¿Qué poliedro regular es más “esférico”?

Pues eso: si tuvieras que elegir uno de los cinco poliedros regulares como el más “esférico” (el más “cercano” a una esfera)

(Fuente)

¿cuál elegirías? Mientras lo piensas vamos a contar algunas cosas.

En principio parece una cuestión sencilla…o quizás no tanto. Como al estudiar ciertas situaciones en matemáticas puede ser conveniente irse a casos más simples vamos a hacerlo ahora también, a ver si esto nos ayuda.

Vayámonos a dos dimensiones. ¿Cuál es el polígono regular más “circular”? Aquí la respuesta es sencilla, ¿no? Un polígono regular se va haciendo más “circular” conforme aumenta su número de lados. Es decir, si tomamos dos polígonos regulares con cantidades de lados distintas y dibujamos la circunferencia inscrita y la circunscrita de cada uno de ellos parece claro que el polígono que tenga más lados de los dos rellena más la circunscrita y es más rellenado por la inscrita, convirtiéndose así en el más “circular” de los dos. De hecho en ello se basa un famoso método de aproximación del número pi.

Pero en tres dimensiones la situación no es exactamente igual, ya que mientras que hay infinitos polígonos regulares solamente tenemos cinco poliedros regulares. ¿Cuál será ahora el más “esférico”? ¿El de más aristas? ¿El de más caras? ¿Quizás el de más vértices?

Bien, como creo que ya os he dejado tiempo para pensarlo os digo la respuesta: depende.

¿Depende? Sí, depende. Veamos por qué. Supongamos que consideramos que el poliedro regular más esférico es el que cumple que tiene menor volumen respecto de su esfera inscrita, que supondremos de radio 1 (es decir, el poliedro regular que excede en menor cantidad el volumen de su esfera inscrita). En ese caso el poliedro regular más esférico es el icosaedro. En la siguiente tabla podemos ver varios datos, entre los que se encuentra el volumen de cada uno de los poliedros regulares en esta situación:

Vemos que es el icosaedro el que tiene menor volumen en este caso.

Cambiemos ahora de interpretación. Supongamos ahora que para nosotros el poliedro regular más esférico es el que cumple que tiene mayor volumen respecto de su esfera circunscrita, que supondremos también de radio 1 (esto es, el poliedro regular que rellena mayor cantidad de su esfera circunscrita). Seguro que muchos habéis pensado que también sería el icosaedro en este caso, pero en realidad es el dodecaedro. Los datos los encontramos en la tabla siguiente:

Cuanto menos curioso que el dodecaedro gane en este caso.

De todas formas, al final parece que el icosaedro toma ventaja. Si calculamos los volúmenes de cada uno de los cinco poliedros regulares para superficie fija igual a 1 obtenemos los valores de la siguiente tabla:

En ella podemos ver que el icosaedro es el que tiene mayor volumen en esta situación, por lo que en este sentido podríamos decir que es el más esférico, por lo que se acabaría alzando con la victoria en esta hipotética confrontación con el dodecaedro.

Y por añadir una razón más, el considerado mundialmente como “el esférico”, el balón de fútbol, se inspira en un icosaedro truncado, poliedro que se obtiene truncando todos los vértices del icosaedro:

(Fuente)

¿Cuál habíais pensado vosotros en un principio? ¿Se os ocurren más formas de determinar cuál de estos poliedros regulares es el más esférico? Los comentarios son vuestros.


La idea del post y las imágenes con las tablas están sacadas de Which Platonic Solid is Most-Spherical?, de Pat’s Blog.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

45 Comentarios

  1. Como antiguo jugador de rol, mi impresión es que el poliedro más esférico es el dodecaedro. El motivo es que el dado de 12 caras tiene más tendencia a rodar que el de 20 caras: tarda más en detenerse cuando lo tiras.
    Vale, vale, es una frikez anticientífica, pero eh! 😀 😀 😀 😀

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  2. Yo pensé que el más esférico sería el que tuviera más próximas sus circunferencias inscrita y circunscrita. Si el radio de su circunferencia inscrita es 1, el que tenga la menor circunferencia circunscrita.

    Voy a calcular cual sería.

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  3. Mi criterio da un empate entre el dodecaedro y el icosaedro, en ambos la relación entre radios es 1,2584.

