ProofWiki, el wiki de las demostraciones matemáticas

PrrofWikiProofWiki es un compendio online de demostraciones matemáticas. El objetivo de este proyecto es recopilar la mayor cantidad de demostraciones matemáticas y agruparlas bajo los distintos temas a los que pertenecen para que puedan consultarse con mayor comodidad.

En ProofWiki podemos encontrar definiciones (poco más de 3000 hasta el momento de escribir este post) y demostraciones (casi 4000 en el momento en que se escribe esta entrada). Respecto a estas últimas, las hay correspondientes a una gran cantidad de temas: Análisis, Teoría de Números, Teoría de Conjuntos, Topología

Por poner algunos ejemplos, podemos encontrar demostraciones del teorema del punto fijo de Banach, del pequeño teorema de Fermat, de la paradoja de Banach-Tarski (de la que hablamos por aquí hace ya un tiempo) o del teorema de Bayes. Bueno, y muchas más. Y al estar montado en un wiki, podemos crearnos una cuenta y participar en la elaboración de este catálogo de demostraciones. Si alguien se anima a ello estaría bien que nos lo contara en los comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Soy yo únicamente o a alguien más le da problemas el latex de la página? Sólo veo el código fuente, no veo la fórmula en latex.

    Tendré que instalar algún plugin? Mi navegador es el Google Chrome

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  2. tonibueno, a mí me va perfectamente. Yo creo que no tienes que instalar nada, pero no estoy seguro. Ah, también utilizo Google Chrome.

    ¿A alguien más le pasa?

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  3. Pues, yo estaba pensando en escribir un artículo para mi blog sobre cómo deducir la función exponencial, a través de cálculo diferencial y expansión de serie de potencias.

    Así que, podría ser que después suba el artículo a la web. Pero me parece muy interesante un proyecto de esta magnitud… sería mucho más fácil para consultar. Sobre todo cuando uno no posee una buena cantidad de libros en su biblioteca personal 😛

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  4. Yo participaré como Sheldonspock, que es mi otro nick además de Fractalon (sí me gustan mucho TBBT y Futurama, soy un friki).

    Tengo una duda legal que no sé si alguien de este blog me podrá resolver. Yo poseo una gran cantidad de libros y revistas matemáticas en formato PDF porque estoy suscrito a una gran cantidad de colecciones y publicaciones; algunas demostraciones serán fruto de mi propio trabajo y procedentes de mi tesis doctoral, pero me pregunto si puedo legalmente aprovechar la gran cantidad de demostraciones de teoremas que tengo en mi poder copiándolas de los libros y publicaciones que poseo y que he adquirido legalmente. Es decir, ¿puedo copiar esa parte del libro? ¿Dónde está el límite de copia?

    Yo personalmente creo que debería poder copiar las demostraciones puesto que son bien de interés científico y deberían poder estar a disposición de todos los investigadores para que cualquiera de nosotros pueda usar los teoremas y las demostraciones en su investigación y así ayudar al avance científico de la humanidad; no debería poder copiar aquella parte del texto que no pueda ser considerada de interés científico como, por ejemplo, los párrafos aclaratorios. Me surge la duda porque cualquier escritor podría decir lo mismo (con carácter cultural en vez de científico, aunque es lo mismo: la ciencia es cultura) de los libros de Arturo Pérez-Reverte y creo que éste (y la SGAE) no estaría en absoluto de acuerdo con el razonamiento del otro. De ahí me surge una contradicción ético-legal que, espero, alguien me pueda resolver.

    Me gustaría personalmente poder publicar todos los teoremas y demostraciones que poseo para ponerlos al alcance de todos, pero no sé hasta qué punto me está permitido hacerlo.

    Espero una respuesta para comenzar a publicar, no vaya a ser que me tome el trabajo de copiar alguna demostración y me la borren porque es propiedad intelectual de alguien y tiene derechos de autor.

    Muchas gracias.

    Un saludo.

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  5. Es excelente la pagina, hace poco consulte unas demosraciones de las propiedades de la funcion Gamma, y las explicaciones son muy claras. Se podria armar un gran apunte mirando un poco sus hojas. Y, sin duda, cuando no encuentre una demostracion la subiré con alguna ayuda de los libros que tengo, como bien dice Fractalon. Sería interesante subir una demostracion del Rey Pastor sobre el area debajo de e^(-x^2) hecha con la Formula de Wallis y las areas debajo de (1-x^2)^n de 0 a 1 y 1/(1+x^2)^n de 0 a infinito.
    UNA PISTA: Reemplazar en la primer sin(x) o cos(x) y en la segunda tan(x), y obtener un resultado en factoriales dobles.

    Extra: hay una demostracion, tambien con la Formula de Wallis, sobre la Fórmula de Stirling, y MUY simple de hecho. Si a Diamond le interesa, se la envio para que la suba.

