Comments on: Producto pequeño http://gaussianos.com/producto-pequeno/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: cdrman http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11399 cdrman Thu, 23 Jul 2009 18:24:53 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11399 Alguno puede explicar el modo de resolver este problema? ME lo he mirado bastantes veces y no logro entender ningún razonamiento del post. gracias Alguno puede explicar el modo de resolver este problema? ME lo he mirado bastantes veces y no logro entender ningún razonamiento del post.

gracias

]]> By: Alberto Cid http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11398 Alberto Cid Wed, 15 Jul 2009 18:50:25 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11398 Yo lo hice igualito que Toro Sentado Yo lo hice igualito que Toro Sentado

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11397 Toro Sentado Wed, 15 Jul 2009 09:11:45 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11397 Casi me ha costado más escribir la demostración en Latex que pensarla. Saludos Casi me ha costado más escribir la demostración en Latex que pensarla.

Saludos

]]> By: Toro Sentado http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11396 Toro Sentado Wed, 15 Jul 2009 07:59:25 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11396 Ahí va la mía: $latex A = \frac {1}{2} \cdot \frac {3}{4} \cdot$ ... $latex \cdot \frac {2007}{2008}$ $latex B = \frac {2}{3} \cdot \frac {4}{5} \cdot$ ... $latex \cdot \frac {2008}{2009}$ Es evidente que: $latex 1) A < B$ $latex 2) A \cdot B = \frac {1}{2009} \longrightarrow A \cdot \sqrt {2009} \cdot B \cdot \sqrt {2009} = 1$ De 1) y 2) se deduce que: $latex A \cdot \sqrt {2009} < 1 < B \cdot \sqrt {2009}$ Ahí va la mía:

A = \frac {1}{2} \cdot \frac {3}{4} \cdot … \cdot \frac {2007}{2008}
B = \frac {2}{3} \cdot \frac {4}{5} \cdot … \cdot \frac {2008}{2009}

Es evidente que:
1) A < B
2) A \cdot B = \frac {1}{2009} \longrightarrow A \cdot \sqrt {2009} \cdot B \cdot \sqrt {2009} = 1

De 1) y 2) se deduce que:
A \cdot \sqrt {2009} < 1 < B \cdot \sqrt {2009}

]]> By: M http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11395 M Tue, 14 Jul 2009 15:57:57 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11395 Muy buena, JuanPablo. Con la aproximación de pi por 22/7 obtenemos que el producto pedido se aproxima a $latex \sqrt{7/11}$. Muy buena, JuanPablo. Con la aproximación de pi por 22/7 obtenemos que el producto pedido se aproxima a \sqrt{7/11}.

]]> By: JuanPablo http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11394 JuanPablo Tue, 14 Jul 2009 15:17:41 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11394 Mentalmente (sin calculadora, computadora, ni nada parecido) me da casi 7/9. Pista: Liberen a Wallis!! Mentalmente (sin calculadora, computadora, ni nada parecido) me da casi 7/9. Pista: Liberen a Wallis!!

]]> By: Producto pequeño | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo. http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11393 Producto pequeño | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo. Tue, 14 Jul 2009 12:07:02 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11393 [...] 14/07/2009 de javcasta Producto pequeño | Gaussianos. [...] [...] 14/07/2009 de javcasta Producto pequeño | Gaussianos. [...]

]]> By: M http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11392 M Tue, 14 Jul 2009 11:53:20 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11392 mimetist, hay un error en tu prueba. En el siguiente comentario la desigualdad no es correcta (de hecho esa cantidad es positiva). "tomando logaritmos en la parte derecha: $latex ln(2009) + 2008(ln(2007) - ln(2008)) < 0 = ln(1)$" Me da que has usado la propiedad a demostrar en la propia demostración. mimetist, hay un error en tu prueba. En el siguiente comentario la desigualdad no es correcta (de hecho esa cantidad es positiva).

“tomando logaritmos en la parte derecha:

ln(2009) + 2008(ln(2007) - ln(2008)) < 0 = ln(1)”

Me da que has usado la propiedad a demostrar en la propia demostración.

]]> By: Dani http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11391 Dani Tue, 14 Jul 2009 11:43:26 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11391 que buena manzano! sencilla y elegante y en apenas una linea :) "He hecho esta carta más larga de lo usual porque no tengo tiempo para hacer una más corta." Pascal que buena manzano! sencilla y elegante y en apenas una linea :)

“He hecho esta carta más larga de lo usual porque no tengo tiempo para hacer una más corta.”
Pascal

]]> By: juan2 http://gaussianos.com/producto-pequeno/#comment-11390 juan2 Tue, 14 Jul 2009 09:32:55 +0000 http://gaussianos.com/?p=1535#comment-11390 Por inducción: Sea $latex A_n = \frac{\prod_{j=0}^n 1+2j}{\prod_{k=0}^n 2+2j}$. Por demostrar que $latex A_n \sqrt{3+2n} \leq 1, \forall n$. Primero, el caso $latex n=0$. En este caso $latex A_n = \frac{1}{2}$ y $latex A_n \sqrt{3+2n} = \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 1$ Como hipótesis de inducción, supongamos que la propiedad es cierta para cierto $latex n$ y probamos que es cierta para $latex n+1$ $latex A_{n+1} \sqrt{3+2(n+1)} = \frac{\prod_{j=0}^{n+1} 1+2j}{\prod_{k=0}^{n+1} 2+2j} \sqrt{5+2n}$ $latex = A_n \frac{3+2n}{4+2n} \sqrt{5+2n} = A_n \sqrt{3+2n} \frac{\sqrt{3+2n} \sqrt{5+2n}}{4+2n}$ Por hipótesis de inducción $latex A_{n+1} \sqrt{3+2(n+1)} \leq \frac{\sqrt{3+2n}\sqrt{5+2n}}{4+2n}$ Esto último es menor que uno para todo $latex n$ y demostrarlo es sencillo. Con la propiedad demostrada para todo $latex n$, se escoge $n = 1003$ y se obtiene el resultado pedido. :) Por inducción:

Sea A_n = \frac{\prod_{j=0}^n 1+2j}{\prod_{k=0}^n 2+2j}. Por demostrar que A_n \sqrt{3+2n} \leq 1, \forall n.

Primero, el caso n=0. En este caso A_n = \frac{1}{2} y A_n \sqrt{3+2n} = \frac{\sqrt{3}}{2} \leq 1

Como hipótesis de inducción, supongamos que la propiedad es cierta para cierto n y probamos que es cierta para n+1

A_{n+1} \sqrt{3+2(n+1)} = \frac{\prod_{j=0}^{n+1} 1+2j}{\prod_{k=0}^{n+1} 2+2j} \sqrt{5+2n} = A_n \frac{3+2n}{4+2n} \sqrt{5+2n} = A_n \sqrt{3+2n} \frac{\sqrt{3+2n} \sqrt{5+2n}}{4+2n}

Por hipótesis de inducción

A_{n+1} \sqrt{3+2(n+1)} \leq \frac{\sqrt{3+2n}\sqrt{5+2n}}{4+2n}

Esto último es menor que uno para todo n y demostrarlo es sencillo.

Con la propiedad demostrada para todo n, se escoge $n = 1003$ y se obtiene el resultado pedido. :)

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