
    (ab+1) = \sqrt{(ab+1) * (ab+1)}
    (bc+1) = \sqrt{(bc+1) * (bc+1)}
    (ca+1) = \sqrt{(ca+1) * (ca+1)}

    Reemplazando 1 en *:
    (ab+1)(bc+1)(ca+1) = (ab+1)(bc+1)(ca+1)

    Me parece que no era así, ¿no?.
    Seguramente hay una fórmula con sumatoria para demostrarlo pero me ha parecido sencillo hacerlo así…

    Aioz.-

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  2. Ircopcito, tu definición de cuadrado perfecto no parece correcta, el enunciado dice que

    [1] (ab+1)(bc+1)(ca+1)=u^2 con u natural

    sii

    [2] ab+1=r^2 y bc+1=s^2 y ca+1=t^2

    con r, s y t naturales.

    de [2] a [1] es trivial pues es

    r^2 s^2 t^2 = u^2 -> u=rst

    pero de [1] a [2]…

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  3. @josejuan: Toda la razón. Lo mío es una igualdad, no la definición de cuadrado perfecto.
    Como dije, me parecía estar errado. Diferencias horarias, estaba dormidísimo. 🙂
    Gracias por corregir.

    Aioz.-

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  4. Primero se verifica que un cuadrado perfecto puede ser expresado como el producto de dos factores, siempre y cuando ambos sean cuadrados perfectos.

    Si un cuadrado perfecto puede expresarse de otra forma que no sea esta, entonces las unicas posibilidades que quedan es que sean dos numeros impares cuando uno de los dos no es un cuadrado perfecto, o dos numeros pares que cumplen la misma condicion.

    Entonces, suponiendo que esas posibilidades existen, se tiene que:

     (2k+1)*(2(k-1)+1) = d^2 , ya que una forma de tratar dos numeros impares y que siempre uno de los dos no sea un cuadrado, es tomando un impar y su anterior.

    Esto es lo mismo que:
    (2k+1)*(2k-2+1) = (2n+1)*(2n-1) = d^2

    Ahora bien, un cuadrado puede ser expresado de la siguiente forma:

    \displaystyle d^2= \sum_{n=0}^{d-1} 2*n+1

    Pero esto contrasta con lo anterior dicho:

    \displaystyle (2k+1)*(2k-1) \ne \sum_{n=0}^{d-1} 2*n+1

    ya que, claramente:

    \displaystyle (2k+1)*(2k-1) \ne 1 + 3 + \dots+ (2k-1) + (2k+1) + \dots + (2(d-1)+1)

    O visto de otra forma (tal vez mas fuerte y clara):
    \displaystyle (2n+1)*(2n-1) = (2n)^2 -1

    Luego:
    \displaystyle (2n)^2 -1 \ne d^2, ya que el miembro de la izquierda es siempre el anterior de un cuadrado.

    Por lo tanto un cuadrado perfecto no puede ser expresado como el producto de dos numeros impares diferentes.

    Para el caso de los pares se llega a lo mismo: el producto de un par y el par siguiente nunca puede ser expresado como un cuadrado perfecto.

    Entonces la unica opcion es que los dos terminos sean cuadrados perfectos.

    Entonces:
    \displaystyle (ab + 1) = m^2
    \displaystyle (bc + 1) = n^2

    \displaystyle (ab + 1)*(bc + 1) = m^2 * n^2 = (mn)^2

    Y el producto propuesto ahora tiene dos factores los cuales son ambos cuadrados perfectos:
    \displaystyle (ac + 1) = o^2

    \displaystyle (mn)^2 * o^2 = (mno)^2
    Q.E.D.

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  5. Superman, si no me equivoco la suposición que hace de un numero impar y su anterior es demasiado fuerte y restrictiva. Quiero decir, por qué toma precisamente un número impar y su inmediatamente anterior? Hay números impares (o pares) que, sin ser necesariamente sucesivos, y siendo cuadrados perfectos, su producto forma también un cuadrado perfecto.

    Ejemplo: 729=3^6=(3^3)^2 (luego cuadrado perfecto)= 3^2*3^4=9*81 (luego producto de dos cuadrados perfectos).

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  6. Lo que tomo son numeros impares,los cuales por lo menos uno de los dos no es un cuadrado, para demostrar que en esa condicion no se puede obtener un cuadrado. En el caso que propones tanto 9 como 81 son cuadrados.

