¿Qué es un radián?

El pasado mes de mayo de 2014, durante el evento que sirvió como celebración del 50 aniversario de los estudios de Matemáticas en la Universidad de Granada, Juan Medina (uno de los integrantes de la mesa sobre Matemáticas y Redes Sociales que tuve el honor de moderar) habló durante su intervención (por cierto, aquí tenéis la presentación que usó) sobre algunas de las cuestiones que le motivaron a crear su plataforma de vídeos. Entre ellas en mi mente quedó concretamente una, que me pareció bastante interesante y que es la que titula este post: ¿qué es un radián? Juan la citaba en el contexto de que los alumnos aprenden a hacer los ejercicios “tipo” y memorizan ciertas cuestiones (como el tema de los radianes), pero tienen carencias al manejar los propios conceptos (de hecho en ocasiones ni los conocen).

Como esa cuestión concreta se me quedó grabada, y aunque es muy probable que muchos de vosotros sepáis la respuesta, creo que puede interesar hablar un poco sobre él, sobre el radián.

El radián, al igual que el grado sexagesimal, es una unidad de medida de ángulos (de hecho es la medida de ángulo plano del Sistema Internacional de Medidas (como podéis comprobar en la página 118 de este pdf). Es decir, igual que podemos medir longitudes con metros o masas con gramos también podemos medir ángulos con radianes, expresándolo en ese caso con rad o sin nada. Por cierto, la aparición del radián data del último tercio del siglo XIX, y parece que el primero que lo utilizó fue James Thompson, ingeniero y físico hermano de Lord Kelvin. (Fuente: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.)

Pero volvamos a hacernos la pregunta principal de esta entrada: ¿qué es exactamente un radián? Aquí tenéis su definición:

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

Es decir, si nuestra circunferencia tiene radio R, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud R:

Bien, ya que sabemos qué es un radián vamos a relacionarlo con la otra unidad de medida de ángulos que conocemos: el grado sexagesimal (o simplemente grado). La equivalencia entre estas dos medidas es la siguiente:

180^\circ=\pi \, rad

Por tanto, un radián corresponde a, aproximadamente, 57.295^\circ.

Siguiendo con esto, ¿qué pinta aquí, de nuevo, el número \pi? Veamos. En general, la medida en radianes de un ángulo en una circunferencia es igual a la longitud del arco que abarca dividida entre el radio de dicha circunferencia:

\theta _{rad}=\cfrac{Longitud \; del \; arco}{R}

Si tomamos una semicircunferencia, cuya longitud es \pi R (como todos deberíamos saber), entonces tenemos lo siguiente:

\theta _{semicircunferencia}=\cfrac{\pi R}{R}=\pi

Como sabemos que una semicircunferencia corresponde a un ángulo de 180^\circ ya tenemos nuestra relación: 180^\circ=\pi.

Por tanto, a una circunferencia completa, que sabemos que abarca 360^\circ, le corresponden 2 \pi radianes. Esto es evidente a partir de lo comentado anteriormente, aunque es mucho más mejor verlo en este delicioso gif que encontré aquí (donde, por cierto, aparecen más gifs interesantes sobre matemáticas):

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

Seguimos con más preguntas: ¿por qué cuando usamos funciones trigonométricas en cálculo solemos trabajar con radianes? Pues muy sencillo: porque las expresiones de muchos resultados quedan mucho mejor si trabajamos en radianes. Como dicen en la página de la Wikipedia en inglés dedicada al radián:

Los radianes poseen una “naturalidad” matemática que lleva a una formulación más elegante de unos cuantos resultados importantes.

Por ejemplo, si expresamos \theta en radianes conservamos este bonito límite:

\displaystyle{\lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen(\theta)}{\theta}=1}

O también la preciosidad de serie de Taylor a la que es igual la propia función sen(x):

sen(x)=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+ \ldots


Bueno, pues ya sabemos lo que es un radián y la forma de convertir radianes en grados y viceversa. Por tanto ya sabemos expresar en radianes ciertos ángulos que suelen aparecernos en grados en muchas ocasiones, como pueden ser 30^\circ, 60^\circ ó 90^\circ. Creo que entonces es el momento de recordar cómo calcular las razones trigonométricas de algunos de estos ángulos del primer cuadrante y también cómo usar esa información para calcular dichas razones trigonométricas para algunos ángulos importantes del resto de cuadrantes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Supongo yo que, esa “naturalidad”, citada en el artículo de la Wikipedia en inglés, viene del hecho de que la longitud del arco de circunferencia es proporcional al ángulo en sí por un lado, y al radio por otro:

     l \propto \varphi r

    Y dado que la expresión de la longitud de la circunferencia es 2 \pi r, ¿qué mejor que, en esta última expresión, identificar 2\pi como el ángulo \varphi de la expresión de arriba? Y así no tener que introducir un factor de conversión adicional y, a la vista de esto, completamente innecesario.