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  4. Otro criterio, más físico, sería que el más redondo es el que rueda mejor, como indica ÓsQar. Midiendo el ángulo necesario para desequilibrarlo gana el dodecaedro, con 31º43′ frente a los 37º22 del icosaedro.

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  5. Totalmente de acuerdo con Mmonchi. Se me adelantó. Curiosamente las proporciones entre radios de esferas inscrita y circunscrita son: 3 para el tetraedro, raíz de 3 para hexaedro y octaedro y raíz de (15 menos 6 raíz de 5) para dodecaedro e icosaedro. También empatan ambos si elegimos como criterio el número total de puntos de contacto con ambas esferas: 32.

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  6. En clastometría existen cuatro criterios para determinar la esfericidad de los clastos. Aquí se encuentran bien resumidos los cuatro en un gráfico. Los criterios son:
    A) La relación entre la superficie del clasto y una esfera de igual volumen.
    B) La relación entre entre el volumen del clasto y el volumen de la esfera circunscrita.
    C) La esfericidad según Folk, que relaciona las dimensiones del clasto tomadas sobre tres ejes ortogonales ubicados arbitrariamente y que no deben necesariamente cortarse. Este criterio no tiene mucho sustento frente a los otros pero resulta práctico para realizar una aproximación sobretodo al evaluar sólidos irregulares.
    D) La relación entre el diámetro de la esfera inscrita y el diámetro de la esfera circunscrita.

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  7. Sin duda, el más esférico debería ser el que presenta una menor dispersión del conjunto de todos los puntos que pertencen al poliedro, respecto a la esfera que mejor se ajusta por mínimos cuadrados.

    Es decir, calculamos el radio de la esfera que estaría entre inscrita y circunscrita que mejor se ajusta por mínimos cuadrados a cada poliedro. Depsués calculamos la suma de los errores cuadráticos…y tachán, cual será?

    Pa mi que es el icosaedro.

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  8. Intuitivamente, el dodecaedro. Pensando como Arquímedes, respecto de la circunferencia, el icosaedro…

    Ahora, a leer el artículo para leer Matemátics

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  9. Cartesiano, lo de los minimos cuadrados me gusta, pero tiene alguna laguna.
    Minimos cuadrados esta bien definido solo para un conjunto discreto de puntos biyectivos entre las 2 superficies. Asi pues la eleccion de los puntos lo cambia todo y tendras tantas respuestas como quieras. Pensandolo bien, en los minimos cuadrados se recurre al cuadrado sencillamente porque la funcion valor absoluto no es derivable y no se podria solucionar el problema analiticamente.
    La verdad es que tomar el valor absoluto intuitivamente creo que seria equivalente a alguna de las definiciones anteriores que comparan la esfera inscritas y circunscritas. Interesante.

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  10. rtomas, creo que tienes razón…
    pero seguro que existe o se puede generalizar para conjuntos continuos. De cualquier forma tomando un numero elevado de puntos debe tender a un límite definido (eso intuyo).
    Además, dado que no se trata de una nube aleatoria de puntos, sino de un conjunto de superficies planas, debe de existir una relación definida que se podrá calcular de forma explícita.
    Lo que si está claro es lo que dices tú, si nos ponemos manos a la obra y “escojemos” un cierto número de puntos para hacer los cálculos, nuestra elección podría determinar el resultado.

    Alguien se sabe como hacerlo para un conjunto continuo?

    O alguien sabe como hacerlo con cientos o miles de puntos homogeneamente repartidos con alguna aplicación matemática?

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  11. Y ahora que se me ocurre…
    y si cogemos elementos diferenciales e integramos el error mínimo cuadrático respecto a la esfera?
    solucionado el tema del conjunto disccreto de puntos, no?