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  7. Quedan más opciones: que sea producto de un par y un impar ambos cuadrados perfectos, que sea producto de un par y un impar solo uno de ellos cuadrado perfecto, y, finalmente, que ninguno de los dos sea cuadrado perfecto

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  8. Hay varios, en apariencia, non sequitur y hipótesis inconcluyentes. Tratar simplemente un número impar y su anterior, ya que así estamos en el caso de que uno sea cuadrado perfecto y el otro no es innecesariamente restrictivo. ¿Qué pasa con:

    “… ya que una forma de tratar dos numeros impares y que siempre uno de los dos no sea un cuadrado, es tomando un impar y su anterior”?

    Sí, es una forma, pero no la única hasta donde podemos saber. Puede haber otras formas de tratar números impares que cumplan esa condición y no precisamente esa, ad hoc, para llegar al resultado que nos convenga. A lo mejor otra forma de tratar esos impares nos llevaría a un resultado opuesto.

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  9. Por último, después de toda su argumentación, ha sacado de la manga, de repente:

    “Entonces: (ab+1)=m^2
    (bc+1)=n^2.”

    ¿Entonces cómo? No enlaza para nada con lo anterior, no existe tal hilo argumental. ¿Que de que un número perfecto sea al final producto de dos cuadrados perfectos, se deduce al final que (ab+1)=m^2 y que (bc+1)=n^2?

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  10. Por ahi me exprese mal.
    Lo que quise poner es que, en general (sin importar si son pares o impares), las opciones son las siguientes: uno cuadrado y el otro cuadrado, uno cuadrado y el otro no, ninguno cuadrado. La primera es la que demostraria la propuesta, la segunda es la que demostre imposible, y la tercera (y ahora lo pienso) es aquella que nunca refute.
    Todo esto se trato de refutar las dos ultimas opciones (aunque solo refute la segunda, en la cual ademas pueden ser pares o impares), para luego concluir que la unica opcion posible es que ambos sean cuadrados, entonces “(ab + 1) = m^2”. Es por eso que lo puse.
    No importaba demasiado si son impares o pares, en si lo mas importante es que uno de los dos no sea un cuadrado, que se logra como dije “tomando un impar y su anterior”, igual en el caso de los pares.
    Aun asi, ahora me doy cuenta que no se refuta fuertemente el caso en el que ninguno es cuadrado, por lo tanto esto esta incompleto.

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  11. Creo, pero quizás me equivoque -peer review! donde está cuando se le necesita, jeje!-, que lo único que ha probado es que un número cuadrado perfecto no puede expresarse como producto de dos impares (o dos pares) consecutivos, independientemente de si esos dos números son cuadrados perfectos o no. Fíjese bien. Y es un gran resultado, ¿eh?

    Es muy posible que yo también me haya expresado mal (hablar de matemáticas a veces tiene eso, cuesta captar y expresar con lenguaje la sutileza de una implicación). My fault. Sin embargo voy a intentar expresarme mejor.

    Primero dice: “Primero se verifica que un cuadrado perfecto puede ser expresado como el producto de dos factores, siempre y cuando ambos sean cuadrados perfectos.

    Si un cuadrado perfecto puede expresarse de otra forma que no sea esta, entonces las unicas posibilidades que quedan es que sean dos numeros impares cuando uno de los dos no es un cuadrado perfecto, o dos numeros pares que cumplen la misma condicion.”

    Las únicas posibilidades no son solo estas como usted ya en su último mensaje ha percatado. Quedan todavía las opciones que se han señalado previamente.

    A partir de aquí, usted se dispone a demostrar que el producto de esos dos factores ha de ser de dos números perfectos. Para demostrar esto totalmente, esos dos números han de ser cualesquiera, no solamente impares o pares y, y esto es importante, consecutivos. Podrían ser no consecutivos. Por tanto, cuando usted toma (2k+1)*(2(k-1)+1 = d^2, y llega a la conclusión de que (2n)^2 – 1 != d^2, lo único que ha probado es que el producto de dos impares consecutivos no puede formar un cuadrado perfecto. SOLAMENTE ESO, no más. Faltaría demostrar qué ocurriría si esos números impares (o pares) no fueran consecutivos: podría suceder (no lo sabemos y es lo que hay que demostrar) que su producto sí pudiera formar un cuadrado perfecto.

    Finalmente, sin aclarar muy porqué, afirma: “entonces: (ab+1)=m^2
    (bc+1)=n^2.” ¿Cómo lo deduce? ¿Cómo deduce que de la proposición “un número cuadrado perfecto solo puede ser producto de dos números perfectos” (cosa que creo que todavía no ha demostrado, por lo expuesto más arriba) se llega a que (ab+1)=m^2 y a que (bc+1)=n^2? No veo la implicación por ninguna parte.

