Producto de senos

Este problema nos lo manda nuestro conocido comentarista Domingo. Por recomendación suya lo propongo en dos partes:

Demostrar que:

1.- sen \left (\cfrac{\pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{2 \pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{3 \pi}{5} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{4 \pi}{5} \right )=\cfrac{5}{16}

2.- sen \left (\cfrac{\pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{2 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{3 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{4 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{5 \pi}{7} \right ) \cdot sen \left (\cfrac{6 \pi}{7} \right )=\cfrac{7}{2^6}

Según él nos va a tener entretenidos durante un tiempo. Ánimo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

44 Comentarios

  1. Acabo de leer la propuesta, 29-10-2007 a las 13;20 argentinas. Veamos que tiempo me lleva. (Espero no tener que decir que 50 años :S)

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  2. ^DiAmOnD^, seguro que nos tendrá entretenidos durante un tiempo. Pero no quise dar a entender que ese tiempo tuviera que ser muy extenso. Estoy seguro de que surgirán propuestas curiosas en poco tiempo.

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  3. Vaya, qué casualidad!. Estaba yo con la identidad
    \mathrm{sen}(3x) = 4 \cdot\mathrm{sen}(x)\cdot\mathrm{sen}(x+60^{\circ}) \cdot \mathrm{sen}(x+120^{\circ})
    y su relación con la fórmula para n positivo impar y f(z) = 2i\ \mathrm{sen}(2\pi z) = e^{2\pi iz} - e^{-2\pi iz}:
    $latex \displaystyle \frac{ f(nz) }{ f(z) } = \prod_{k=1}^{(n-1)/2} f(z + \frac{k}{n})
    f(z – \frac{k}{n}) $

    …y me parece que las identidades de arriba se deducen de ésta. Voy a mirarlo más en detalle. 🙂

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  4. Al no haber variables, uno puede coger la calculadora y ver que efectivamente, las igualdades se cumplen. Con lo cual quedaría demostrado, qué duda cabe 😀

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  5. Ok, de acuerdo con el paso adelante que ha dado Manuel71 para probar el caso 1.

    No obstante esa estrategia va a ser complicada de seguir para demostrar el caso 2 (y el caso general).

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  6. Bueno, vamos a demostrar en realidad que \displaystyle{\forall n\ge2}, \displaystyle{\Pi_{k=1}^{n-1} sen(k\pi/n)=\frac{n}{2^{n-1}}}.

    Partamos de que \displaystyle{z^n-1=\Pi_{k=1}^n(z-e^{2k\pi i/n})} (raíces n-ésimas de la unidad).

    Dividiendo entre z-1, tenemos que \displaystyle{z^{n-1}+z^{n-2}+\dots+z+1= \Pi_{k=1}^{n-1}(z-e^{2k\pi i/n})}, luego para z=1 se tiene que

    \displaystyle{n-1=\Pi_{k=1}^{n-1}(1-e^{2k\pi i/n})} y dividiendo entre 2^{n-1},

    \displaystyle{\frac{n-1}{2^{n-1}}=\Pi_{k=1}^{n-1}\frac{1-e^{2k\pi i/n}}{2}} y multiplicando en cada factor arriba y abajo por \displaystyle{e^{-k\pi i/n}} resulta que

    \displaystyle{\frac{n-1}{2^{n-1}}=\Pi_{k=1}^{n-1}\frac{e^{-k\pi i/n}-e^{k\pi i/n}}{2i} \cdot \frac{i}{e^{-k\pi i/n}}= (-i)^{n-1} \Pi_{k=1}^{n-1} sen(k\pi /n) \Pi_{k=1}^{n-1} e^{k\pi i/n}}.

    Ahora bien,

    \displaystyle{\Pi_{k=1}^{n-1} e^{k\pi i/n} =Exp[\sum_{k=1}^{n-1} k\pi i/n] = Exp[\frac{k\pi}{n}\sum_{k=1}^{n-1}k]= Exp[\frac{k\pi}{n}\frac{(n-1)n}{2}] = e^{k\pi (n-1)/2}=(e^{k\pi/2})^{n-1}=i^{n-1}}

    Por lo tanto,

    \displaystyle{\frac{n}{2^{n-1}}=(-i)^{n-1} \Pi_{k=1}^{n-1} sen(k\pi /n) \cdot \Pi_{k=1}^{n-1} e^{k\pi i/n} =(-i)^{n-1}i^{n-1} \Pi_{k=1}^{n-1}sen(k\pi/n)}, luego

    \displaystyle{\frac{n}{2^{n-1}}=\Pi_{k=1}^{n-1}sen(k\pi/n)}
    que es lo que queríamos demostrar

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  7. Sí señor, Tito. Muy buena prueba. Has dado en el clavo con una prueba general para el producto de los senos (aunque hay una errata menor en el argumento que no afecta a la demostración).

