¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?

Estamos ya hartos de leer/escuchar que la cuadratura del círculo es algo imposible, que no se puede “cuadrar” un círculo, que es una construcción que no se puede realizar. Lo tenemos tan oído que hasta como frase ha pasado a formar parte de nuestro lenguaje habitual (la propia RAE recoge dentro de “cuadratura” que la cuadratura del círculo se usa para indicar la imposibilidad de algo).

Y así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que \pi es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, siempre que añadamos la coletilla con regla y compás, que en realidad significa utilizando solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es decir, la cuadratura del círculo es imposible si como únicas herramientas tenemos una regla y un compás y solamente podemos utilizar las normas que se establecieron en la antigua Grecia. Bien, ¿y qué ocurre si no imponemos esa restricción? ¿Qué pasa con esta construcción si abrimos un poco el campo, si no somos tan restrictivos? Pues…

que la cuadratura del círculo sí es posible. Y no me refiero a aproximaciones más o menos buenas, sino a la construcción exacta. Es decir:

Si eliminamos la restricción de utilizar solamente regla y compás y las normas establecidas en la antigua Grecia, se puede realizar la cuadratura del círculo. Esto es, partiendo de un círculo de área A se puede construir un cuadrado de área A.

Vamos a ver cómo hacerlo.

Partimos de una círculo de radio R (cuya área sera, entonces, \pi R^2)que podamos girar, por ejemplo un rodillo para pintar. Marcamos un punto en él y hacemos girar sobre un papel el rodillo hasta realizar un giro completo. El punto habrá marcado un segmento de longitud 2 \pi R.

Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, \pi R, lo unimos a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, R, y trazamos una semicircunferencia que tenga a ese segmento de longitud \pi R + R como diámetro. Quedaría algo así:

Trazamos ahora desde el punto de unión de los dos segmentos un segmento perpendicular a este diámetro que corte a la semicircunferencia. Se tiene entonces que el triángulo formado por los dos extremos del diámetro y ese punto de corte con la semicircunferencia es un triángulo rectángulo (precisamente en el ángulo que forma en la semicircunferencia en dicho punto de corte):

¿Cuál es la longitud de este segmento? Es sencillo calcularla. Llamemos h a esa longitud. Si nos fijamos en la figura, en realidad no tenemos un triángulo rectángulo, sino tres triángulos rectángulos. Son los que tienen lados con longitudes igual a a,h,\pi R (de hipotenusa a),  h, b, R (de hipotenusa b) y a,b,\pi R +R (de hipotenusa \pi R+R)

Utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:

\begin{matrix} a^2=h^2+(\pi R)^2 \\ \\ b^2=h^2+R^2 \\ \\ (\pi R+R)^2=a^2+b^2 \end{matrix}

Sustituyendo los valores de a^2 y b^2 de las dos primeras ecuaciones en la tercera obtenemos lo siguiente:

(\pi R+R)^2=h^2+(\pi R)^2+h^2+R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

Desarrollando el cuadrado de la izquierda llegamos a:

(\pi R)^2+R^2+2 \pi R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

de donde simplificando obtenemos:

2 \pi R^2=2h^2 \Rightarrow h^2=\pi R^2 \Rightarrow h=\sqrt{\pi} R

Hemos conseguido construir un segmento de longitud \sqrt{\pi} R:

Construyendo ahora un cuadrado con todos sus lados iguales a ese segmento tendremos por tanto un cuadrado de área:

A=\sqrt{\pi} R \cdot \sqrt{\pi} R=\pi R^2

Es decir, un cuadrado con la misma área que el círculo inicial. Vamos, que hemos conseguido cuadrar el círculo inicial. Toma ya.

Sería interesante que quien conozca alguna construcción de este tipo, cuadratura del círculo sin las restricciones de la regla y el compás y las normas griegas, nos hable de ella en un comentario. Muchas gracias.


Fuente: Vitaminas matemáticas, de Claudi Alsina.

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64 comentarios

  1. Trackback | 7 mar, 2013

    ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?

  2. Trackback | 7 mar, 2013

    Bitacoras.com

  3. Jose Torres | 7 de marzo de 2013 | 14:25

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    Hay una demostración más fácil, usando el teorema de la altura, que nos dice que “En un triángulo rectángulo la altura es medio proporcional entre las proyecciones que determina sobre la hipotenusa”.

    Así, directamente, obtenemos que \dfrac{\pi R}{h}=\dfrac{h}{R}, y de ahí h^2=\pi R^2, etc etc

    También se puede añadir que sólo falla en lo de “regla y compás” en que hemos tomado una medida sobre la regla, que no debía estar marcada, etc etc. Vamos, que relajamos “poco” las reglas de construcción. Aunque es una diferencia, digamos, fundamental, ya que añadimos posibles (seguros) errores de cálculo/medición

  4. ignacius | 7 de marzo de 2013 | 15:03

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    Hace unos dias encontré un artículo curioso sobre el tema: http://www.circleissquared.com/

    Donde se comenta que la razón entre el perímetro de un cuadrado y la curcunferencia inscrita o circunscrita es: 1,1107207345… = \frac{\pi}{2\sqrt 2}

    Podeis ver esta constante y otras muchas en:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Constantes_matem%C3%A1ticas
    http://enciclopedia.us.es/index.php/Constantes_matem%C3%A1ticas