    Un saludo!

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  12. Sobre lo ultimo, como al principio habia propuesto que solo habia DOS posibilidades (lo que es falso) y prove que una de ellas era falsa, lo que quedaba era la otra, cuando digo: “Entonces la unica opcion es que los dos terminos sean cuadrados perfectos”.

    Y con respecto a la prueba en si, digo consecutivos, porque lo que me importo desarrollar era que sean dos factores cuando por lo menos uno no es un cuadrado. Esos factores pueden ser pares o impares, y cualesquiera que sean, si uno de ellos es un cuadrado, o bien el siguiente o bien el anterior no lo seran. De esta forma tomaba numeros (pares o impares, no importa) donde por lo menos uno de los dos no es un cuadrado, que era una de las opciones. Faltaria entonces ver la opcion en la cual ninguno es un cuadrado. Si se prueba que esa opcion no genera nunca un cuadrado, entonces, ahora si, la unica opcion es que los dos factores sean cuadrados, lo cual verifico al final cuando digo m^2 n^2 = (mn)^2 ya que el cuadrado de un numero (en este caso “mn”) siempre es un cuadrado (jaja que redundante). Si no me exprese bien perdon, pero espero que entiendas a lo que apunto, y si lo que apunto esta mal espero entender lo que me queres decir jaja.

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  13. No, no. Fíjese bien. Usted no lo está demostrando para cualquier número, usted solo lo esta demostrando para dos números impares o pares CONSECUTIVOS. Y sí, lo demuestra bien. Pero SOLAMENTE demuestra eso. ¿Por qué han de ser consecutivos? Demuestre primero que estos han de ser precisamente CONSECUTIVOS. Usted parte directamente de que (2k-1)*(2k+1)=d^2. ¿Por qué precisamente han de ser así? Una vez demostrada esta parte, entonces bien, puede pasar a demostrar, cosa que hace, que esos dos números no cumplen la propiedad que busca: que son cuadrados perfectos. Pero, y aqui radica el quid de la cuestión, pueden cumplirla otro tipo de números que usted se deja. Y esto no lo demuestra.

    Y aun queda por verse como de ahí, pasa a que (ab+1)=n^2 y (bc+1)=m^2…

    Un saludo!

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  14. Si tal vez es como usted dice, ya que no lo pruebo para todos los numeros (impares y pares con la diferencia que sea). Pero, sin embargo lo que yo digo es que queria dos numeros cualesqueira que cumplan con que uno de ellos no es un cuadrado y el otro si. Ahora bien, para generalizar esos numeros digo que son ambos naturales. Ademas son ambos impares, ambos pares o uno impar y el otro par (esto ultimo no lo dije). Entre los numeros impares encuentro que una forma de tomar dos numeros impares que siempre al menos uno de ellos no sea un cuadrado es elegir un impar y su anterior impar. Tambien pude haber elegido un impar y otro impar que sea el segundo anterior, y asi infinitas posibilidades, por ej. un impar cualquiera y el 3 (ya que este no es un cuadrado). Tal vez lo que si tendria que haber demostrado es que si se tiene un impar y su anterior impar alguno de los dos nunca seria un cuadrado. Pero fuera de esto no es necesario probar para los impares porque lo que propongo es sobre los cuadrados y los no cuadrados. Con los pares se puede realizar lo mismo.

    Sobre lo ultimo, yo tomo dos numeros n^2 y m^2 cualesquiera (simbolizando los factores cuadrados que multiplicados dan otro cuadrado) y los relaciono con dos de los factores que se proponen en el post. Es decir, si esto es correcto, entonces dos de los factores (que son cuadrados) dan otro cuadrado. Pero ahora falta un factor mas, que ahora esta multiplicando el cuadrado obtenido recientemente, y como este ultimo factor (que yo dije (ac + 1)) tambien debe ser un cuadrado (porque es lo que se quiere demostrar) y ademas tengo solo dos factores, me encuentro en una situacion igual a la que “demostre”: el producto de dos cuadrados. Y este producto (segun lo que “demostre”) da como resultado tambien un cuadrado.