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  12. es igual, como haces la correspondencia entre los diferenciales de la superficie del poliedro y la de la esfera? aqui van 2:
    -perpendicularmente a las caras del poliedro
    -perpendicularmente a la esfera
    ya ya digo si no haces el cuadrado pero el valor absoluto estaras calculando algo que parece ser un volumen

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  13. Creo interesante citar aquí el mejor intento de aproximar un poliedro (no completamente regular) a una esfera. Es la cúpula geodésica (cuyo más conocido ejemplo es la diseñada por Buckminster Fuller para la Expo de Bruselas), consistente el tomar un poliedro regular, preferiblemente, para mi gusto, el icosaedro y someterlo al siguiente proceso:
    Se divide cada arista en n partes iguales.
    Se trazan por cada punto de división paralelas a las otras dos aristas de la mima cara. Con ello hemos convertido cada cara en una malla de n^2 triángulos.
    Desplazamos cada punto de estas mallas a lo largo del radio que parte del centro de la esfera circunscrita al poliedro original hasta llevarlo a la superficie de dicha esfera.
    Tendremos, entonces, un poliedro de 20n^2 caras triangulares con todos sus vértices en una esfera. En todos los vértices confluyen 6 aristas excepto en los 12 del icosaedro original en el que únicamente confluyen 5.
    Adecuadamente dimensionada es una estructura estable y muy ligera.

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  14. a mi me parece intuitivo que es perpendicular a la esfera. Hablamos de parecido a una esfera, no? Y me parece lo más coherente trazar líneas desde un único punto (el centro de “masas” de los poliedros y el centro de la esfera) y calcular la diferencia cuadrática.

    Aunque en lo que tienes razón sin duda es que la elección del “error cuadrático” es sólo una opinión, al igual que lo sería un error en valor absoluto, o cualquier otro valor o medida de cuanto se aleja el poliedro de la esfera. Sin embargo, en la práctica es muy comunmente utilizado el error cuadrático. Suele tener ventajas y pocos inconvenientes.

    Un simple apunte:
    Un abultamiento pronunciado en un poliedro es “castigado” fuertemente mediante errores cuadráticos, mientras que con errores en valor absoluto son menos importantes.

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  15. Yo creo que para decidircual es el mas parecido auna esfera, primero deberiamos ver cual es la caracteristica que define a la esfera, que es que todos los puntos de su superfice son equidistantes del centro. Por lo tanto la varianza o la suma de las diferencias de la distancia de cada uno de los puntos se su superficie al centro con la distancia media es el numero que debe considerarse. En una esfera debe ser 0, por lo que el que mas se aproxime a cero gana.

    P.D. estoy en el movil y me cuesta poner tildes

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  16. No sería simplemente aquél más óptimo en cuanto a superficie? el que maximice Volumen/Superficie? La esfera es la forma más óptima en este sentido.

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  17. De igual manera que el experimento famoso de lanzar una aguja en una superficie con rayas y contar las veces que toca alguna raya para obtener el número pi empíricamente, se podría realizar una prueba empírica sobre la rodadura de los cinco poliedros regulares.
    Más teóricamente, un criterio para valorar la calidad de rodadura de un sólido es realizar dos secciones que pasen por el centro de dicho sólido (las más diferentes entre sí) y compararlas. En una esfera saldrían dos circunferencias (diferencia entre ellas = 0). La que tenga menor diferencia entre dos secciones diferentes es la que mejor rodará y llegará más lejos.

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  18. Un pequeño matíz, en realidad existen 9 poliedros regulares, los del artículo son poliedros regulares convexos pero además existen otros 4 que son poliedros regulares concavos.

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  19. Perpendicular a la esfera significa proyectar cada punto del poliedro en el punto más próximo de la esfera, lo que parece razonable. Pero parece igual de razonable proyectar cada punto de la esfera en el punto más próximo del poliedro, que es perpendicular a la cara del poliedro. Así que como poco veo dos posibles errores cuadráticos medios con cierto sentido.

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  20. Cualquiera de ellos. En las condiciones que sugieres no se establece que el sólido platónico deba permanecer estático. De modo que la revolución de cualquiera de ellos, en el límite, coincidirá con la esfera.

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  21. ming, ¿a ti te parece que la revolución de un hexaedro es una esfera?

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  22. Dependerá del giro. No tiene por qué suponerlo regular. Imagine cualquier sólido platónico inscrito en un círculo en una posición aleatoria. Componga la suma de todos ellos y ya me dirá qué figura resulta.

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  23. Ni hablar. La pregunta dice “¿Qué poliedro regular es más “esférico”?”
    Que yo sepa, los poliedros poseen vértices, no sólo caras. Cualquiera de ellos en revolución compone una esfera, aunque lo más común sea fijarse sólo en las caras.