  5. Juanjo Escribano | 7 de marzo de 2013 | 15:21

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    Me gustaría ver el círculo inicial de radio R, que no se ha dibujado, y la elección del punto del rodillo (cuando he pintado en casa he usado rodillos muy pequeños, que igual no cumplen las medidas necesarias para este problema)

  6. ignacius | 7 de marzo de 2013 | 15:50

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    Según el Teorema de Pitágoras: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

    c^2 = a^2 + b^2

    Por lo que podríamos llamar el inverso del Teorema de Pitágoras: La altura al cuadrado es igual a la suma inversa ║ de los cuadrados de los catetos.

    h^2  = a^2\|b^2  =\frac {1}{\frac {1}{a^2} + \frac {1}{b^2}} = \frac {a^2  b^2}{a^2 + b^2 }

  7. José Luis | 7 de marzo de 2013 | 17:12

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    El problema es deteerminarr la recta pi-radio, esta se puede determinar de la manera siguiente, sobre un circulo de radio R trazar una tangente en su lado inferior, punto T, su punto contrario diametral, punto P,desde el cento de lacircunferencia trazar un triangulo equilatero, cuyos lados cortaran a la tangente en los puntos A prima en su prolongacion , a partir de este punto tomar tes radios sobre la tangente para localizar el punto L, asi la recta PL, hipotenusa del triangulo rectangulo PTL, rectangulo en T, es igual al producto pi.radio, a partir de ahi seguir procedimiento descrito en el articulo presente.

  8. Manuel | 7 de marzo de 2013 | 17:27

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    Esto se obtiene por el “arco capaz”. No?

  9. Samuel Dalva | 7 de marzo de 2013 | 21:13

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    En la magnífica “Cut the Knot” podemos ver una construcción también muy sencilla.

    http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml

    Actualizado: es la misma construcción, solo que con R=1.

  10. Ununcuadio | 7 de marzo de 2013 | 21:36

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    Yéndome un poco del tema… Hay una peli de la misión de Apolo que no pueden regresar a la Tierra por una avería, y necesitan meter algo cuadrado en un círculo (lo digo de mala memoria :P)

  11. Juan Perez | 7 de marzo de 2013 | 22:56

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    Pedro picapiedra logró fue el primer cavernario que logró introducir un objeto de junta circular dentro de un receptáculo cuadrangular y viceversa jajaja

  12. Victor | 7 de marzo de 2013 | 23:37

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    Utilizando pi es facil.

  13. fugaz | 7 de marzo de 2013 | 23:41

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    Error:
    – Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, ( pi * R )

    Ya, toma, claro!
    Haciendo trampas (usando la solución al problema para resolver el problema), así cualquiera.
    – porqué no directamente dices:
    Tomemos un segmento de ( Pi * R ) y hagamos un rectángulo de altura R. Ya está. ( Pi * R * R ) Cuadrado el círculo.

  14. gaussianos | 8 de marzo de 2013 | 00:10

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    fugaz, tomamos un segmento creado con un rodillo y luego lo dividimos en dos partes igual (fácil de hacer), quedándonos con una de ellas. La cosa no es tan directa como la planteas tú.

  15. Lost-Angel | 8 de marzo de 2013 | 00:18

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    Como todas las buenas demostraciones matemáticas, muy elegante si señor.

    No la conocía. Muchas gracias

  16. jose | 8 de marzo de 2013 | 00:35

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    no se coge pi*r porque si, el rodillo es para integrar “analógicamente”

    No se puede hacer la cuadratura con regla y compás pero que si se puede hacer con transportador de ángulos y regla, y luego usando el teorema de Thales :)

  17. Enrique Dans | 8 de marzo de 2013 | 02:32

    Muy valorado. ¿Tú qué opinas? Thumb up 5

    No\ tengo\ mucho\ que\ decir,\ pero\ me\ gusta\ escribir\ con\ este\ tipo\ de\ letra.

  18. Tras la persiana | 8 de marzo de 2013 | 15:10

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    Yo, hace mucho tiempo, pensaba inocentemente que si tenemos una circunferencia hecha de hilo, podemos deformarla para que tome forma de cuadrado. Y al no ocurrírseme ninguna pega en contra, imaginaba que la habría aunque yo no la viera. Y va a resultar que no…

  19. fugaz | 8 de marzo de 2013 | 17:55

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    El mérito de este método es el de poder hacer raíces cuadradas de cualquier valor (en este caso, la raiz(Pi) ), sólo con reglas y compás. En eso, es un método estupendo.
    (lo de generar Pi con un rodillo me sigue sin gustar)

  20. pepe | 8 de marzo de 2013 | 19:49

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    Esto no es demostración de cuadratura

  21. Cartesiano Caotico | 9 de marzo de 2013 | 00:38

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    Mira que le dais vueltas a las cosas!

    La cuadratura del circulo es imposible. Está demostrado. Pero como siempre en matemáticas hay que fijar unas condiciones de partida: “con regla y compás”
    La entrada propone la cuadratura sin esas condiciones!
    No hay trampa, o al menos se ha avisado claramente de cual es la trampa!

    Por supuesto, que la construcción se basa en la rectificación de un círculo!
    Rectificar un círculo es tan sencillo como que es 2piR, pero … a ver quién es el guapo que lo hace con regla y compás?!

