Puntos en una hipérbola

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

En la hipérbola xy=1 se consideran cuatro puntos con primeras coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4. Demostrar que si los cuatro puntos están en una circunferencia entonces x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4=1.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Sea x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 la ecuación de la circunferencia. Sustituyendo en ella y = 1/x, para buscar los puntos en que corta a la huipérbola,

    x^2 + 1/x^2 + Ax + B/x + C = 0

    Multiplicando la ecuación por x^2, sin problemas, puesto que x = 0 no es una raíz,

    x^4 + Ax^3 + Cx^2 + Bx + 1 = 0

    Entonces, el producto de las cuatro raíces es 1. Naturalmente, para las coordenadas y de los cuatro puntos, ocurre lo mismo.

    Además, la suma de las x es -A, el doble de la coordenada x del centro, asi como el de las y es – B.

    En A coruña, festejando a San Juan con sol, casi por primera vez en el año …

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  2. No se si mi demostracion esta bien, asi que la pongo.

    Dado que no nos piden ninguna restriccion de circumferencia, cogemos una centrada en el origen y de radio mayor a uno. Esta cortara la hiperbola en 4 puntos, dos en el primer cuadrante (x1, x2) y luego 2 en el tercer cuadrante (x3, x4). Dada la simetria de signos, x1x2x3x4=x1x2(-x1)(-x2)=(x1x2)^2, por lo que solo nos haria falta ver x1x2=1. Entonces, simplemente al hacer x1=1/x2, cumple que los puntos estan en la circumferencia, en la hiperbola y ademas su producto es igual a 1.

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  3. Nogrod: precisamente porque no te dan ninguna restricción para la circunferencia no debes restringirla tu. se trata de probar que si los cuatro puntos están en una misma circunferencia cualquiera, el producto de las cuatro abscisas es 1.

    Yo lo hice utilizando las relaciones de cardano-Vieta entre los coeficientes y las raíces de una ecuación polinómica. Concretamente que si la ecuación es mónica, como la que resulta despues de sustituir y = 1/x y multiplicar por x^2, que tiene coeficiente principal igual a 1, el término independiente es igual al producto de las raíces, con el mismo signo si el grado de la ecuación es par, y con signo contrario si es impar, y que se demuestra de forma directa.

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  4. Realmente, el enunciado del problema podría ser más fuerte. El hecho de que los puntos elegidos sean concíclicos no sólamente implica que el producto de las primeras coordenadas sea 1, sino que la implicación contraria también es cierta (y por tanto es una equivalencia). Ignacio Larrosa ha probado la implicación que pedía el enunciado. Yo, utilizando todo lo que él ha expuesto, y cambiando alguna cosilla de sitio hago la equivalencia. Realmente, es casi lo mismo que la anterior demostración.

    Lo que vamos a probar es: En la hipérbola xy=1 se consideran cuatro puntos distintos con primeras coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4 . Demostrar que se verifica x_1x_2x_3x_4=1 si y solo si los cuatro puntos de la hipérbola son concíclicos.

    Al igual que Ignacio, partimos de una circunferencia, pero en este caso de la que pasa por tres de los cuatro puntos de la hipérbola de los que habla el enunciado (como en una hipérbola no hay tres puntos alineados, existe y es única).

    Sea la circunferencia descrita: x^2+y^2+Ax+By+C=0 y la intersecamos con la hipérbola haciendo y=1/x (que está bien definido). Obtenemos que un punto de la hipérbola está en la circunferencia si y solo si:

    x^2+(1/x)^2+Ax+B(1/x)+C=0 y multiplicamos por x^2 ya que x=0 no es solución del problema.

    Obtenemos que las primeras coordenadas de los puntos comunes a la hipérbola y la circunferencia son precisamente las raíces de:

    x^4+Ax^3+Cx^2+Bx+1 polinomio mónico que, por construcción tiene de raíces, x_1,x_2,x_3 y que por tanto factoriza de modo único como (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-a) .

    Por la igualdad de los polinomios anteriores (aplicándola al término independiente) se sigue que la condición de que a sea raiz (y por tanto sea la primera coordenada de un punto común a la hipérbola y la circunferencia) equivale a x_1x_2x_3a=1 , es decir ambas condiciones son equivalentes.

    Por tanto (a,1/a) (punto de la hipérbola por verificar la ecuación) será concíclico con los otros tres si y solo si x_1x_2x_3a=1
    Gracias por leer.

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  5. Excelente demostracion, Daniel Cao. Yo lo resolvi de forma menos eficaz que la tuya, empleando geometria analitica. El cuadrilatero tiene vertices de coordenadas (x1,1/x1);(x2,1/x2);(x3,1/x3) y (x4,1/x4). Si es ciclico, el angulo 132 es igual al angulo 142.