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  24. Pues después de pensarlo otra vez, pienso que una esfera tiene la particularidad de no tener excentricidad. Por ejemplo una elipse se distingue por la diferencia entre el diametro máximo y mínimo en ese mismo sentido.

    De la misma forma podríamos pensar que los poliedros se alejan de la esfericidad en ese sentido. Así, el poliedro que tenga un diámetro máximo (de vértice a vértice) más parecido a un diámetro mínimo (de centro de cara a centro de cara) de forma proporcional será más esférico.

    Analizando un poco, al final viene a ser lo mismo que decir que el poliedro más esférico es aquel que su esfera inscrita y circunscita son más parecidas, o están más cercanas proporcionalmente.

    Curiosamente, el dodecaedro y el icosaedro presentan en este sentido exactamente la misma esfericidad.

    Se entiende muy fácil con el siguiente concepto: Si al dodeacedro le hacemos una esfera inscrita y otra circunscrita, y sacamos el dodecaedro, podemos meter el icosaedro y encajará perfectamente entre ambas esferas !!!
    ———-

    Y ahora otro pensamiento, no sería interesante pensar que el más esférico es el que tenga el mayor ángulo sólido en sus vértices? Ya que todos los puntos de la esfera tienen un ángulo sólido de 2pi esteroradianes (considerando toda la superficie como un conjunto infinito de vértices)

    Alguien se anima a calcular los ángulos sólidos de cada poliedro?

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  25. Para mí no cabe duda: el dodecaedro.
    ¿Qué es lo que más diferencia a estos poliedros de una esfera? Pues que los poliedros tienen vértices, es decir esquinas. Si nos dieran una piedra irregular y nos pidieran que hiciéramos una bola con ella no empezaríamos a pensar en distancias ni en volúmenes, lo que haríamos sería empezar a pulir las esquinas para hacer desaparecer los picos. Si nos dieran el cambiazo y un día la tierra dejara de ser esférica para ser un poliedro, los que vivieran en el centro de una cara ni se darían cuenta, los que más notarían el cambio serían los que vivieran en un vértice, y los del icosaedro son vértices bastante puntiagudos. La agudeza de los vértices es lo que hace que el dado en forma de icosaedro ruede peor que el dodecaedro, pero ¿cómo medimos eso? Yo lo que haría sería sumar los ángulos de las caras que confluyen en cada vértice: cuanto mayor sea la suma, más se aproxime a 360º, mayor será la redondez. Pensemos en el desarrollo plano de cualquiera de estos poliedros: cuando plegamos en cada vértice le estamos quitando el ángulo que le falta a la suma de las caras para llegar a 360º y cuanto menos le quitemos menos plegaremos y menos se distinguirá el vértice de las zonas planas.
    Pues bien: sumemos ángulos que convergen en cada vértice:
    Tetraedro (3 triángulos): 3×60º = 180º
    Hexaedro (3 cuadrados): 3×90º = 270º
    Octaedo (4 triángulos): 4×60º = 240º
    Dodecaedro (3 pentágonos) 3×108º = 324º
    Icosaedro (5 triángulos) 5×60º = 300º

    El dodecaedro es el que da unos vértices más aplanados, más romos, por tanto sería el más “redondeado”

    Por cierto, cuando se habla del icosaedro truncado para hacer el balón de fútbol hay que pensar en que precisamente, lo que hacemos al truncar el icosaedro es cortarle esas esquinas tan puntiagudas (lo que decía de pulir la piedra). Si nos fijamos en cada vértice, en el que confluyen dos hexágonos y un pentágono, la suma de los ángulos es 2×120º+108º = 348º, que se aproxima mucho a 360º, buena pelota.
    Como curiosidad, seguramente muchos recordareis una temporada en la que la liga de fútbol adoptó un balón distinto basado en un rombicosidodecaedro, en el que en cada vértice confluían un pentágono, dos cuadrados y un triángulo (todos regulares, por supuesto). Si calculamos la suma de los ángulos nos da: 108º+2×90º+60º = 348º, es decir, que era igual de redondo que el tradicional de icosaedro truncado

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  26. Vale, me vale el razonamiento de Raul.
    Yo estaba calculando ángulos sólidos, y aunque se pueden calcular con más o menos cálculos, la verdad es que la suma de los 3 ángulos planos que hace Raul no deja lugar a dudas.