    Sin embargo, existen numerosos métodos para rectificar un círculo con mayor exactitud que la que puedes conseguir con un lápiz de 0.5 mm de diámetro, pero exacto, lo que se dice exacto no es posible. Tanto como que pi es irracional!

  22. Rojo Merlin | 10 de marzo de 2013 | 02:33

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    Yo lo veo mucho más fácil de lo que parece.
    Como se ha dicho antes, lo del hilo podría parecer una solución.
    Pero claro, el hilo tiene un grosor. Y los supuestos ejes por donde se articulan los vértices del hilo, tienen un radio.
    Solo sería posible, con un hilo que tuviera una sección infinitamente pequeña, y unos ejes con un radio también infinitamente pequeño. Lo que nos lleva a pi. Pi es el culpable.
    Pi es el culpable de todo, si se piensa fríamente.
    Larga vida a pi.

  23. Trackback | 10 mar, 2013

    Lo Mejor de la Semana (3-9 de marzo) | Hablando de Ciencia | Artículos

  24. Alberto | 11 de marzo de 2013 | 00:58

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    Hola,
    mis conocimientos de matemáticas son bastante limitados, pero creo que si aplicamos un poco la lógica no sería difícil cuadrar un círculo.
    Si partimos de la base que el círculo ha de ser dibujado con un lápiz de un determinado grosor y si asumimos que el área es el espacio que se encuentra dentro del dibujo, podemos asumir que: si encontramos un hilo del mismo grosor que el usado en el dibujo del círculo y lo atamos al estremo de una aguja del mismo tamaño que el radio de nuestro círculo y si hacemos girar la aguja sobre si misma 360º, tendremos la longitud exacta del círculo (es sólo uno de los cien ejemplo que se me ocurren para dibujar la longitud).
    Si ahora medimos el hilo y lo partimos por la mitad dos veces, habremos obtenido el lado del cuadrado.

  25. Samarugo | 13 de marzo de 2013 | 00:21

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    Me encanta la propuesta: no dar por sentado algo que está sentado. Enhorabuena por el artículo. Los comentarios me parecen un diálogo de sordos: nadie contesta a nadie, por lo que se pierde riqueza (yo no puedo contestar porque no llego al nivel, pero me encantaría el debate). El que más me ha gustado es el último que he leído de partir el hilo por la mitad: es que me parto yo mismo. Gracias a todos y al final no me queda claro si es posible la cuadratura del círculo o no, pero me encanta que se ponga en cuestión después de tanto tiempo. Y, en especial, gracias al administrador del foro, blog, o lo que sea.

  26. Homer | 20 de marzo de 2013 | 02:25

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    Mas fácil aun: Tómese un aro de plástico de esos que vienen haciendo precinto en las tapas de las garrafas de agua,ciérrese sobre si mismo en un sentido primero,y depués en el otro,de manera que al abrirlo quede hecho un rombo.Ya después no hay mas que darle forma de cuadrado y…¡¡Voilá!!,tenemos un cuadrado perfecto,se puede medir sin problemas,que no darán los cuatro lados la misma medida.Hemos cuadrado el círculo.

  27. Pedro | 21 de marzo de 2013 | 11:21

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    “Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, pi*radio”

    ¿Cómo se hace esto sin que sea aproximado? No lo veo

  28. Cartesiano Caotico | 21 de marzo de 2013 | 20:58

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    Pedro, no ves eso? y lo demás sí? :)

    Un segmento de longitud R se divide fácilmente por la mitad, trazando un círculo de radio R desde cada extremo del segmento (también puedes hacer los círculos de otros radios suficientemente grandes, no es necesario que sea R). Unes con una recta los puntos donde se cortan los dos círculos, y esta recta cortará al segmento inicial en dos mitades exactas. Matemáticamente exactas. Otra cosa es que tú tengas tiento suficiente y un lápiz infinitesimal. :)

  29. Jaime | 3 de abril de 2013 | 02:22

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    Extraordinario y muy elegante desde punto de vista matemático, pero en la práctica sigue siendo imposible cuadrar un círculo, ya que siempre será aproximado debido al número de decimales de pi empleados. PI no es un número exacto, como todos sabemos.

  30. José | 11 de abril de 2013 | 23:34

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    R no es el radio del circulo como se dice, pues D=2R y no PixR+R.
    La demostración es Falsa

  31. David F. Roibás. | 29 de mayo de 2013 | 17:32

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    Desde luego, todos tiramos la toalla cuando nos tenemos que adherir a ciertas reglas, pero, si uno insiste bastante, siempre llega a alguna solución lo suficientemente buena.