    Pero bueno estoy seguro que fue por una mala redaccion que no se entiende lo que quiero demostrar. Aun asi admito que si me falto demostrar que:
    1) Cuando se esta hablando del producto de dos numeros no cuadrados diferentes, entonces los resultados que se obtengan nunca pueden ser cuadrados. O bien lo contrario, ya que, por ahora no se me ocurre ningun ejemplo de numeros no cuadrados que dan un cuadrado (si se te ocurre decimelo por favor jaja), pero suponiendo que exista entonces tambien se puede arrivar a la demostracion inicial que propone el post.
    2) Si se tiene un impar (o par) cuadrado, el impar (o par) anterior o posterior nunca puede ser cuadrado.
    3) El anterior a un cuadrado nunca es un cuadrado.

    De las tres cosas que faltaron, las ultimas dos me parecen no necesarias de demostrar, ya que las veo como pruebas empiricas:
    Como la diferencia entre los cuadrados siempre son numeros impares (esto es facilmente demostrable) entonces: si se tiene un numero par y su anterior par, la diferencia entre ellos siempre es par, por lo tanto uno de los dos no es nunca un cuadrado; si se tiene un numero impar y el anterior impar, su diferencia es par, por lo tanto uno de los dos no es nunca un cuadrado.
    Ademas como la diferencia entre los cuadrados nunca es 1 para n^2, con n>0, entonces el anterior a cualquier cuadrado nunca es un cuadrado.

    Pero bueno me esforzare por realizar una demostracion mas fuerte, coherente y bien armada y la publicare.

    Espero que entienda lo que que quise decir, y muchas gracias por hacerme notar mis errores. Saludos.

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  15. Demuestre “1) Cuando se esta hablando del producto de dos numeros no cuadrados diferentes, entonces los resultados que se obtengan nunca pueden ser cuadrados”. O dicho de otra manera, demuestre que: sean n y m dos enteros positivos no cuadrados. Entonces no existe d entero positivo tal que d^2=n*m. O más fuerte aun, demuestre que: sean n y m, dos enteros positivos, entonces, no existe d entero positivo tal que d^2=n*m si y solo si dichos n y m no son cuadrados perfectos.
    Usted solo lo ha demostrado para el caso particular de que dos números sean pares o impares consecutivos.

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  16. Muchas gracias maelstrom, gracias por corregirme. Intentare demostrar eso y vere que pasa.
    Saludos.

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  17. |||Para “1) Cuando se esta hablando del producto de dos numeros no cuadrados diferentes, entonces los resultados que se obtengan nunca pueden ser cuadrados”. |||

    Supongamos un numero x = m \cdot n, con x, m y n numeros naturales. Entonces se debe tener que \displaystyle x no es un cuadrado y que ni \displaystyle m ni \displaystyle n lo son. Tambien, m y n pueden ser primos o compuestos.

    Para m y n primos, \displaystyle x = a \cdot b y el producto de dos primos diferentes no es nunca un cuadrado.

    Para m primo y n compuesto:

    \displaystyle x = m \cdot n = m(a^{\alpha} b^{\beta}\dots) con a, b, etc. numeros primos y \displaystyle \alpha, \beta, etc. potencias de ellos (esta es la factorizacion de \displaystyle n). El primo m puede encontrarse entre los primos factores de n. Si esto pasa entonces se obtiene el producto de factores primos en donde aparece m elevado a una cierta potencia, siempre y cuando los factores no tengan nunca todos la misma potencia cuando esta es un multiplo de dos, ya que de esa forma n seria cuadrado. Por lo tanto se obtiene que x no es un cuadrado.
    Esto vale tambien para m compuesto y n primo.

    Y por ultimo cuando m y n son compuestos:
    Se tiene que \displaystyle x= m \cdot n = (a^{\alpha} \cdot b^{\beta} \dots) \cdot (c^{\gamma} \cdot d^{\lambda} \dots). Los factores de m pueden incluir factores de n (y viceversa) pero nunca ser exactamente los mismos, ya que de esa forma n y m serian iguales, y al principio se dice que deben ser diferentes. Por lo tanto deben diferir en factores lo que provoca una vez mas que se obtenga un numero que no es un cuadrado.

    —Sin embargo, el segundo caso no parece estar del todo bien. Y el tercero puede no estar del todo bien expresado—

    |||Para n y m numeros enteros positivos no cuadrados, no existe d tal que \displaystyle d^2 = m \cdot n|||

    Supongamos que es falso, entonces existe un d tal que \displaystyle d^2 = m \cdot n. Esto es lo mismo que \displaystyle d= \sqrt{m \cdot n}.
    Por lo tanto el producto de m y n debe dar un cuadrado (para que su raiz sea un entero), y para los casos anteriores en la proposicion anterior, si ambos son primos, compuestos, uno primo y el otro compuesto, y ninguno es un cuadrado, entonces no existe tal numero resultado de este producto que sea un cuadrado, lo que contradice a lo supuesto. Luego, no existe tal \displaystyle d.