    Si el desarrollo plano del dodecaedro (visto desde un vértice) se hace con 3 pentágonos que suman 324º y el icosaedro con 5 triángulos que suman 300º el ángulo sólido del dodecaedro debe por fuerza ser mayor al del icosaedro.

    Por tanto el icosaedro es más “picudo”, y el dodecaedro es el más “redondo”.

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  27. Agradezco el post, el ingenio y el aporte de los distintos comentarios.
    Como arquitecto mi interés por la esfera pasa por ser el cuerpo que con menor cantidad de materia encierra el mayor volumen, y al mismo tiempo expone la menor superficie al intercambio de calor. El interés por emular estas cualidades con cuerpos de aristas rectas y caras planas pasa por facilitar su producción, de modo que prefiero aquél cuerpo que encerrando el mismo volumen de aire utilice la menor superficie, o con igual superficie encierre el mayor volumen. Cuál de los cuerpos regulares sería? Al tiempo y de manera intuitiva (ya que se me escapan otras maneras de aproximación) lo primero que pensé para contestar la pregunta es averiguar cual ENTRE ESTOS cuerpos a igual volumen tiene mayor longitud de aristas: ése sería el más esférico! Es ésto criterioso? Gracias a todos otra vez y en particular a quienes se tomen la molestia de contestarme 😉

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  28. Daniel, la relación área/volumen para los poliedros regulares es:

    Tetraedro: 14.6969
    Hexaedro: 6.
    Octaedro: 7.3485
    Dodecaedro: 2.6942
    Icosaedro: 3.9695

    Me ha sorprendido que haya tanta diferencia entre los dos últimos.

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  29. Aquí hay algo extraño. La relación superficie/volumen de la esfera es 3, sale de dividir 4*π*r² entre 4/3*π*r³.

    La del dodecaedro es inferior, lo cual (creo) no puede ser. La superficie del dodecaedro es 3*√(25+10*√5) y el volumen (15+7√5)/4, lo que que da una relación de 3*√(50-22*√5) = 2.6942.

    ¿Dónde está el error? ¿Me he equivocado en algún cálculo, o puede haber un cuerpo con menos superficie por unidad de volumen que la esfera?

    Debe ser algo muy obvio, pero no veo lo que falla. 🙁

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  30. Mmonchi, es importante que alguien te desmienta o ratifique, porque se desmoronan todos mis supuestos sobre la geometría 😉

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  31. Mmonchi, ahora mismo no me he puesto a revisar tus cálculos, pero …
    la relación entre la superficie y volumen de la esfera no es 3, es 3/r.

    En cuanto al cálculo para cada poliedro, que valor de r has tomado.
    Es decir, si supones radio de la esfera r=1, ¿qué poliedro has hecho? uno circunscrito o una inscrito? a esa esfera de r=1.

    Aunque parezca que basta tomar r=1, y así nos quedamos con valores constantes, no es así.

    No es lo mismo tomar una esfera de radio unidad y empezar a meter poliedros dentro y probar la relación entre superficie y volumen, que fijar la superficie de cada poliedro y ver que volumen sale, o que fijar la arista de cada poliedro y volver a ver que relación sale.

    Mmonchi, elije una constante para todo, déjala fija, y ahora vuelve a calcularlo todo.

    Aunque es más fácil mirar las tablas publicadas en el artículo 😉

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  32. Gracias, Cartesiano, va por ahí. He tomado como unidad la arista, de modo que mi tabla debe quedar así:

    Tetraedro: 14.6969/a
    Hexaedro: 6./a
    Octaedro: 7.3485/a
    Dodecaedro: 2.6942/a
    Icosaedro: 3.9695/a

    No se me ocurre qué constante tomar para hacerlo adimensional. ¿El radio de la esfera inscrita o la circunscrita? Quizás lo más correcto sea tomar el radio de la esfera de igual volumen y comparar superficies.

