Puntos primitivos (y un EXTRA)

El problema de esta semana es el último problema de la pasada Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebrada en Río de Janeiro el pasado mes de julio. Ahí va:

Un par ordenado (x,y) de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de x e y es 1.

Dado un conjunto finito S de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo n y enteros a_0,a_1, \ldots, a_n tales que, para cada (x,y) \in S, se cumple que:

a_ox^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+ \ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1

A por él.

Extra:

El otro día compartí en la página de Facebook de Gaussianos un post en el que hablan sobre los entresijos de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Os recomiendo que le echéis un vistazo, es interesante: Más detalles de la Olimpiada Internacional de Matemáticas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Trataría de probar primero que para cualquier (x, y) primitivos existen a y b tales que ax+by=1. Luego que si a1x1+b1y1=1 y s2x2+b2y2=1 se pueden derivar a y b tales que ax1+by1=ax2+by2=1.
    Con eso ya estaría, ya que (ax+by)^n=1

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    • Sí, Bezout se puede usar sin demostración. Y lo segundo es imposible, pero seguro que Alejandro ya se ha dado cuenta de eso.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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