    En mi caso, he encontrado una manera de ir “alisando” un círculo de radio r hasta hacerlo una recta de pi·r con un margen de error de varios decimales (sin ir más lejos, con una hoja de papel din A4 normal, se puede llegar al 5º decimal de pi 3,14159… más no porque necesitaría una lupa para conocer el margen de error) Y traspasado del papel a la matemática podría tratarse de una forma sencilla del cálculo de pi computerizado (si supiera las suficientes matemáticas, claro, que no es el caso)

    De la forma más simple del mundo… a cualquiera que se lo cuento primero se sorprende y luego me pregunta que cómo es posible si “no se puede”… y toooodo en esta vida es tan inexacto como podamos. El 100% de PI, efectivamente, no lo puede calcular ni un griego con su regla y compás ni un superordenador, pero un “casi pi” sí … y muy fácil (ahora que lo se, me parece extremadamente fácil… antes me parecía imposible, como a todo el mundo, demostraciones matemáticas a parte)

    Es más, como el método es tan sencillo, se puede construir la versión “de menos rallas” en la que se cuadra un círculo de radio 1 (y no hay que dividir ni multiplicar gráficamente, que es un engorro) y la versión larga para construir un cuadrado de superficie pi·r^2 partiendo de un círculo de radio r (pero es mucho más laborioso porque hay que trazar paralelas para la división y la multiplicación)

    El caso es que el que un gran matemático de con una imposibilidad, limita el progreso humano, porque la realidad no es la matemática (la matemática es mucho más restrictiva, mientras que la realidad siempre tiene una forma de aproximar un imposible a un hecho, como es el caso)

    Por cierto. Ando buscando algún sitio en el que publicar el método ¿Alguien sabe de algún sitio medianamente serio donde hacerlo? ¿Esto en qué rama de la ciencia se engloba?

  32. Cartesiano Caotico | 29 de mayo de 2013 | 22:15

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    Hola David F. Roibás, puedo dividir tu disertación en 2:

    1. Hay numerosos métodos para aproximar pi, tanto numericamente como gráficamente. Si propones uno nuevo, estaremos encantados de conocerlo, no lo dudes.
    Sin embargo, el cálculo de pi no es imposible, y de hecho se conoce su valor exacto. Aunque eso no significa que se conozcan todos sus decimales, ya que estos son infinitos (o mas bien tiene un numero no finito de decimales), por lo que sería imposible conocer todos sus decimales.

    2. Y esto me lleva a la segunda parte. No veo por qué un imposible tenga que limitar el progreso humano. Es imposible conocer todos los decimales de pi, pero eso no limita el progreso humano, mas bien al revés, la comprensión de ese hecho lo convierte en un progreso en sí. La verdad es que no se llega a entender que un imposible sea un obstáculo al progreso cuando un “gran matemático de con él”. No veo diferencia en que de con él un gran matemático o un necio, lo imposible lo era antes, durante y después de ser descubierto. Como he dicho, más bien se trata de un avance haberlo descubierto, provocando automáticamente un progreso.

    Puedo citarte el Teorema de Incompletitud de Gödel como claro ejemplo de lo que el descubrimiento de un “Imposible” es un gran progreso.

    Saludos

  33. David F. Roibás | 29 de mayo de 2013 | 22:50

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    Me tomo la citación del Teorema de Gödel como una amenaza… lo he buscado y no tengo tanta inteligencia/ánimo para entender todo lo que implica, así que te ruego que no lo cites, por favor, no seas tan cruel.

    Contesto a la inversa:

    2.- Mi disertación estaba basada más bien en que cuando alguien con cierto prestigio dice “esto es imposible”, la gran mayoría deja de buscar en ese cajón. Y me baso en lo que veo día a día. En ningún caso niego la existencia de personas que eso mismo que desanima al resto, a ellos les anima a proseguir buscando una solución siguiendo su “instinto” (llamémoslo inteligencia no racional o no consciente), los genios… y, bueno, los locos pertenecen a esa minoría.

    Resumiendo: sólo las personas que entienden el problema original, saben qué significa “imposible” para ese problema y pueden seguir avanzando. El resto se queda con la boca abierta esperando y esperando y esperando…

    1.- No soy matemático, por lo que puede ser que, de nuevo, haya descubierto la rueda viéndola girar.

    A mí mismo me parece descabellado pensar que haya encontrado un método iterativo para ir dividiendo una semicircunferencia de radio r en un cuarto de circunferencia de radio 2·r y esta en un octavo de circunferencia de radio 4·r y, así, hasta los límites físicos (que, utilizando ordenadores para el trazado gŕafico podrían ser equivalentes al límite de decimales que se pueden obtener para PI), o hasta aproximarlo a una recta cuya medida es PI por el radio (habiendo hallado eso, luego sólo es dividir por el radio, hacer la raíz cuadrada de pi y volverlo a multiplicar por el radio para obtener un lado del famoso cuadrado de la cuadratura del círculo)

    Lo que he (re)descubierto es un método para ir “estirando” un círculo, explicado a grosso modo. De una manera tan sencilla que escandaliza (espero estar equivocado; y que ya sea conocida; y que mi fe en la raza humana se vea reforzada)

    ¿existe algo así en el mundo de los matemáticos-geómetras en el que me estoy metiendo sin pedir permiso?

    (no se cómo incluír gráficos aquí, de otra manera con un vistazo se entendería a la perfección)

  34. David F. Roibás. | 30 de mayo de 2013 | 16:19

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    A ver, he encontrado que:

     \lim_{n \rightarrow \infty} 2^{(n-1)} \cdot sin(\frac {180 }{2^{(n-1)}}) = \pi

    Deduciéndolo del método que he encontrado para ir estirando el círculo.

  35. JJGJJG | 30 de mayo de 2013 | 18:38

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    David F. Roibás: Tu método de dividir un ángulo por 2 y duplicar su seno repetidas veces introduce, por los errores gráficos, más error en el dibujo que tratar de dibujar directamente un segmento de longitud 3,141592… con una buena regla graduada y un lápiz bien afilado. Este sistema da un “casi PI” mejor que el tuyo con mucho menos esfuerzo.