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  2. Muy bueno. Y el gif extraordinario.
    ¿Tenéis alguna entrada que explique el concepto Determinante de una matriz y sus usos?

    Gracias.

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  3. El radián tendría más naturalidad matemática si se usara Tau (=2Pi) en lugar de Pi, puesto que, por ejemplo: “1/2Tau rad”=”1/2 circunferencia”=”1/2 vuelta”; es decir, la fracción de los radianes sería la misma que la fracción de circunferencia recorrida por el ángulo. Pero con Pi estamos hablando de las fracciones de la mitad de algo, y esto conlleva a hacer de los radianes un tema abstruso para muchos.

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  4. Y sin embargo, otras expresiones son más sencillas con \pi que con \tau. Por ejemplo, nuestra vieja amiga e^{i\pi}+1=0.

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  5. Me gusta este tema, ya que el radian es una unidad de medida que se emplea mucho en las Ciencias Físicas al pasar de \frac{2\pi\\ {rad}}{seg} a r.p.m (revoluciones por minuto), y de ahí saber la velocidad.
    Os dejo un enlace que lo explica mucho mejor:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Revoluci%C3%B3n_por_minuto
    Dedicado a esos físicos que nos enseñaron a pensar como resolver problemas físicos, desde lo más simple hasta lo que cada uno da de sí.
    Un cordial saludo

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  6. Dado Tau=6,28… y Pi=Tau/2, la expesión “e^{i\cdot Tau}=1” es más sencilla que “e^{i\cdot Pi}=-1” (véase el “-“). La manera popular de expresar la identidad de Euler (“e^{i\pi }+1=0“) se debe en realidad a un capricho estético de los matemáticos, que introduce unos pasos de más, convirtiendo al “horrible número negativo” en un número positivo. (Este comentario es una réplica al comentario del señor krollspell)

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  7. Apreciado Derkcopyleft, también soy fan de  \Tau , pero creo que en este caso no es un capricho la expresión con el uno positivo. Más bien se trata de incluir al cero para que aparezcan los cinco números más importantes relacionados de una forma sencilla; así, además de la base de los logaritmos naturales, pi y la “unidad” de los imaginarios, también tenemos a los neutros de las operaciones fundamentales: El uno para el producto y el cero para la suma.

    Saludos.

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  8. Más de “Tau versus Pi”. Deducción de la Identidad de Euler a partir de la Fórmula de Euler:

    1. Con Tau=6,28…=c/(r); “6” y “28” son los primeros números perfectos; véase tauday.com :
    a) e^{i x} = \cos x + i\,\sin x
    b) e^{i Tau} = \cos Tau + i\,\sin Tau
    c) e^{i Tau} = \ 1 + i\,\ 0
    d) e^{i Tau} = \ 1 + 0

    2. Con Pi=Tau/2=c/(2r); “d” siempre desterrado:
    a) e^{i x} = \cos x + i\,\sin x
    b) e^{i Pi} = \cos Pi + i\,\sin Pi
    c) e^{i Pi} = \ -1 + i\,\ 0
    d) e^{i Pi} = \ -1 + 0

    Este es el curso natural de estas expresiones. Pero Pi (con “P” de “parásito”; Parásito del 2) conduce a encontrarnos con un “-1” que no quieren que veamos. Entonces incluyen un nuevo paso, pero innecesario para relacionar los cinco elementos matemáticos:

    e) e^{i Pi} + 1 = 0

    Por lo tanto, el “0” se incluye de manera sencilla sin incluir despejes maquilladores de mediocre estética. (esta es una respuesta a AleHerEDU).

    Y si de relacionar elementos majestuosos se trata, ¿qué me dicen de la siguiente expresión?:
    Phi=\frac{e^{iTau}+\sqrt{5}}{2}=1,618…

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  9. Honestamente no creo que eso del Tau pegue, es como una moda hipster: No está mal pero realmente no hay un argumento real para cambiar. Suerte a los seguidores del Tau… yo mientras seguiré usando Pi cuando doy clases, nada más porque me gusta más.

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    • mi duda es si es una unidad de medida, ¿como entender por ejemplo una expresión tipo x + sen x, cuando el sen x no tiene unidad y x si (en radianes)?
      En grados sexagesimales la veo absurda, pero en radianes tampoco la veo bien. Podríais ayudarme?

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      • Radianes no es una unidad. Es un número real más al que se le pone un nombre para que que pienses en él como ángulo.
        Piensa en la definición de radian: es un arco de circunferencia de longitud igual al radio dividido por la longitud del radio. O sea m/m ó cm/cm ó km/km …
        ¿ves como el radián no es una unidad de nada sino un simple número real?
        Saludos.

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