Producto par

El problema de esta semana está relacionado con números enteros. Ahí va:

Demostrar que el producto de dos números enteros positivos a,b es par si y sólo si existen otros dos enteros positivos c,d tal que

a^2+b^2+c^2=d^2

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. (Esto va a ser engorroso. Seguro que existen métodos más elegantes, pero lo mío nunca ha sido la elegancia, ni mucho menos la concisión).

    Empiezo demostrando que, dado cualquier número entero x, se verifica x^2\equiv0 (mod 4) o bien x^2\equiv1 (mod 4): si x es par, entonces se puede expresar como x=2n, con n entero, por lo que x^2=4n^2, y entonces x^2\equiv0 (mod 4). Si x es impar, entonces x=2n+1, y x^2=4n^2+4n+1, de manera que x^2\equiv1 (mod 4).

    Ahora, el problema en sí. Supongamos que el producto a\cdot b es impar. Entonces, tanto a como b son impares. Entonces a^2+b^2\equiv 2 (mod 4). Como c^2\equiv0 ó 1 (mod 4), tiene que ser d^2\equiv2 ó 3 (mod 4), lo que, como hemos visto, es absurdo. Así pues, si el producto a\cdot b es impar, no existen dos enteros c y d que verifiquen la ecuación original.

    Hemos demostrado uno de los sentidos de la implicación; ahora demostramos el otro: si el producto a\cdot b es par, entonces existen dos enteros c y d que verifican la ecuación. Para ello expresamos la ecuación de la siguiente manera: a^2+b^2=d^2-c^2=(d+c)(d-c).

    Para que este producto sea congruente con 0 (módulo 4), nos basta con que tanto d+c como d-c sean pares. En particular, el caso d+c=\frac{a^2+b^2}2, d-c=2 nos vale. Esto significa que d=\frac{a^2+b^2}4+1 y c=\frac{a^2+b^2}4-1 satisface la ecuación.

    Por otro lado, para que d^2-c^2 sea un número impar concreto, nos basta con que d y c sean sus mitades por exceso y por defecto. Con este resultado y el anterior tenemos garantizada la existencia de d y c para cualquier valor de a^2+b^2 en el que al menos una de los dos variables sea par, con lo que tenemos listo el otro sentido de la implicación. Y se acaba la demostración.

    Este resultado se puede obtener directamente a partir de otro que me encanta (y que supongo que es bastante conocido, aunque yo lo obtuve por mi cuenta hace un chorro de años y no recuerdo haberlo visto en ningún libro): para que un número n no se pueda expresar como diferencia de dos cuadrados perfectos, es condición necesaria y suficiente que n sea múltiplo de 2 pero no de 4 (lo que se puede saber mirando simplemente sus dos últimas cifras, si está en base 10).

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  2. A mí no me parece que tu demostración sea engorrosa… ¡me ha gustado!

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  3. La demostracion que hice es la siguiente:

    Primero se toma la ecuacion de la siguiente forma a^{2}+b^{2}=d^{2}-c^{2}
    Al analizar el lado derecho si d lo reemplazamos por c+1 tenemos:(c+1)^{2}-c^{2}=2c+1. Es decir que la diferencia entre el cuadrado de un sucesor de un numero y cuadrado de ese numero es un numero impar. Si se suma este numero por su sucesor se obtiene un multiplo de 4: 2c+1+2(c+1)+1=4c+4
    Ahora si cambio d por c+2k, es decir, que la diferencia entre d y c es un par se tiene: (c+2k)^{2}-c^{2}=4kc+4k^{2}=4(kc+k^{2}) que es un multiplo de 4.
    Ahora en el lado izquierdo, si tomamos que a y b son pares tenemos: (2k)^{2}+(2l)^{2}=4k^{2}+4l^{2}=4(k^{2}+l^{2}) Que es un múltiplo de 4, por lo que existen los números d. y c que cumplen la condición.
    Ahora si a es par y b impar
    (2k)^{2}+(2l+1)^{2}=4k^{2}+4l^{2}+4l+1 El cual es impar, por lo que existen números d y c que cumplen la condición
    Y si a y b son impares
    (2k+1)^{2}+(2l+1)^{2}=4k^{2}+4k+4l^{2}+4l+2 El cual es par, pero no es múltiplo de 4, por lo que no existen números d y c que cumplan la condición
    En los dos primeros casos ab es par y en esos casos se cumple la proposición propuesta por el problema.
    Esta demostracion es una explicacion, no se si mas sencilla, de la demostracion de Ñbrevu

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  4. Ricardo al revisar tu demostracion me parese que tienes un error a menos que lo este entendiendo mal ya que:

    1.- que el sucesor de “2c+1” no es “(2c+1)+1”?
    2.-tambien particularisas la demostración al suponer “d=c+2k” y que sucede con “d=c+p” donde “p” es primo o mas general que sea un numero impar.