  36. Cartesiano Caotico | 30 de mayo de 2013 | 21:31

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    David F. Roibás, no se de dónde sacas el 180, ahí tiene muy mala pinta. A ver si va a ser pi en vez de 180… :)
    y claro usar pi para calcular pi

    Y ya de paso que te vas al límite,… por qué (n-1) ? es que con n ya no te sale? :)

    Como te ha comentado JJGJJG, en una construcción gráfica iterativa como esa, con cada paso que das acumulas incertidumbre en la medida, al final no vas a conseguir nada.

    Me ha hecho mucha gracia lo de la amenaza de Gödel, jaja

    Si yo me sintiera amenazado cada vez que leyera algo que me supera viviría como un conspiranoico ;)

  37. David F. Roibás | 30 de mayo de 2013 | 23:52

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    Vaya… no había caído en la acumulación del error que tan bien ha apuntado JJGJJG.

    Al hacerlo con un programa de CAD, el resultado me pareció increiblemente bueno, pero claro, a mano ya es otro cantar (el caso es que lo descubrí a mano alzada y parecía bueno) Con sólo 1…2… 8 iteraciones ya se llega al sexto decimal de Pi (con CAD, claro), de ahí mi alegría y entusiasmo. Aparte del hecho de utilizar una base 2 para su cálculo, que lo hacía perfecto para hacerlo a través de ordenador.

    Sigo sin saber cómo poner aquí el resultado gráfico, así que lo explico (disculpas por adelantado): Con un semicírculo de radio cualquiera sobre el eje X, se traza una perpendicular al eje X (tangente al círculo) en el extremo derecho. Con el doble del radio y centro en punto por el que la tangente corta al semicírculo, se traza un nuevo semicírculo que corta la tangente en su punto superior (dividiendo así este nuevo semicírculo en dos, que son dos cuartos de la circunferencia original de la que sólo hemos dibujado la mitad) En el punto de corte derecho de la nueva circunferencia con el eje X, trazamos una recta que pase por el corte de la tangente con la misma circunferencia. Repetimos ahora los pasos: con centro en el cruce derecho de la nueva circunferencia con el eje X y con radio el doble, se traza otro semicírculo. El punto de corte de este semicírculo con la última recta trazada, da un octavo de la circunferencia, cuya cuerda vale pi·r (siendo r el radio de la circunferencia original). Volvemos a repetir el trazado de la recta en el punto de cruce con la última circunferencia y el eje X que pase por el cruce de la última recta con la última semicircunferencia…

    Explicado así es bastante lioso, pero si seguís paso a paso, a mano alzada mismamente, veréis cómo vamos obteniendo una curva cada vez más estirada que tiende a ser una recta vertical, con origen en el extremo izquierdo del primer círculo (de todos los círculos, como veréis) que mide pi·r (si el primer círculo es de radio=1, medirá, por tanto PI)

    Lo de 180, efectivamente, pensé que habría que utilizar grados sexagesimales en lugar de radianes, porque si no, era rizar el rizo. En un programita que he hecho para representar la función  2^{(n-1)} \cdot sin(\frac{\pi}{2^{(n-1)}}) , efectivamente he tenido que utilizar radianes para ¡calcular pi! Absurdo. Es como cambiarse los gallumbos por los del día anterior.

    Lo de la n-1 es porque empiezo con n=1, ya que entendía que era el primer valor del radio original, pero en el programa de dibujo utilizo n, ya que empiezo con n=0… es una paranoia que me ha entrado con el punto de partida, que me he liado, me he liado y… eso, n-1.

    Gracias, Cartesiano Caótico. Pondré mi “descubrimiento” en la sección de “uyyyy”, tomo 31415, folio 9265359. A ver cuándo guardo algo en la polvorienta sección de “porqueyolovalgo”.

    Ha sido un placer, me quedaré por aquí leyendo las cosas tan interesantes que tiene este blog.

  38. df.roibas | 6 de junio de 2013 | 01:49

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    Ya he descubierto cómo haceros llegar mi falacia: Un link a ella!

    http://www.dudad.es/cuadratura_circulo_DFR.pdf

    (será inútil, pero me ha quedado muy bonita esta cuadratura y no puedo renegar de ella)

  39. Txus | 15 de junio de 2013 | 16:36

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    Y si probamos con R=0

  40. kike77 | 26 de agosto de 2013 | 20:44

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    Lo he estado intentando geométricamente y es casi imposible:
    Si el perímetro de un círculo es 2 x Pi x R
    Lo dividimos entre 4 para obtener la longitud de un lado
    L=2 x Pi x R)/4= (Pi x R)/2
    Ahora sacamos el área del cuadrado, a ver si coincide con el área del círculo
    A=L^2
    A=(Pi x R)^2/4=(Pi^2 x R^2)/4 distinto de Pi x R^2
    El perímetro o el área no sería nunca igual, aunque aplicando el teorema del corte de cuerda, siempre sería posible obtener un cuadrado partiendo de un círculo.
    Cojan una cuerda y formen una circunferencia. Pues si cortan esa cuerda, podrán formar un cuadrado con la misma.

