¿Sabía que…

…como promedio, el número de representaciones de un número entero positivo s como suma de dos cuadrados de números enteros (es decir, s=n^2+m^2 con n,m\in\mathbb{Z}) es \pi?

Al menos eso nos asegura Clifford A. Pickover en su libro Las matemáticas de Oz, que ya habréis visto en algún post y que probablemente veréis en alguno más.

¿Qué es eso del promedio? Muy sencillo:

  • {0}: Representaciones:1: 0=0^2+0^2
  • 1: Representaciones: 4: 1=1^2+0^2,1=(-1)^2+0^2,1=0^2+1^2,1=0^2+(-1)^2
  • 2: Representaciones: 4: 2=1^2+1^2,2=(-1)^2+1^2,2=1^2+(-1)^2,2=(-1)^2+(-1)^2
  • 3: Representaciones: 0

y así, respectivamente, el 4 tiene 4; el 5 tiene 8; el 6 tiene 0, el 7 tiene 0, el 8 tiene 4, el 9 tiene 4, el 10 tiene 8

El promedio para cada n se hace así: se suman las representaciones de cada número entre {0} y n y se divide el resultado entre n. Por ejemplo, para los números del {0} al 10 haríamos el siguiente cálculo:

\cfrac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer n ese promedio tiende a \pi.

No he podido encontrar más información sobre el asunto. Si alguien encuentra algo que me lo comunique. Lo que sí he podido encontrar es cómo saber cuántas representaciones hay en cada caso, ya que en principio uno no ve una forma sencilla de calcular cuántas representaciones tiene un número entero positivo cualquiera como suma de dos cuadrados. Pues hay una forma, no de calcular el número de representaciones para cada número sino el número total de representaciones de todos los números desde {0} hasta un cierto n (es decir, la suma que luego deberíamos dividir entre n). Ese número es el número de puntos de coordenadas enteras dentro de un círculo de radio \sqrt{n} según este post del blog de Juán de Mairena. Con este dato calcular esa suma de representaciones es mucho más sencillo.

Como podéis volver a ver, y como seguiréis viendo, el número \pi sigue apareciendo en los lugares más insospechados.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. Excelente post DiAmOnD y muy interesante el artículo que aparece en el blog de Juán de Mairena. ¡Imperdible la parte que habla de Gauss!

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  2. El número de representaciones de N > 0 como suma de 2 cuadrados es 4*(A-B), donde A es el número de divisores de N de la forma 4k+1, y B es el número de divisores de N de la forma 4k+3.

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  3. Vaya! Muy interesante la convergencia de los promedios. Mirando un poco por arriba en http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

    si r(n) es el número de representaciones de n como suma de cuadrados entonces también tenemos

    r(n)=\displaystyle{\sum_{d|n} sen\left(\cfrac{d\pi}{2}\right)}

    y también que

    \displaystyle{\sum_{0\leq n\leq N} r(n)}=N\pi+\sqrt{N}\cdot\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty}\cfrac{r(k)}{\sqrt{k}}\cdot J_1(2\pi\sqrt{kN})

    donde J_1 es la correspondiente función de Bessel de primera especie http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html

    Parece que por ahí van los tiros de una posible explicación de la aparición de \pi en esta historia.

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  4. \pi aparece, creo, porque el número de soluciones (a,b) de a^2 + b^2 \le n es el número de puntos de coordenadas enteras en el interior del círculo con centro en (0,0) y radio \sqrt{n}.

    Si asociamos a cada punto el cuadrado de area 1 del cual es esquina inferior derecha, por ejemplo, el número de soluciones es la suma de las áreas de esos cuadrados que es aproximadamente igual al area del circulo = \pi n.

    Mas o menos intuitivamente. El argumento se puede rigorizar…

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  5. Gracias Omar-P! En el post siguiente expliqué la cuenta, cómo se demuestra la fórmula más una cota del error (aquí)
    Dividiendo por n (o R en mi notación), se obtiene que el promedio va a pi.