    Q.E.D (eso espero jaja)

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  18. “…Para m primo y n compuesto:…”

    Si es m=3 y es n=12, tenemos que ninguno son cuadrados perfectos pero su producto sí.

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  19. Jose juan: entonces cuando uno es primo y el otro es compuesto, su producto puede ser cuadrado o puede no serlo. Ahora tal vez cuando se trata de (ab + 1) y (bc + 1) hay que ver que si uno de ellos es primos, el otro pueda ser compuesto. Es decir: como comparten b, tal vez si (ab +1) es primo entonces  (bc +1) no puede ser compuesto, y si (ab + 1) es compuesto entonces (bc + 1) solo puede ser compuesto. Habria que ver eso.

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  20. Superman, por qué deja de banda los números que, siendo compuestos, dan un cuadrado (siendo ellos cuadrados o no?):

    9 es cuadrado, 4 también, su producto, 36 también lo es… ¿Y? ¿Estos números no valen? Son tan números como cualquier otro.

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  21. En resumidas cuentas: 1) que sigue atacando el problema en casos muy restringidos; y 2) que como ha señalado Josejuan, encima le han dado un contraejemplo que malbarata un poco el esfuerzo.

    Temo que por ahí el problema está lejos de resolverse…

    Un saludo!

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  22. Sisi el contraejemplo lo vi, pero por eso: la resolucion del problema se encuentra en que tal vez como, por ejemplo, el primer factor ((ab+1) y el segundo (bc+1) comparten a b entonces puede ser que si uno de los dos factores es primo (por ej) el otro no puede ser otra cosa que primo. Si uno de los factores es compuesto el otro no puede ser otra cosa que compuesto. Y para dos factores primos o dos factores compuestos no cuadrados (ya que un primo y uno compuesto no se podria) no se podria obtener un producto cuadrado. Entonces lo unico que queda es para dos factores compuestos CUADRADOS. Si para dos se cumple se obtiene un cuadrado, que multiplicado por el tercer factor (ac+1) (que tambien debe ser cuadrado porque comparte c con (bc+1) y a con (ab+1), segun lo que acabo de proponer) se obtiene otro cuadrado. Por lo tanto, solo se pueden obtener cuadrados del producto de tres factores de esa forma, si y solo si cada uno de ellos es cuadrado.

    Pero para afirmar eso primero hay que demostrar esto ultimo que propuse.

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  23. Bueno, no lo he solucionado, pero creo que aclaro el batiburrillo que se ha formado.

    Antes de nada, veamos que a, b y c deben ser diferentes:

    Supongamos que dicho producto es un cuadrado perfecto cuya raíz es u.

    Si a=b=c

    (a^2+1)^3 = u^2

    de donde

    a^2+1=z^2

    lo cual sabemos no es posible por no tener a^2+1 raíces reales (no digamos enteras).

    Si a=b<>c

    (a^2+1) (ac+1)^2 = u^2

    entonces

    a^2+1 = z^2

    que tampoco puede ser, por tanto, caso de existir a, b y c, deben ser diferentes dos a dos.

    Sean pues a, b y c diferentes.

    Los multiplicandos pueden expresarse como

    ab+1 = R
    bc+1 = S
    ac+1 = T

    al producto RST lo podemos expresar como

    RST = U

    Nótese que podemos intercambiar a, b y c sin pérdida de generalidad (igualmente con R, S y T).

    [1] Un número tiene todas las potencias de su descomposición en primos pares sii es un cuadrado perfecto (obvio).

    [2] como por hipótesis U es un cuadrado perfecto, las potencias de los factores primos de U deben ser todas pares.

    [3] Supongamos que R, S y T son cuadrados perfectos, entonces se cumple la hipótesis y hemos terminado.

    Supongamos que R y S son cuadrados perfectos y T no lo es, entonces, existiría un primo con potencia impar (proveniente de T) en U, lo cual contradice [2], luego si U es cuadrado perfecto, no pueden ser R y S cuadrados perfectos y T no.

    Así, sólo queda por revisar el caso en que ni R ni S ni T son cuadrados perfectos pero U sí lo es.

    Aquí debemos fijarnos en la construcción de R, S y T (ese “baile” dos a dos de las variables) y es tal que:

    Conjetura: existe un factor primo que sólo está en R en S o en T.