  41. Germán Ortega Vázquez | 7 de noviembre de 2013 | 22:22

    Vótalo Thumb up 1

    Yo he conseguido desplegar 2pir de un circulo cualquiera ….mediante regla y compás (como aquí no está demostrado) ……y es fácil ….sólo hay que incluir un hexágono regular
    en el círculo y veremos como se forma una celosía de hexágonos …..dibujable por sus coincidencias de vértices y aristas en los pasos 0º, 90º, 180º, 270º, 360º ……y de éste modo sí que se consigue el famoso 2xpixr …..necesrio para hacer todo ésto !!!

    …..por cierto mi demostración está patentada para que nadie la copie……

  42. Kike77 (EG-CGoya) | 8 de noviembre de 2013 | 02:15

    Vótalo Thumb up 1

    Ya no sólo se trata de que sea casi imposible que al cuadrar un círculo, no coincidan el perímetro con el área. Sino que es igual de imposible para cualquier polígono, ya sea un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono, un heptágono o un octógono.
    Y si tenemos formado el círculo con una cuerda cerrada y sin romper, sólo podremos formar círculos ovalados, elipses,…
    Eso sí, en el momento que demos un corte a la cuerda, podremos formar cualquier polígono (hexágono incluido)
    Que podamos hacer un hexágono regular con un compás tomando como medida el radio, nos puede llevar a error en este concepto, de esa forma podríamos hacer lo mismo con un triángulo y el diámetro.

  43. Arturo | 19 de noviembre de 2013 | 08:09

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    Hola a todos. Muy interesante el tema. Alguien podría decirme si hay forma de trazar un segmento de longitud Pi sin la limitación de regla y compas, con algún mecanismo quizá… es eso posible???? Discúlpenme de antemano si pido un imposible, atribúyanlo a mi ignorancia !!!!!

  44. Kike77 (EG-CGoya) | 22 de noviembre de 2013 | 13:52

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    Hace muchos años me enseñaron como se obtenía π con una cuerda. El profesor dibujaba el círculo, y con ayuda de un alumno, medía el diámetro, marcaba con esa longitud la cuerda y luego la ponía sobre el círculo marcando 3 veces el diámetro con tiza, más el pedazo que quedaba es decir 0,1416= 3,141592……
    Ahora me viene a la mente, que sabiendo que el número π(Pi), no es exacto, aplicar aquello que me enseñaron en la asignatura de Cálculo. Es decir que todo cálculo con decimales puede tener un margen de error. Por lo tanto, aporto el siguiente método. Como nadie ha conseguido obtener todos los decimales de π (mucho mas difícil que cuadrar el círculo), y además no es periódico, cuando entre dos decimales haya una diferencia = ó > a 7, no tomamos más decimales. De esta forma se pierde muy poco. Quedando π=3,14159. Los dos últimos decimales son 9 y 2, con una diferencia de 7.
    Si π fuese = 3, si coincidiría al triangular el círculo, el área del círculo con el del triángulo equilátero, pero no es así.
    En mi primera exposición puse que al cuadrar el círculo cortando una cuerda cerrada, no coincide el área del círculo con el del cuadrado. De la siguiente forma, y mejorando la puesta de las variables, ya que en el teclado no hay muchas opciones.
    Longitud de un lado
    L=(2 πr)/4= ( πr)/2
    Área del cuadrado, en comparación con el área del círculo
    A= L2
    A=(πr)2 / 4= (π2r2) / 4 distinto de πr2 el dos pegado a la derecha es elevado a 2, ya que no encuentro otra opción mejor, ó ^2 como hice la primera vez, y que con un lenguaje de programación se entiende bien. Aunque preferí poner x que es más clásico, en vez de *

  45. Dani Patillas | 24 de noviembre de 2013 | 10:52

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    Efectivamente como cuentas en este artículo no se puede dibujar con regla y compás.

    Se puede dibujar con un rodillo que dé una vuelta exacta. El problema está en que no existe persona humana capaz de dar una vuelta exacta al rodillo.

    En tu demostración continuas el problema de dibujar a partir de que hemos dado la vuelta exacta y todo es correcto, pero para demostrar que se puede dibujar tenias que haber dado la vuelta exacta a ese rodillo, pero no lo has hecho, es decir, teóricamente se puede, pero en la práctica es imposible (no creo que haya ser humano que sea capaz de hacerlo).

    Los profesores de dibujo no te mandan que hagas los dibujos con rodillos, además habría que diseñar y fabricar una herramienta “rodillo de radio variable” para distintos círculos”. Bueno, esto ya es desvariar,…

    Saludos, Dani.

  46. Kike77 (EG-CGoya) | 24 de noviembre de 2013 | 21:00

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    No os comáis tanto el coco. Con un círculo cerrado hecho con una cuerda o alambre, si le dais un corte, luego obtendréis un cuadrado dándole la forma adecuada. Aunque como ya demostré, no tenga el mismo área. Cualquier ser humano con algo de conocimiento puede hacerlo de esta manera. Si alguien coge un círculo y después de darle un corte a esa cuerda, no consigue formar un cuadrado, dígamelo.

  47. sanchez | 19 de diciembre de 2013 | 19:36

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    Si cortas un circulo de hilo dejas de tener un circulo y pasas a tener un segmento, con un segmento haces la figura que quieras….