    ¿¿Podríamos intentar a continuación obtener una expresión análoga para el producto de los cosenos?? Es decir, obtener una expresión para cada natural n\geq 2 del producto

    \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}} \cos\left(\cfrac{k\pi}{n}\right)

    Ánimo, que también se obtiene una expresión muy curiosa!!

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  8. Ante todo, enhorabuena Tito. Y enhorabuena también Domingo, por plantearnos estos retos tan interesantes.

    Me pregunto si no es posible una demostración elemental, sin números complejos.

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  9. Asier, yo he pensado lo mismo. La demostración de Tito me ha encantado. Yo conocía otra prueba ligeramente diferente usando polinomios “reales” pero que en el fondo tienen a las raíces enésimas de la unidad como raíces. O sea que en el fondo es más o menos lo mismo. Si te parece en cuanto se enfríe el post la pongo por aquí. De todos modos, recordemos la célebre frase de Hadamard sobre las verdades del “campo real”. Así que aquí lo más coherente es usar las raíces enésimas.

    Deduzcan la expresión para el producto de los cosenos, que sale muy sencillo aprovechando el trabajo duro de Tito.

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  10. Para el caso de producto de cosenos…
    para n par sería 0, esto se ve sin hacer mucho desarrollo matemático, ya que siendo n par existe un entero k=n/2… y para ese k el coseno es cos(PI/2) = 0

    para n impar, la cosa se complica un poco más… aunque sí se puede deducir fácilmente el signo, agrupando por parejas de ángulos complementarios, cada pareja da un producto negativo y según el número de parejas el producto será positivo o negativo.
    Calcular el valor absoluto ya requiere algo de desarrollo matemático, pero Tito ya allanó el camino… en este caso son cosenos y la expresión compleja del coseno es similar al seno pero con suma de exponenciales (en lugar de resta) y sin dividir por i. Para obtener esta suma, se evaluaría la misma expresión usada por Tito pero para z=-1
    Con esto se llega a -1-exp(…) que luego se transforma en -exp(+…)-exp(-…)

    Y evaluando el polinomio, para z=-1, es cero si n es par (llevando a que el producto de cosenos es cero si n es par) y es -1 si n es impar.

    Al final, agrupando, queda el producto de cosenos igual a [(-1)^(n-1)]*[(-1)^((n-1)/2)] / 2^(n-1)

    Y al ser n impar [(-1)^(n-1)] = 1

    Entonces:
    Prod_Cosenos = [(-1)^((n-1)/2)] / 2^(n-1)

    Ejs:

    n=3, son 2 saltos de PI/3
    cos(PI/3)*cos(2*PI/3)= (1/2)*(-1/2) = -1/4
    = (-1)^((3-1)/2) / 2^(3-1)

    n=5, son 4 saltos de PI/5
    cos^2(PI/5)*cos^2(2*PI/5)=
    =((1/16)*(1+sqr(5)))^2 *((1/16)*(-1+sqr(5)))^2 = 1/256 * (5-1)^2 = 1/16

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    • sin((pi)/7)=sin(6*(pi)/7)
      sin(2*(pi)/7)=sin(5*(pi)/7)
      sin(3*(pi)/7)=sin(4*(pi)/7)
      sin((pi)/7)*sin(6*(pi)/7)*sin(2*(pi)/7)*sin(5*(pi)/7)*sin(3*(pi)/7)*sin(4*(pi)/7)=sin^2((pi)/7)*sin^2(2*(pi)/7)*sin^2((pi)/7)=( sin((pi)/7)*sin(2*(pi)/7)*sin((pi)/7))^2
      como sin((pi)/7)*sin(2*(pi)/7)*sin((pi)/7=(sqrt(7))/8=X según (Bankoff and Garfunkel 1973)
      x^2=7/64=7/2^6

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  11. Madre mía Tito, estás hecho un crack. Enhorabuena. Por cierto, te he editado el comentario para meter \displaystyle para que las sumas y los productos se vieran mejor, pero los productos se siguen viendo igual :(.