    Que como tiene potencia impar hace que únicamente el caso [3] sea factible y quede demostrada la proposición.

    Pensaremos en la conjetura…

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  24. Creo haber entendido lo que propones. Pero lo que no entendi es de donde proviene (a^2 +1)^3 =u^2 ni tampoco (a^2 +1)(ac+1)^2 = u^2

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  25. Disculpame ya lo entendi. Me parece que no habia prestado suficiente atencion.

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  26. Creo que ya he dado con la solución. Aunque seguro que hay cosas que pulir. Permítame usar su notación, Josejuan, para no aumentar el número de letras innecesariamente.

    Primero notemos que: (ab+1)=R, (bc+1)=S y (ca+1)=T son primos entre sí (dos a dos). Esto hará que, como no tienen ningún factor en común, la suma de los exponentes de cada factor común en R, T y S cuando multiplicamos R*T*S=U, no se da, porque no habría factores comunes a los que sumar los exponentes y cuya suma fuera par. Esto nos ahorra buscar combinaciones entre exponentes que sumen par (para que U sea cuadrado). Por ejemplo, podría ocurrir (en el caso de que no fueran primos entre sí, recuerdo) que un factor en R tuviera un exponente impar, el mismo factor en S también exponente impar, y el mismo factor en T, par. Tendríamos impar+impar+par=par, siendo entonces U cuadrado perfecto pero R y S no. Y esto daría al traste con la solución.

    Veamos pues, que R=ab+1, S=bc+1 y T=ca +1 son primos entre sí dos a dos. Usaremos la deducción de Josejuan que ha hecho en su comentario de que a, b y c han de ser diferentes entre sí.

    Si tuviéramos en vez de eso, que R=ab, S=bc, T=ca, como mínimo dos de ellos tendrían factores comunes entre sí (p.e. ab y bc tienen como factor común el b).

    ab y bc tienen un factor común (el b), ab+1 y bc no; bc y ca tienen un factor común (c), bc+1 y ca no; ab y ca tienen un factor común (a), ca+1 y ab no (o ab+1 y ca). Por tanto, la única forma en que R, S y T sean primos entre sí 2 a 2 es que R, S y T sean de la forma (ab+1), (bc+1) y (ca+1).

    Ya tenemos que R, S y T son primos entre sí.

    Ahora, usando “[2] como por hipótesis es un cuadrado perfecto, las potencias de los factores primos de deben ser todas pares”, que propuso Josejuan, tenemos que, como R, S y T son primos entre sí dos a dos, los factores de R, S y T han de estar elevados a un exponente par. Es decir, son cuadrados perfectos.

    ¿Quod Erat Demonstrandum?

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  27. “…son primos entre sí…”

    Me temo que no, tienes diversos casos, pero los tripletes siguientes muestran casos en que un multiplicando perfecto comparte factor con otro que no lo es, entre varios que lo son, etc…

    Por tanto y si he entendido bien, no es cierto que “…Ya tenemos que R, S y T son primos entre sí…”

    Habrá que seguir buscando! 😉

    Per 0 1 0, Div 0 1 0 // ( 2, 3, 4 )
    Per 0 0 1, Div 0 0 1 // ( 2, 3, 5 )
    Per 0 0 0, Div 0 0 0 // ( 2, 3, 6 )
    Per 0 1 1, Div 0 1 1 // ( 2, 3, 40 )
    Per 1 0 0, Div 1 0 0 // ( 2, 4, 5 )
    Per 1 0 1, Div 1 0 1 // ( 2, 4, 6 )
    Per 1 1 1, Div 1 1 1 // ( 2, 4, 12 )
    Per 1 1 0, Div 1 1 0 // ( 2, 4, 24 )

    Notas del listado:

    “Per U V W” indica si (ab+1) (ac+1) y/o (bc+1) son perfectos respectivamente
    “Div U V W” indica si comparten algún divisor RS, RT y ST respectivamente.
    “( a, b, c )” indica los valores para a, b y c

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  28. Mmmm, no entiendo bien lo que quiere decir.

    Por ejemplo, en el primer caso:
    Per 0 1 0, Div 0 1 0 // ( 2, 3, 4 ), tendríamos que en “Per 0 1 0” lo que quiere decir es que S es perfecto (de ahí el 1), mientras que R y T no (y de ahi su 0), ¿no?. ¿Y en “Div 0 1 0” si comparten algún divisor R y T?
    En el caso ya de la primera terna (2, 3, 4) no se da lo que, corríjame por favor, creo entender que dice. Pues para esa terna tenemos que (R, S, T)=(7, 13, 9) y no hay ningún factor que compartan; son primos entre ellos… Y tampoco RT=63, lógicamente, comparte ningún factor con RS=91 ni ST=117.