  48. Kike77 (EG-CGoya) | 19 de diciembre de 2013 | 21:29

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    De eso se trata, de dejar de tener un círculo sin variar su perímetro y transformarlo en el polígono que queramos. Pues una vez entendido esto. Debemos comprender dos demostraciones, una la del titular y otra, la mía.
    Si obtenemos un cuadrado con el mismo área que un círculo, nunca tendrá el mismo perímetro, y si obtenemos un círculo con el mismo perímetro que el cuadrado nunca tendrá el mismo área.
    Dicho sea de paso, no es necesario formar un segmento con el círculo haciendo un corte al hilo,cuerda o alambre, si vamos a hacer figuras curvilíneas como óvalos, elipses,etc. Sí es apropiado darle un corte formando un segmento, que como ya no cabe duda, nos ayudará a cuadrar el círculo.
    Editado en Santander.

  49. FRAMUS | 29 de enero de 2014 | 11:28

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    NO SE PUEDE CUADRAR POR EL HECHO DE LA INFINITUD DEL NÚMERO PI

  50. Kike77 (EG-CGoya) | 1 de febrero de 2014 | 18:32

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    ¿De verdad crees que después de lo que hemos demostrado, que no se puede cuadrar un círculo?. Coge un alambre maleable a lo largo como un segmento y forma una circunferencia. Te aseguro que con el mismo alambre podrás formar un cuadrado. Esto es una simple demostración físico-geométrica.

  51. Niputaidea | 29 de marzo de 2014 | 14:31

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    Con un compás se traza un círculo. Sabiendo el radio del círculo (midiendo con la regla la apertura del compás), se puede hallar el área. Sabiendo el área del círculo, la raíz cuadrada de esa área nos dará el lado del cuadrado. Tan complicado es? Y no tengo ni idea de matemáticas.

  52. Juan Cad-Projects | 4 de abril de 2014 | 05:30

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    Yo conozco un método con regla y compas, es una aproximación bastante parecida podéis verla en :

    cuadratura circulo

    http://www.cad-projects.org/4.2.1.2-relaciones_geometricas/index.php?art=2#cuadratura circulo

  53. gustavo | 20 de abril de 2014 | 22:23

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    si queremos un cuadrado de lado l de la misma area del circulo de radio r entonces r^2.pi=l^2. Aplicando raiz cuadrada en ambos lados de la igualdad se tene que l=r.raiz de pi

  54. gustavo | 20 de abril de 2014 | 22:31

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    un cuadrado platonico jaja

  55. Kike77 (EG-CGoya) | 27 de abril de 2014 | 18:25

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    No basta sólo con decir que dos cosas son “iguales”, sino que hay que demostrarlo. Tal y como hice desde el principio.
    Ahora me permito el lujo de hacerlo en inglés.
    I’ve been trying geometrically and is almost impossible:
    If the perimeter of a circle is 2 * Pi * R
    Divide by 4 to get the length of a side
    L = (2 * pi * R) / 4 = (Pi * R) / 2
    Now we get the area of ​​the square, to see if it matches the area of ​​the circle
    A = L ^ 2
    A = (Pi *R) ^ 2/4 = (Pi ^ 2 * R ^ 2) / 4 other than Pi * R ^ 2
    The perimeter or area would never be equal, although applying the cord cut theorem would always be possible to obtain a square based on a circle.
    Caught a rope and form a circle. Well if they cut that thin rope, may form a square with the same thin rope

  56. Kike77 (EG-CGoya) | 30 de abril de 2014 | 22:29

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    Demostración paso a paso

    https://www.dropbox.com/s/y369fm5n15eabua/Cuadratura%20Circulo.jpg

    Y los resultados que he obtenido. De los cuales se pueden sacar algunas conclusiones

  57. Hipólito | 10 de mayo de 2014 | 05:06

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    Parece ser que no encontramos doblar a Euclides y dicen que Eisntein quería mas matemáticas para hacer mas física y nos volvemos filósofos , sigue siendo o trampa sofistica pero hasta el momento la lógica …estamos en deuda o no

  58. Hipólito | 10 de mayo de 2014 | 05:19

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  59. hugo | 30 de mayo de 2014 | 06:39

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    El problema sigue siendo encontrar con regla y compas la longitud r*pi

  60. kike77 | 30 de mayo de 2014 | 16:38

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    Con regla y compás, usándolos desde el principio, es completamente imposible. Con el segmento que se obtiene al cortar la cuerda, hilo, alambre maleable o cinta es totalmente posible.
    Ahora si os hace ilusión usar regla y compás, lo podéis hacer después de cortar la cuerda, teniendo el segmento totalmente estirado, cogéis y con el compás hacéis dos mediatrices. Finalmente comprobáis con la regla que los cuatro lados son iguales.

  61. Carlos Alberto Carcagno | 11 de agosto de 2014 | 16:07

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    Hola:

    Que la cuadratura del círculo no se pueda hacer con regla no graduada de un solo borde -de longitud indefinida- y un compás “sin memoria” (si lo levanto del papel pierde la medida; o sea, que no se pueden transportar medidas) porque pi es un número trascendente, es una verdad a medias; esto dicho sin ningún tipo de intención negativa hacia quienes lo afirman.

    El problema de la cuadratura del círculo tiene, más bien, que ver con que no puedo dibujar simultáneamente un segmento de recta que represente la unidad y otro que represente a pi en la misma escala.