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  12. Sí, pq no me di cuenta y puse /Pi en vez de /Prod (que no me acordaba…)

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  13. efectivamente Acid, la solución se obtenía haciendo z=-1 en el desarrollo de Tito, para obtener en forma compacta:

    $latex \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}} \cos\left(\cfrac{k\pi}{n}\right)=
    \displaystyle{\cfrac{sen(\frac{n\pi}{2})}{2^{n-1}}}=
    \displaystyle{\cfrac{(-1)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(n-2\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)}{2^{n-1}}}$

    En unos días (en cuanto tenga más ganas) pondré una demostración “real” de estas dos propiedades que hemos demostrado. Es ligeramente más complicada, ya que no salimos del campo real.

    En particular hemos demostrado también que

    $latex \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}} cotg\left(\cfrac{k\pi}{n}\right)=
    \displaystyle{(-1)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\left(1-\frac{2}{n}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\right)}$,

    que es una expresión que a mí particularmente me parece preciosa.

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  14. Bueno, aunque ya hemos resuelto el asunto que se planteaba con más generalidad de la que se pedía (aunque el fin último fuera obtener una expresión general), quisiera dar una vuelta de tuerca más a este tema.

    Creo que sería muy interesante y provechoso continuar estudiando el siguiente asunto. Vamos a considerar la siguiente matríz cuadrada, tridiagonal y simétrica de orden N\geq 2:

    A_N=\begin{pmatrix}\;\;2\;\;-1\;\;0\;\;\ldots\;\;0\\ -1 \;\;\;\; 2 \;\; -1\;\;\ldots\;\;0\\\;\;\;\;\\ 0\;\;\ldots 0\;\;\;\;-1\;\;2 \end{pmatrix}

    (me ha quedado mal la matriz porque hay problemas con el símbolo \&)

    Bueno, A_N es la matriz tridiagonal simétrica con diagonal constante igual a 2 y tanto la primera subdiagonal como la primera superdiagonal tienen todos sus elementos iguales a -1. Espero que se haya entendido.

    Las cuestiones que os planteo son las siguientes:

    1) Calcular el determinante de A_N en función de N.

    2) Obtener (como sea) los autovalores y autovectores de la matriz.

    3) Relacionar ambas cosas para llegar a algún sitio por el que ya hemos pasado anteriormente en este tema 🙂

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  15. Vamos a ver, si a la primera columna le sumo el resto de las columnas, quedará:
    $latex |A_N|=
    \begin{vmatrix}
    1\ -1\ 0\ 0\ \dots\ 0\ 0\ 0\\
    0\ \ 2\ \ -1\ 0\ \dots\ 0\ 0\ 0\\
    0\ -1\ 2\ -1\ \dots 0\ 0\ 0\\

    \dots \\
    0\ 0\ 0\ 0\ \dots\ -1\ 2\ -1\\
    1\ 0\ 0\ 0\ \dots \ 0\ -1\ 2\\

    \end{vmatrix}$

    Entonces, desarrollando por la primera columna, resulta |A_N|=|A_{N-1}|+(-1)^{n-1}|B_{N-1}| donde B_{N-1} es una matriz cuadrada de orden N-1 con diagonal completa de -1. Por lo tanto

    |A_N|=|A_{N-1}|+1=\dots=|A_1|+(N-1) pero como A_1=1, resulta que |A_N|=N.

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  16. Por el Teorema de los Círculos de Gershgorin Los autovalores de la matriz han de estar en la unión de sus círculos de Gershgorin, en este caso, el disco (cerrado y complejo) de de centro 2 y radio 1.

    Pero como la matriz es siméetrica, se sabe que los autovalores son reales, luego los autovalores han de estar en el intervalo [1,3]

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  17. Con todo esto veo que he olvidado un montón de cosas de Análisis de complejos.
    A lo único que llegué ayer fue a que:
    $latex
    \sin (r * \pi)= \sin [(r-1)* \pi]
    $
    Donde r es un número racional cualquiera.
    Eso lo ví hoy utilizado en el trabajo de Manuel 71, pero para mí fue todo un descubrimiento.

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  18. Un comentario: hay un pequeño error al aplicar el teorema de Gershgorin. Aplicado a este caso nos dice que los autovalores están en el disco complejo D(z=2,r=2), y como deben ser reales están en (0,4).

    De todos modos esto no nos dice mucho sobre el valor exacto de los autovalores y autovectores. Tal vez sea bueno mirar previamente los casos N=2,3,4,5,6,\ldots para ver qué ocurre…

    Ánimo, que sale una cosa espectacular.

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  19. Hola a todos
    Hace un buen tiempo que entro a esta pagina y me ha parecido muy interesante pero tengo una duda con respecto al desarrollo que hizo TITO con respecto a la productoria de los senos

    ¿Como pasa de (n-1)/2^(n-1) a n/2^(n-1)?