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  29. Fíjese, si no me he equivocado en entenderle antes claro está, que la única terna que cumple la condición que mencioné en mi esbozo de demostración, es la que dice:

    Per 1 1 1, Div 1 1 1 // ( 2, 4, 12 ). En este caso, y siempre según lo que yo he entendido, tenemos (a, b, c)=(2, 4, 12); R=9=3^2, S=49=7^2 y T=25=5^2. Es el único caso en que R, S, T son primos entre sí y a la vez cuadrados perfectos, haciendo que U=R*S*T sea cuadrado perfecto. En el resto de casos U no da un cuadrado perfecto ni los R, S y T son todos ellos cuadrados perfectos. He aquí lo que quería decir en mi esbozo.

    Un saludo!

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  30. Vaya perdona, el triplete Div lo he explicado mal, si hay un 1 es que RS, RT o ST respectivamente son coprimos (y no que comparten divisores que es lo contrario).

    Entonces lo que tu muestras es que para U cuadrado perfecto R, S y T deben ser coprimos, que es una restricción más fuerte que la conjetura propuesta…

    ¡Pues igual sí lo tienes!, pero aquí es la 1 y estoy que me caigo…

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  31. Uhm… ahora que estoy más fresco no veo tu solución maelstrom.

    Si entiendo bien, cuando dices “…Veamos pues, que R=ab+1, S=bc+1 y T=ca +1 son primos entre sí dos a dos…” no impones (ni/o usas, ni/o demuestras) que son primos sii R y S y T (y por tanto U) son cuadrados perfectos.

    Como no hay restricción, la primalidad (entre R, S y T) que muestras (baile de ab, ac y bc) no se da en todos los casos, que es lo que pretendía mostrar en mi listado.

    Por ejemplo, para a=2, b=3 y c=9, R, S y T no son cuadrados perfectos (que es el caso que falta por demostrar) y sin embargo sí comparten factores primos (R=7, S=19, T=2*2*7). Y como comparten factores, tu proposición no puede aplicarse y no podemos asegurar que RST no sea cuadrado perfecto (aunque en este caso concreto sí sepamos que no es).

    En fin…

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  32. A continuación indico una demostración para el enunciado. Lamento no haber podido atender a los argumentos que se han indicado anteriormente. La prueba que escribo es por descenso infinito.

    Supongamos por reducción al absurdo que (ab+1)(bc+1)(ca+1) es cuadrado y que no todos los factores ab+1, bc+1, ca+1 lo son. En estas condiciones suponemos que (a,b,c) es una terna cumpliendo a\leq b\leq c y que la suma a+b+c es mínima.

    Sea d:=a+b+c+2abc-2\sqrt{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}, que es un número entero. Mostraremos a continuación que 0<d<c, que (ab+1)(bd+1)(da+1) es cuadrado, y que no todos los factores ab+1, bd+1, da+1 lo son, lo cual contradiría la minimalidad de (a,b,c).

    1º) d resuleve la ecuación de segundo grado

    a^2+b^2+c^2+d^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-4abcd-4=0 \quad (1)

    que además se puede expresar de las tres formas siguientes

    (a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1)\quad (2i)
    (a+c-b-d)^2=4(ac+1)(bd+1)\quad (2ii)
    (a+d-b-c)^2=4(ad+1)(bc+1)\quad (2iii)

    2º) Usando (2ii) y (2iii) vemos que
    (a+c-b-d)^2(a+d-b-c)^2(ab+1)^2=16(ab+1)(bc+1)(ca+1)(ab+1)(bd+1)(ad+1),

    lo cual muestra que (ab+1)(bd+1)(ad+1) es cuadrado.

    Además, de (2iii), ad+1 es cuadrado \iff bc+1 es cuadrado; y de (2ii), bd+1 es cuadrado \iff ac+1 es cuadrado. Por lo tanto, no pueden ser cuadrados simultáneamente (ab+1), (bd+1), (da+1).

    3º) De (2i), cd+1=\displaystyle{\frac{(a+b-c-d)^2}{4(ab+1)}}\geq 0, es decir que d\geq -\displaystyle{\frac{1}{c}}. Ver que c\geq 2 (ya que si c=1, entonces a=b=c=1 y no se da la propiedad inicial). Por tanto, como d es entero, debe ser d\geq 0.