    Es cierta la implicación: “si pi es trascendente y le asigno un segmento de recta de valor arbitrario, entonces, no me es posible dibujar la unidad con respecto a ese valor arbirario”. Pero no es cierta la implicación: “si no puedo dibujar la unidad con respecto a un segmento arbitrario que represente a pi, entonces, pi es trascendente.” Esto se da también con números algebraicos no explícitos, como ciertas raíces de ecuaciones de quinto grado, por ejemplo.

    Dado un segmento que representa a pi, me es posible construir con regla y compás todos los múltiplos de pi, tanto si uso números enteros, como si utilizo racionales. También me es posible hacer construcciones que representen a pi multiplicado por un irracional cuadrático. También puedo sumar algebraicamente esas expresiones construibles. Pero no puedo dar un segmento que represente a la unidad por estos medios y tampoco puedo saltar a una potencia superior de pi ni a su recíproco (1/pi). El conjunto que contenga estos elementos carece de unidad.

    Cordiales saludos.

  62. Carlos Alberto Carcagno | 12 de agosto de 2014 | 01:31

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    Hola:

    Dejo aquí una aproximación elegante y precisa del valor de pi, debida al genio de Ramanuján:

    pi = \sqrt[4]{9^2+\frac{19^2}{22}}

    Esta expresión logra un valor aproximado de pi con un error menor a 0,0032 partes por millón. Un error de 1 parte por millón equivale a 1 milímetro en un kilómetro; por lo que esta expresión obtiene un valor tan preciso de pi como para construir la rectificación de una circunferencia de 1 km de diámetro con un error inferior al tercio de micra. No existe tecnología en el mundo capaz de realizar semejante hazaña. Sin embargo, pi tiene infinitos decimales y estamos muy lejos de su valor real.

    Pero, ¿qué significa esto?

    Un dibujo, una cuerda o un alambre son objetos físicos. Ningún objeto físico es infinitamente pequeño; la partícula elemental más pequeña es infinitamente más grande que un punto geométrico. Un punto geométrico no tiene dimensiones, los objetos del mundo real sí. Sea, por ejemplo, una partícula que tenga un diámetro de 10 elevado a la menos trece-ava potencia de un centímetro. En un segmento de recta de esa longitud hay tantos puntos como en toda la recta, que se extiende desde menos infinito a más infinito. Esto está demostrado. (Como también está demostrado que hay la misma cantidad que en todo el plano o en todo el espacio) ¿Cómo cortar un alambre para que termine exactamente en el punto correspondiente a pi? Sería completamente imposible que fuera justo un múltiplo de esa longitud, porque así pi sería un racional. Así que, forzosamente, no podríamos estar más cerca o más lejos que un diámetro de la partícula y esto nos alejaría una infinidad de decimales del valor correcto. [Los que saben algo de Física no tomen esto al pie de la letra y, los que no saben, tampoco. Es una imagen alegórica]

    Nadie puede dibujar, ni cortar, con esa exactitud. Pero sí puede hacerse por un acto de la mente. Por ejemplo, si dibujo un cuadrado de lado unitario sé, sin una mínima duda, que su diagonal es la raíz cuadrada de dos. No importa si fui desprolijo o si el cuadrado no tiene sus ángulos rigurosamente iguales. Por un acto de la mente, sería exacto si fuese posible dibujar con puntos sin extensión y sin cometer ningún error. En cambio, con pi no es posible, porque no hay una expresión matemática finita que permita representarlo. El proceso no tendría fin; precisaríamos una eternidad y, aún así, no llegaríamos nunca.

    Los objetos matemáticos son arquetípicos e ideales. Idealmente, y conforme a la lógica, podemos imaginar compases que dibujen puntos geométricos y no manchas de tinta (que tienen volumen y proyectan sombra) o trazos groseros de tiza, como los compases reales.

    Cordiales saludos.

  63. Carlos Leonel | 21 de agosto de 2014 | 05:20

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    A ver algo estás haciendo mal y al parecer es todo. En primera instancia estás ¨CUADRANDO¨ un círculo que tiene como ¨DIÁMETRO = (PI*R)+R¨. Recuerda que el área de un círculo es igual a ¨PI * R^2¨ y el Radio es la mitad del Diámetro, o sea: ¨PI*((PI*2R)/2)^2¨.
    Resolviendo esto nos va a quedar que el área de tu círculo es: PI*((PI*R)^2), o sea; PI^3*R^2.
    Bien el cuadrado que tu estás cuadrando, dentro de ese círculo, tiene de área PI*R^2.
    NI UNA PIZCA SE PARECEN LAS ÁREAS…

  64. vanessa | 18 de septiembre de 2014 | 11:16

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    El tema no es la restricción es la simplicidad evolutiva.compás y escuadra es simple…menos para conseguir mismo resultado y todos los resultados en geometría pitagórica.

    La espiral del numero phi es la evolución del circulo que evoluciona a medida que todo vacuadrando en cada punto del cuadrado hasta que vuelve a ser un cuadrado regular.La racionalidad es precisa para llegar a la coherencia en los s hechos necesaria para la mente del hombre y la irracionalidad para llevar a cabo su evolución desde lo más profundo de su verdad…no tiene sentido si solo buscamos respuestas racionales…pues lo irracional existe como existe lo inmaterial y subatómico….como existe el aliento la voz y el gesto.

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