    P.S. todavia no he aprendido a usar LaTeX

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  20. esa es una de las erratas: al sustituir z=1 se obtiene n, y no n-1

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  21. No entiendo una cosa: en la demostración de Tito Eliatron se parte de que \displaystyle{z^n-1=\Pi_{k=1}^n(z-e^{2k\pi i/n})}, luego se divide la expresión entre z - 1, para finalmente suponer que z = 1.

    Me pregunto, al hacer lo último, ¿no se está dividiendo por cero?

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  22. No,porque lo que ocurre esque en la igualdad polinomial, z-1 es factor simple de ambos lados, luego se puede eliminar y queda OTRA igualdad polinomial de la que z-1 ya no es factor. De hecho, se hace la división para NO DIVIDIR ENTRE 0.

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  23. Vale, perfecto, gracias por la explicación. Bonita demostración, por cierto.

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  24. En cuanto al producto de los cosenos, y siguiendo el mismo desarrollo que para el de los senos, pero haciendo z=-1
    \displaystyle{(-i)^{n-1}(-1)^{n-1}2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{1-(-1)^n}{2}}
    De aquí,
    \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{1-(-1)^n}{2i^{n-1}2^{n-1}}=e^{-i\pi n/2}\cdot\frac{e^{i\pi n/2}-e^{-i\pi n/2}}{2(2i)^{n-1}}=\frac{e^{-i\pi (n-1)/2}}{(2i)^{n-1}}\cdot\frac{e^{i\pi n/2}-e^{-i\pi n/2}}{2i}=\frac{\sin\left(\pi n/2\right)}{(-2)^{n-1}}}

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  25. Bueno, creo que va siendo hora de desvelar el misterio de los autovalores de la matriz que poníamos arriba y su relación con el producto de senos que planteábamos.

    Pues bien, los autovalores de la matriz son de la forma:

    \lambda_k=4\cdot sen^2\left(\cfrac{\pi k}{2(N+1)}\right) con autovector respectivo v_k=\left(sen\left(\cfrac{\pi k}{N+1}\right), sen\left(\cfrac{2\pi k}{N+1}\right),\ldots,sen\left(\cfrac{N\pi k}{N+1}\right)\right)^T, para 1\leq k\leq N.

    La cuestión estaba en verlo para casos sencillos N=2,3,4 (con ayuda de algún manipulador algebraico, por ejemplo), y luego generalizar. Demostrar este resultado es muy sencillo (lo difícil, como siempre, era “verlo”). Sólo se necesita multiplicar la matriz A_N por el vector v_k y conocer la fórmula: sen(a+b)+sen(a-b)=2sen(a)cos(b).

    Por otro lado, si multiplicamos esos autovalores e igualamos al valor del determinante (que vale N+1), lo que se obtiene es la fórmula del producto de senos, pero para los valores pares del divisor (para impares no vale esta vía).

    Ésta sería una demostración de la fórmula sin recurrir a la variable compleja, aunque sólo vale para valores pares del divisor. En cuanto coja fuerzas pondré aquí una demostración basada exclusivamente en polinomios reales que también da lugar a la fórmula del producto de senos.

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  26. Hace un tiempo Asier preguntaba por la posibilidad de demostrar la expresión obtenida para el producto de senos con una estrategia dentro del campo real. A ver qué les parece ésta:

    Para a\in\mathbb{R}^+ y n\geq 2, partimos de la identidad:

    x^{2n}-2\cos(n a)\cdot x^n+1= \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1} (x^2-2\cos\left(a+\cfrac{2k\pi}{n}\right)\cdot x+1)}\qquad \qquad (1)

    (ambos polinomios tienen como raíces (complejas) e^{\pm i(a+\frac{2k\pi}{n})},\;\;k=0,\ldots,n-1)

    Haciendo en (1) x=1 y a=2b, con b positivo, llegamos a

    4\cdot sen^2(n b)= \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1} 4\cdot sen^2\left(b+\cfrac{k\pi}{n}\right)}\qquad \qquad (2),

    o bien

    \cfrac{sen^2(nb)}{sen^2(b)}=4^{n-1} \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}  sen^2\left(b+\cfrac{k\pi}{n}\right)}\qquad \qquad (3)

    Tomando límites cuando b\to 0^+

    n^2=4^{n-1} \displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1}  sen^2\left(\cfrac{k\pi}{n}\right)}\qquad \qquad (4)

    y obtenemos lo que buscamos tomando raíces cuadradas.