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  6. Acá va:

       1 - {x^2} < {e^{ - {x^2}}} < \frac{1}{{1 + {x^2}}} \\   {\left( {1 - {x^2}} \right)^n} < {e^{ - n{x^2}}} < \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}} \\   \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}dx}  < \int\limits_0^\infty  {{e^{ - n{x^2}}}dx}  < \int\limits_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}}}  \\   \frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n + 1} \right)!!}} < \frac{1}{{\sqrt n }}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  < \frac{{\left( {2n - 3} \right)!!}}{{\left( {2n - 2} \right)!!}}\frac{\pi }{2} \\   \frac{n}{{2n + 1}}\frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n - 1} \right)!!}}\frac{1}{{\sqrt n }} < \int\limits_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  < \sqrt n \frac{{2n - 2}}{{2n - 3}}\frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{\left( {2n} \right)!!}}\frac{\pi }{2} \\   \frac{1}{2}\sqrt \pi   < \int\limits_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  < \frac{1}{{\sqrt \pi  }}\frac{\pi }{2} \\   \frac{\sqrt \pi}{2}   < \int\limits_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  < \frac{{\sqrt \pi  }}{2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2} \\

    Recordemos que la formula de Wallis es, o al menos una de sus versiones es:
      \pi =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ \frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!} \right]}^{2}}\frac{1}{n}

    Por lo que
    \sqrt{\pi }=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\left( 2n \right)!!}{\left( 2n-1 \right)!!} \right]\frac{1}{\sqrt{n}}

    Que es lo que se usa en la demostracion. Ademas se usa que

      \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{m}}\phi d\phi =\left\{ \begin{cases}    \frac{\left( m-1 \right)!!}{m!!}\Leftrightarrow m=2n+1 \\    \frac{\left( m-1 \right)!!}{m!!}\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow m=2n \\  \end{cases} \right.}

    No se como sacar la doble llave.

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  7. Hola Pedro T. , una pequeña pregunta: en la línea 4 de la demostración, cómo obtienes

    \frac {1}{\sqrt{n}}\int_0^{+\infty}e^{-x^2} \:dx ? A lo sumo llego a esto:

    \int_0^\infty e^{-nx^2} \:dx = \frac{1}{2}\ n^{-\frac{1}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)

    Gracias!

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  8. Cambio de variable,  x=\sqrt{n}x'

    Se conserva el nombre por cuestiones de comodidad, ya que el nombre de la variable no nos afecta el resultado.

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  9. Igualmente, fijate que   \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)   equivale a
     2 \int\limits_{0}^{\infty }{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx} , por lo que lo tuyo no esta mal, en realidad, significa lo mismo, solo habria que darse cuenta de como hacer los cambios de variable para que quede asi.

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  10. Miguel Rey from Spain, i demostrated to the albert Girard´s Conjecture
    email: miguelangelreybonet@yahoo.es

    First of all i apologize for my poor English.
    Hi, the esential specifications are… (everything is demostrated):

    1. if p=1 (mod 4) then c= – 1
    if p=3 (mod 8) then c= – 2
    if p=7 (mod 8) then c= +2
    then with p odd number and p>0
    then:

    2 if p is prime (irreductible of Z) then b exist in (1,p-1) / b^2= c (mod p)
    (ONLY exist +- b)
    then: p= x^2 – c*y^2 and not exist x´ and y´/ p not= x¨^2 -c*y^2
    (x odd number always and: y pair if p=1 (mod 4) & y odd if p = 3 (mod 4) )

    3 if p is not prime (not irreductible of Z) then

    3.1. not exist p=x^2 – c*y^2
    3.2. exist p=x^2 – c*y^2=x´^2 – c*y´^2=…..=x´´´´^2 – c*y´´´´^2=…. (with limit)
    and exist b1,b2,b3,….,bn / ni^2=c (mod p)
    3.3. exist p=x^2 – c*y^2 not exist x´, y´,…,x´´´´,y´´´´,…..
    then p = q^2 (not prime)
    OR not exist b / in Z/p: x^2=c*y^2 (mod p) <=>
    x = +- b*y (mod p) / (b^2) not= c (mod p) not exist m in (1,p-1) /
    m^2 not=c (mod p)
    (P.S: not = "means not congruent)

    4 finally
    p is prime (irreductible of Z)
    only if: p= x^2 – c*y^2=f1(p) and p not=f2(p)
    with f2(p)= x´^2 – c*y´^2 and x not= x´
    AND in Z/p x = +- b*y (mod p) AND (+-b)^2=c (mod p)
    with c = -1 if p=1 (mod 4)
    c = -2 if p=3 (mod 8)
    c = +2 if p=7 (mod 8)

    I can’t wait for your answers. thank you.

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  11. Ayudaaaaaaaaaaaaaaaaa
    topología…
    de conjuntos ina(AxB)=int(A)x int(B)

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