    La pendiente del segmento 13 se calcula dela siguiente manera:

    m13=(1/x3-1/x1)/(x3-x1)=-1/(x1x3)

    De la misma forma,

    m23=-1/(x2x3), m14=-1/(x1x4) y m24=-1/(x2x4)

    Entonces tenemos que Tg132=Tg142

    (m13-m23)/(1+m13m23)=(m14-m24)/(1+m14m24)

    (-1/(x1x3)+1/(x2x3))/(1+1/(x1x2)x3^2)=(-1/(x1x4)+1/(x2x4))/(1+1/(x1x2)x4^2)

    ((x1-x2)/x1x2x3)/((x1x2x3^2+1)/(x1x2x3^2))=((x1-x2)/x1x2x4)/((x1x2x4^2+1)/(x1x2x4^2))

    x3/(x1x2x3^2+1)=x4/(1+x1x2x4^2)
    x3(1+x1x2x4^2)=x4(x1x2x3^2+1)
    x3+x1x2x3x4^2=x4+x1x2x3^2×4
    x3-x4=x1x2x3^2×4-x1x2x3x4^2
    x3-x4=x1x2x3x4(x3-x4)
    1=x1x2x3x4

    Gracias por leer

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  6. PREGUNTA: ¿Hay un enunciado paralelo en los ejes coordenados para las correspondientes abscisas y ordenadas en cada caso, que haga uso de la relación anarmónica? ¿Sí o no? Me gustaría, particularmente, saber tu respuesta, Daniel Cao.

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  7. Siendo sincero no tenía ni idea de lo que era la relación anarmónica hasta este momento. Por lo que he leído debe ser esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-ratio

    He decidido hacer unos test con el software R:

    z1=0.5
    z2=1
    z3=7
    z4=1/(z1*z2*z3)
    z=(z1-z3)*(z2-z4)/((z2-z3)*(z1-z4))
    print(z)

    He visto que varía en función del z1,z2,z3 (distintos todos de 0 y distintos entre sí) que introduzcas (el z4 se calcula automáticamente para que verifique la propiedad z1*z2*z3*z4=1). Puedes probar a modificarlo e ir viendo como varía.

    En resumen, si he interpretado bien tu pregunta (que al no conocer de esto puedo haberme equivocado con facilidad), no veo que lo denotado por z (en el programa R) se mantenga constante. Otra cosa es que verifique ciertas propiedades. Voy a mirarlo aunque a priori no se me ocurre ninguna. Si veo algo interesante comento.

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  8. Hola Daniel Cao: Consulta en Google “rapport anharmonique” y lo primero que aparecerá es una lección clarísima sobre esta geométrica definición involucrando 4 puntos colineales. No me extrañaría que variando las circunferencias de este problema, las relaciónes anarmónicas correspondientes permanezcan constantes en ambos ejes o que haya alguna propiedad digna de atención. Y si no la detectas habrás aprendido bien una noción importante. Si no sabes francés, puedes leer sin dificultad la lección que te menciono, es de fácil traducción. ¡Bon courage!

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  9. Intersectando la hipérbola xy=1 con una circunferencia arbitraria x^2+y^2=r^2, llegué que r>ó=a la raíz de 2.

    Si r=a la raíz de 2 la hipérbola es tangente a la circunferencia en los puntos (1,1) y (-1,-1).

    Si r>a la raíz de 2 la hipérbola intersecta a la circunferencia en cuatro puntos (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4).

    y=f(x)=1/x f es impar ya que f(-x)=1/-x=-(1/x)=-f(x).

    x3=-x1 x4=-x2 entonces

    x1.x2.x3.x4=x1.x2.(-x1).(-x2)=x1^2.x2^2=(x1.x2)^2

    La hipérbola Y=1/x es simétrica con respecto a la recta y=x.

    Por lo tanto, x2=y1=1/x1.

    Por lo tanto, (x1.x2)^2=(x1.(1/x1))^2=1 (LQQD)

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  10. Se demuestra fácilmente que la misma condición se cumple para las coordenadas y:

    x1*x2*x3*x4=1
    multiplico los dos términos por y1,y2,y3 e y4 y tengo:

    x1*y1*x2*y2*x3*y3*x4*y4 = y1*y2*y3*y4 y simplificando a la izda xi*yi = 1:

    1 = y1*y2*y3*y4

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  11. LUIS ALFONSO CONTRERAS

    Correcto lo que indicas, pero todas tus circunferencias tienen de centro (0,0) y el enunciado es mas general

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  12. Si hayamos gráficamente las asíntotas, nos damos cuenta de que esas asíntotas se consiguen gracias a una circunferencia que pasa por los focos de la hipérbola y tiene como centro el punto medio del eje real… El caso es que si hacemos una homotecia al infinito obtenemos el pinto de corte de las asíntotas con la circunferencia y con la propia hipérbola. Por lo tanto los puntos de corte de la hipérbola con sus asíntotas se encuentran en el infinito pero la distancia tiene que ser la misma puesto que en la ecuación x.y=1 la hipérbola es simétrica. Estos puntos además de estar en el infinito, forman un rectángulo homotético al de las asíntotas que es circuncribible en una circunferencia puesto que el inicial lo está. Todo esto resuelto desde un punto de vista geométrico y de dibujo técnico y sabiendo que es simétrica, puesto que si pierde simetría la forma sería distinta.

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