    Finalmente, comentar que si en (3) tomamos b=\cfrac{\pi}{2} obtenemos la fórmula del producto de los cosenos. Y con estas dos, las fórmulas para el resto de productos de funciones trigonométricas directas.

    Este razonamiento “real” es más completo que el “complejo” ya que llegamos con él a la fórmula (3) que es más general. Dando valores a b obtenemos más productos interesantes.

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  27. Muchas gracias, Domingo, por publicar estos resultados tan interesantes.

    La identidad de la que partes es preciosa pero no me parece nada trivial: ¿cómo deducirla en el campo real y utilizando las relaciones trigonométricas básicas?

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  28. Asier, realmente la ecuación (1) anterior es el único momento en que se acude al campo complejo (considerando los pares de complejos conjugados e^{\pm i(a+\frac{2k\pi}{n})}).

    De todos modos, dudo mucho que una demostración usando “razonamientos trigonométricos más básicos” sea más simple, elegante o fácil de entender que las dos demostraciones que se han escrito aquí.

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  29. Asier, creo que la demostración que sigue para n impar responde a tu pregunta.
    Está adaptada de Yaglom+Yaglom, Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, donde usan el mismo método para más casos.

    Partimos de la fórmula del seno del ángulo múltiplo, que se puede demostrar por inducción. (O a partir de la fórmula de De Moivre).

    \displaystyle \mathrm{sen}\ n\alpha = \sum_{\substack{k\ge 1\\k\ \text{impar}}} (-1)^{(k-1)/2}\binom{n}{k}\mathrm{sen}^k \alpha \cos^{n-k} \alpha.

    Si n=2m+1, podemos escribir

    \displaystyle \mathrm{sen}\ (2m+1) \alpha = \mathrm{sen} \ \alpha \left[ \binom{2m+1}{1} ( 1 - \mathrm{sen}^2 \alpha)^m -\binom{2m+1}{3} \mathrm{sen}^2 \alpha ( 1 - \mathrm{sen}^2 \alpha)^{m-1} + \ldots  \right]

    Como para \ \alpha = \dfrac{k\pi}{2m+1}, \ k=1,\ldots m,\ \ \mathrm{sen}\ (2m+1) \alpha = 0, \mathrm{y }\ \mathrm{sen}\ \alpha \neq 0 \ \ ,
    la expresión entre corchetes vale cero para esos valores de \alpha y por lo tanto el polinomio de grado m

    \dbinom{2m+1}{1} (1-x)^m - \dbinom{2m+1}{3} x(1-x)^{m-1}  + \dbinom{2m+1}{5} x^2(1-x)^{m-2} - \ldots = 0

    tiene como raíces los valores \mathrm{sen}^2 \dfrac{k\pi}{2m+1}, \ k=1,\ldots m, que son diferentes pues 0 \prec \alpha \prec \pi/2 .

    Pero por las fórmulas de Vieta el producto de las raíces de un polinomio
    ax^m + bx^{m-1} + \ldots + cx + d = a\prod(x-r_i) es \prod r_i = (-1)^m d/a.

    Pero en nuesto polinomio el coeficiente de x^m es

    $latex a= (-1)^m \left[ \dbinom{2m+1}{1} + \dbinom{2m+1}{3} + \dbinom{2m+1}{5} + \ldots \right]
    = (-1)^m2^{2m} $

    y el término independiente es \binom{2m+1}{1} = 2m+1 .

    Y entonces por la fórmula anterior
    \displaystyle \prod_{k=1}^m \mathrm{sen}^2 \frac{k\pi}{2m+1} = \frac{2^{2m}}{2m+1}

    Y teniendo en cuenta que \mathrm{sen} \dfrac{k\pi}{2m+1} = \mathrm{sen} \dfrac{(2m+1-k)\pi}{2m+1} , tenemos los resultados del post.

    Quizá no sea la demostración más simple, pero sí creo que elegante y fácil de entender 🙂

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  30. Esta prueba de fede para valores impares, junto con la que había indicado para valores pares a través de los autovalores de cierta matriz tridiagonal, da una tercera prueba de la fórmula del producto de senos. Todas las demostraciones han sido bastante interesantes, pero me quedo con la generalidad de la fórmula

    \cfrac{sen^2(nb)}{sen^2(b)}=4^{n-1}\displaystyle{\prod_{k=1}^{n-1} sen^2\left(b+\cfrac{k\pi}{n}\right)}

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  31. Y hablando de productos de senos…

    ¿Como sería el producto desde k=1 hasta n de:

    sin(pi*a/k)

    Alguien lo sabe?

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