Puntos de una circunferencia

Un problema facilito para esta semana, que en vacaciones cuesta más pensar:

Sea $P$ un conjunto de puntos del plano tales que por cada cuatro puntos de $P$ pasa una circunferencia. Demostrar que todos los puntos de $P$ pertenecen a la misma circunferencia.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de December de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Trackback | 30 Dec, 2008

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Jorge | 30 de December de 2008 | 09:26

Si P tiene 3 puntos (no alineados), por ellos pasa una única circunferencia. Al añadir el cuarto punto, para cumplir la condición de estar en P no le queda más remedio que estar en la misma circunferencia anterior. Etc.
Jorge | 30 de December de 2008 | 09:50

Sea Q el conjunto de puntos del planos tales que por cada 3 puntos pasa una recta. Entonces, todos los puntos están en la misma recta.
Tito Eliatron | 30 de December de 2008 | 12:47

Coincido con jorge. Al estar sobredimensionado el problema de la circunferencia (y la recta), todo debe ser una circunferencia.

Supongo que lo mismo ocurriría si tomamos el espacio ${\Bbb R}^n$ y tomamos un conjunto $H$ tal que dados $n+1$ puntos cualesquiera de $H$ son todos co-hiperplanarios.

Enhorabuena, magnífico post.
Tobar | 30 de December de 2008 | 15:59

$x^{2}+y^{2}=4$

$r^{2}=\frac {d^{2}}{2^{2}}=\frac {4(puntos)^{2}}{4}=4(puntos)=r^{2}, r=2(puntos)$

claro esta, sin tener sistema de referencia fijo.

asi pues, he tomado el conjunto $P$ en forma alineada y horizontal, con distribucion en proporciones iguales, luego cada conjunto $Po$ antes de la circunferencia de la misma hara parte de esa circunferencia de $d=4(puntos)$ , luego todo el conjunto tambien sera parte de una circunferencia que los reune a todos, pues sus partes lo son. asi lo infiero e imagino.
Gato_Iturralde | 30 de December de 2008 | 19:54

No se si estoy un poco aturdido por las fiestas y borracheras navideñas, pero parece realmente sencillo y no creo que requiera ninguna fórmula ni cálculo matemático para resolverlo.

Tres puntos definen una circunferencia en un plano, como el enunciado dice que cada 4 puntos pasa una circunferencia podemos coger todos los subconjuntos de 4 puntos que incluyan a 3 de ellos fijados previamente que definen una circunferencia, con lo que cada uno de los otros puntos también está en esa circunferencia.
^DiAmOnD^ | 30 de December de 2008 | 23:13

Sí, era fácil. Algún problema relativamente asequible tenía que poner, ¿no?