    Por otra parte, si fuera d=0, el sistema (2i)-(2ii)-(2iii) nos diría que los tres factores (ab+1),(bc+1),(ca+1) son simultáneamente cuadrados (y hemos supuesto que no). Luego d\geq 1.

    4º) Finalmente, tomando e la raíz de (1) correspondiente a la determinación positiva de la raíz, obtendríamos que d<e y que

    de=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)-4=c^2-a(2c-a)-b(2c-b)-2ab-4<c^2.

    Luego d^2<de<c^2, y d<c, obteniendo la contradicción de minimalidad para la terna (a,b,c).

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  33. Sí; no es por incordiar, M, pero… hágalo un poco más inteligible. Bueno, un mucho más inteligible. Sin acritud.

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  34. Complicado, sí. Os recomiendo que vayáis escribiendo vosotros mismos cada paso y comprobando que todos son ciertos, pra entender mejor el razonamiento. Y así será más sencillo localizar qué pasos no entendéis.

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  35. Bueno, en el caso de lo propuesto por M, entiendo la estrategia: descenso infinito y contradicción (por tratarse de enteros positivos) y se demuestra pues que no todos los R, S y T pueden ser no-perfectos, es decir, que han de ser cuadrados perfectos los tres. Lo que no entiendo son sus pasos intermedios. ¿De dónde saca que d es tal, cumple (1) (el sistema 2i-2ii-2iii sí sé cómo llega) y etc., etc. en todos los pasos? Los cálculos necesitan, almenos para mí, ser un poco más explícitos. Parece que las definiciones de d, y la algorítmica usada, hayan sido sacadas de la manga porque sí.

    Un saludo!

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  36. Bueno, los pasos ya los he entendido. Queda por determinar cómo halla la definición de ‘d’ justo antes del paso 1º); qué es la ecuación (1) y de dónde sale y en qué variable está la ecuación (¿’d’ solución de qué manera?); y finalmente qué quiere decir que ‘e’ es raíz de (1) en su determinación positiva.

    Si no es mucha molestia, señor/a M…

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  37. Ya veo que esas pocas cuestiones permanecerán en el limbo de las Ideas… 🙁

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  38. Tranquilo maelstrom, todo se andará. No todo el mundo puede contestar en todo momento. Paciencia.

    Saludos.

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  39. Hola, siento la tardanza en responder. Desde luego el problema es bastante difícil. El paso fundamental es que las ecuaciones (2i)-(2ii)-(2iii) son iguales, y de ahí parte todo.

    Esta cuestión tiene que ver con determinar conjuntos de números naturales \{a_1,a_2,\ldots,a_k\} de modo a_i\cdot a_j+1 sea cuadrado para cualesquiera elementos.

    En el caso del problema propuesto se nos da un conjunto de tres elementos {a,b,c} que cumplen la propiedad. Pues bien, Euler obtuvo que se puede añadir un cuarto número x de tal modo que cumpla que ax+1, bx+1,cx+1 sean cuadrados. Para conseguirlo, la genialidad de Euler consiste en considerar el sistema (2) en sus tres versiones:

    (a+b-c-x)^2=4(ab+1)(cx+1)\quad (2i)
    (a+c-b-x)^2=4(ac+1)(bx+1)\quad (2ii)
    (a+x-b-c)^2=4(ax+1)(bc+1)\quad (2iii)

    de tal modo que si esta ecuación tiene solución natural entonces se logra un cuarto elemento x tal que el conjunto \{a,b,c,x\} verifica que sumando 1 al producto de cualesquiera dos elementos se obtiene un cuadrado.

    Resulta entonces que el sistema (2) es la ecuación de segundo grado en x (ver la ecuación (1) en mi comentario previo):

    x^2-2(a+b+c+2abc)x+(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc-4)=0

    que tiene soluciones enteras en virtud de que (ab+1)(bc+1)(ca+1) es cuadrado. De hecho las soluciones (que llamé d y e) son

    x=a+b+c+2abc\pm 2\sqrt{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}.

    El conjunto \{1,3,8,120\} es un ejemplo de esta situación (xy+1 cuadrado para todo x,y en el conjunto) debido a Fermat.

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  40. “Euler, Euler… The Master of us all!”. Bueno, la frase fue pronunciada en francés, pero en fin. Gracias, M! Buena, o buenísima resolución. Algunos nos hemos quedado de piedra y todo.

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