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  33. Lo que intentaría yo (si supiera hacerlo) es igualar el Volumen a la unidad y calcular el Area. En el caso del único cuerpo cuyo cálculo está a mi alcance (Hexaedro) 😉 eso supone V = 1 = a^3 > a = 1 > A = 6a^2 = 6 > relación A / V = 6
    En el resto de los cuerpos como la esfera igualaría el volumen a 1 = (4*pi*r^3)/3 hallaría el radio y calcularía A = 4*pi*r^2…

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  34. Si por esfericidad entiendo a la capacidad más eficiente de envolver un volumen con una superficie, puedo calcular por unidad de área cuanto volumen encierro o por unidad de volumen cuanta superficie se requiere en cada cuerpo. De menor relevancia en este problema será mantener constante el radio interno o externo o la arísta.

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  35. Lo que he hecho ha sido calcular el radio de la esfera de igual volumen, en función de a (arista). Después he calculado la superficie de la esfera de ese radio, en función de a², y he dividido entre ella el área del poliedro regular, que también está en función de a². La tabla es:

    Tetraedro: 1,490003659
    Hexaedro: 1,240700982
    Octaedro: 1,182616688
    Dodecaedro: 1,098354117
    Icosaedro: 1,064593518

    Ahora es adimensional, y nos dice la relación superficie/volumen de cada uno. Según este criterio el más esférico es el icosaedro.

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  36. Por fin estoy de acuerdo con ésto, aunque no es la relación superficie/volumen, es la relación superficie del poliedro/superficie de la esfera de igual volumen.
    Lo que yo he hecho en relación a este tema de minimizar la superficie que encierra un mismo volumen es calcular la superficie de los distintos poliedros que encierran un volumen 1. Los resultados son:
    Tetraedro: 7’2056
    Hexaedro: 6
    Octaedro: 5’7191
    Dodecaedro:5’31
    Icosaedro: 5’1483

    Esfera:4’836

    Si dividimos cada área entre la de la esfera me encaja con tus cálculos. Según este criterio sí que sería el icosaedro la más redonda, algo que tiene bastante sentido teniendo en cuenta que tiene más caras y más pequeñas. en cualquier caso yo insisto en el criterio que expuse unos comentarios más arriba.

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  37. Ahora me gusta!!! y resuelve parte de un problema que siempre tuve en mente (y no intenté resolver) 🙂
    Un icosaedro sería entonces el poliedro REGULAR más esférico que pueda construirse con caras y aristas planas. Hay mejores alternativas entre los irregulares como las cúpula geodésicas de Buckminster Fuller.
    Ahora otra parte de (mi) problema: Sucede que a las personas nos resulta difícil habitar dentro de las esfera y debemos buscar alternativas que, a nivel del suelo, dispongan de superficies planas lo más amplias posibles. Surgen las semiesferas como el iglú, pero resultan ser según el enlace http://en.wikipedia.org/wiki/Sphericity que nos pasara Víktor Bautista i Roca menos esféricas que los cilindros (!) y si objetaramos también en éstos sus paredes curvas por construcción, asociación con otros volumenes semejantes o por la dificultad de distribución del equipamiento interior encontraríamos en el hexaédro una esfericidad bastante aceptable 😉

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  38. Tras todo lo escrito concluyo que el mejor candidato es el icosaedro ya que con la misma superficie que cualquier otro poliedro es el que contiene más volumen.
    Si en la tabla tercera de las que aparecen en el post añadimos una línea considerando que la esfera es un poliedro regular de infinitas caras veremos que para un área de 1 tiene un volumen de 0,0940316 y el que más se acerca a ella es el icosaedro con 0,0856048 pues el dodecaedro con 0,0816884 está un poco más lejos.

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  39. Mi humilde opinion de no matematico es:
    Vrestante = Vpoliedro – Vesfera_inscrita

    El que tenga el menor Vrestante es el que menos “punticas” tenga y mejor rodará

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  40. Un dato curioso es que el apilamiento de círculos (por ejemplo tubos) da la figura del heágono (panales de abejas) y el apilamiento de esferas da dodecaedros, pero no da icosaedros. Para mi, la evolución natural de la esfera es el dodecaedro, aunque el icosaedro llegue a ser más esférico, (de la misma manera que el polígono natural de lacircunferencia es el hexágono, aunque haya otros más circulares o redondos).

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