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  5. bueno Ñbrevu tu demostración es buena y como dices, no ah de ser muy elegante que digamos pero hay demostraciones menos elegantes, como la que presentaré en seguida almenos eso creo, solo tomare conceptos sencillos como ah de ser la divisiblilidad.

    bueno

    de “a^2 + b^2 + c^2 = d^2” ………………….(º)
    completando cuadrados obtenemos:
    ((a+b)^2 + c^2 – d^2)/2 = ab

    ahora suponemos que “ab” sea un numero impar por tanto necesariamente
    (a+b)^2 + c^2 – d^2=(a+b)^2 +(c-d)(c+d) —> tiene que ser un numero par
    analisemos la exprecion “((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2 ”
    de aver supuesto que “ab” es impar entonces “a”y”b” son impares, de donde
    (a+b) es par lego (a+b)^2 tambien es par por tanto
    [(a+b)^2]/2 ……………..(*) tambien es par
    luego para que ((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2 sea impar ya que “ab” supusimos que lo es,
    y como (*) es par entonces
    [(c-d)(c+d)]/2 ———-(**) esta expresion tiene que ser impar
    ya que ,… par + ipar = impar
    [(a+b)^2]/2 + [(c-d)(c+d)]/2=((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2=ab

    ahora analisemos la expresion [(c-d)(c+d)]/2 en que condiciones es impar.
    1.-si “c”y”d” son pares se cumple que [(c-d)(c+d)]/2 es par
    2.-si “c”y”d” son impares se cumple que [(c-d)(c+d)]/2 es par
    3.-si “c” es impar y “d” es par o viseversa obtenemos que (c-d)(c+d) es un numero impar y si dividimos este numero entre 2 es decir [(c-d)(c+d)]/2 nunca sera un numero entero y menos impar

    ahunque es obvio pero es bueno recarcarlo como dice mi profe;
    para el que este pensando que sucede cuando “c=d” esto no puede suceder ya que esto implicaria a^2 = -(b^2) lo cual es absurdo dado las condicones del enunciado del problema.

    concluimos de 1,2y 3 que en ningun “c”y”d” verifica que la expresion [(c-d)(c+d)]/2 sea impar.
    resumiendo, al suponer que “ab” sea impar:
    obtuvimos que:
    [(a+b)^2]/2 ……………..(*) es par
    y [(c-d)(c+d)]/2 ………….(**) no exixte “c”y”d” los cuales lo hagan impar.
    lo cual es necesario para que “ab” sea impar esto es :
    (*) + (**) =ab < ---> par + impar = impar

    bueno con esto ultimo vemos que si “ab” es impar no existen “c”y”d” que verifiquen la ecuacion ” (º)” con esto termina la demostraciòn de la primera implicacion y la otra implicacion ya que es un analisis de un si y solo si.

    Nota.
    perdon por no escribir en latex hay pbroblemas con mi pc.

    buen dia a todos
    y recuerden que la matemática es un pribilegio reservado para pocos sonrian hasta la proxima (xfe)

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  6. Con relacion a lo que dijiste, esta bien. Me equivoque al decir el sucesor de ese numero, era el proximo impar

    1+3=4
    4+5=9
    9+7=16
    16+9=25
    donde los resultados son cuadrados perfectos

    Y con relacion a lo segundo, con solo observar :(c+1)^{2}-c^{2}=2c+1 se ve que la suma entre este termino y el proximo impar es par multiplo de 4 y al sumar este termino con el proximo impar y el impar luego de este da como resultado un impar. Para no confundir mejor lo generalizo:

    (c+2k+1)^{2}-c^{2}=4kc+4k^{2}+4k+2c+1 que es un numero impar

    Disculpa por los errores, cuando se utiliza la palabra sucesor es facil equivocarse. Gracias por el comentario

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  7. Bien por la aclaracion Ricardo, y hay que tener cuidado con las definiciones ya establecidas… un gusto bye

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