    Saludos

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  6. La fuente clásica de este resultado es:
    “Introduction to Number Theory” de G.H. Hardy y E.M. Wright. Un teorema muy elegante y sorprendente para estudiantes que crean que sólo aparece π en el área del círculo o en el perímetro de la circunferencia.

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  7. La verdad es que ese libro es una joya, y muchas cuestiones planteadas en este blog se recogen en ese libro (estoy pensando, por ejemplo, en todas aquellas cuestiones que nos han conducido al 6/\pi^2: teoremas 331-333). El teorema 340 indica cómo generalizar esta cuestión a ecuaciones en “más dimensiones”: x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=a

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  8. Yo también lo veo como comenta fede. Concretamente, el problema me recuerda mucho al método Monte Carlo para estimar \pi. De hecho:

    – Tomemos el primer cuadrante de la circunferencia de radio \sqrt{n}. Salvo para el cero, todas las demás representaciones son múltiplos de 4 gracias a la simetría, por eso me quedo con un cuadrante (y luego multiplico el resultado por 4).

    – Dibujamos un cuadrado de radio \sqrt{n} donde el vértice inferior izquierdo está en el origen de coordenadas.

    – Dibujamos puntos en las coordenadas enteras dentro del cuadrado (y por lo tanto dentro del cuarto de la circunferencia). Esos n puntos dibujados representan el área del cuadrado (de aquí el parecido con el método Monte Carlo). Para n grande la cantidad de puntos dentro del arco son una aproximación cada vez mejor del área dentro del arco (\frac{1}{4} \pi \sqrt{n}^2 = \frac{1}{4} \pi n). Si dividimos esas áreas (esta división sería exactamente el cáculo que estamos haciendo para n infinito) obtenemos \frac{1}{4} \pi y multiplicando por 4 (los 4 cuadrantes) obtenemos \pi.

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  9. Donde digo “un cuadrado de radio \sqrt{n}” quería decir “un cuadrado de lado \sqrt{n}”.

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  10. Uno de esos lugares sorprendentes donde aparece el número pi, de forma totalmente insospechada es en los fractales. En la llamada Observación de Boll, se puede ver como, al calcular el conjunto de Mandelbrot, por cada factor de 10 que se aumenta cierta precisión, es necesario incrementar el número de iteraciones necesarias, y dicho número de iteraciones es la sucesión {3, 33, 315, 3143, 3147,…}.El número pi, pero no geometricamente sino en el número de iteraciones necesarias en un algoritmo.
    (Fuente : Peitgen “Chaos and Fractals”, Springer, pag 859). En la página de Boll:
    https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.html

    Saludos.

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  11. JuanPablo ha mostrado un gráfico sobre el tema: Véase el enlace del comentario realizado arriba, el 7 de febrero de 2008 a las 17:29.

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  12. Duda, hay 11 numeros en el numerador…

    Para hallar el promedio… ¿No deberia dividirse entre 11, y no entre 10?

    Un saludo

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  13. Pero el promedio está mal calculado: del 0 al 10 hay 11 números, no 10. Ahora bien, esta correción afina aún más el acercamiento a \pi.

    Por otra parte… ¿cómo salen las ocho soluciones de 10?
    10 = 1^2+3^2 más las variantes con signos me da 4.

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  14. Manuel: las constantes que sumemos en el numerador (en este caso el 1) son irrelevantes porque estamos calculando el límite cuando el denominador tiende a infinito. En cuanto a las soluciones del 10, además de considerar las cuatro variantes de (1,3) hay que considerar también las de (3,1). Fíjate si no en las representaciones del número 1.

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  15. el promedio, en el límite, da igual si se resta una cantidad fija al denominador: \dfrac{n}{n-a}\to 1.

    Las otras 4 soluciones se obtienen simplemente cambiando el orden de los sumandos

    10=1^2+3^2=3^2+1^2\ldots

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  16. Gracias por lo del número 10… creí que ya había considerado el cambio de orden.

    Estoy de acuerdo en que las constantes que se suman son irrelevantes cuando n \rightarrow \infty, pero el ejemplo se hace con un número finito. Yo lo cambiaría para no inducir a confusión.

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