¿Quién fue el primero que probó que “la constante del círculo” (Pi) es constante?

Hoy, Día Internacional de Pi, vamos a adentrarnos en un tema que, posiblemente, no nos hayamos planteado lo suficiente: la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una constante. Es decir: si dividimos la longitud, C, de una circunferencia entre el díametro, d, de la misma, el resultado es siempre el mismo, sea cual sea la circunferencia. Esa constante, como todos sabemos, es nuestro querido y amado número Pi.

Entrada del edificio de matemáticas de la Universidad Técnica de Berlín (TU Berlin)

Lo primero que podríamos plantearnos es si es necesario demostrar este hecho, ya que parece evidente…pero en matemáticas no dejamos nada (o casi nada) sin demostrar, por muy evidente que nos pueda parecer. Es decir, sí, hace falta una demostración.

Después de aclarar esto, hay algunas cuestiones al respecto que sería interesante responder: ¿Quién fue el primero que lo demostró? ¿Cuándo lo hizo? ¿Cómo lo consiguió?. A todo ello nos dedicaremos en el resto de este artículo.

En principio, podríamos pensar que yendo hacia atrás en la historia será sencillo encontrar el momento en el que se demostró este hecho y a su protagonista, ¿verdad? Pues en realidad no parece que sea tan fácil. Y no lo digo yo, sino David Richeson, historiador de las matemáticas (y autor del blog Division by Zero) que nos relata su propia búsqueda histórica en el trabajo Circula reasoning: Who first proved that C/d is a constant?.

Os cuento lo que acabó encontrándo David. La cuestión que nos ocupa se remonta, como no podía ser de otra forma, a los matemáticos de la antigua Grecia. Euclides, en la Proposición XII.2 de sus Elementos, prueba lo siguiente:

Dos círculos son el uno al otro como lo son los cuadrados de sus diámetros.

En notación moderna, sabiendo que con círculo se refiere a área del círculo, esto puede escribirse de la siguiente forma:

\cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{d_1^2}{d_2^2}

Es decir, el valor A/d^2 es el mismo para cualquier círculo, y por tanto también lo es el valor A/r^2.

Euclides podría haber seguido y haber demostrado alguna proposición del tipo “Dos circunferencias son la una a la otra como lo son sus diámetros”…pero no encontramos nada parecido en sus obras.

En este punto es donde entra en juego el segundo protagonista de esta historia: Arquímedes. Este gran matemático griego será el que, más o menos, complete el argumento que por ahora tenemos a medias.

En su trabajo Sobre la medida del círculo, Arquímedes prueba lo siguiente:

El área de un círculo es igual área de un triángulo rectángulo en el que uno de los lados que forman el ángulo recto mide lo mismo que el rádio del círculo y el otro mide lo mismo que la circunferencia del círculo inicial.

En notación actual, tenemos que Arquímedes demostró que lo siguiente se cumple para cualquier círculo (en el trabajo de Richeson que enlacé antes tenéis una demostración de este hecho):

A=\cfrac{1}{2} \; C \cdot r

Aunque parece ser que Arquímedes no da el paso de unir explícitamente estos dos resultados para demostrar que la razón entre la circunferencia y el diámetro es constante, despejando C de esta última igualdad (y sabiendo que d=2r) es sencillo ver que en realidad es así:

\cfrac{C}{d}=\left ( \cfrac{2A}{r} \right ) \cdot \cfrac{1}{d}=\left ( \cfrac{2A}{r} \right ) \cdot \cfrac{1}{2r}=\cfrac{A}{r^2}=constante

Esa constante, que lo es por lo comentado a partir de la Proposición XII.2 de los Elementos, es la que a la postre acabó llamándose \pi.


Quiero agradecer enormemente a @SamuelDalva que me sugiriera escribir sobre esto y que me enviara la información necesaria para ello. Samuel, sin tu ayuda, no habría podido escribir esta entrada.


La imagen que ilustra el artículo la he tomado de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. pi = 2.Sen(x).(pi/x) cuando x tiende a cero. Es una idea mìa, espero les guste.

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    • Disculpen lo correcto es: 2(pi) = 2.Sen(x).(pi/x) es decir: pi = Sen(x).(pi/x) cuando x tiende a cero

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      • Si: pi = Sen(x).(pi/x) y eliminamos pi, entonces, hallamos indirectamente el límite de: Sen(x)/(x) = 1 cuando x tiende a cero.

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  2. Buenas tardes DiAmOnD, interesante post. La verdad siempre me había preguntado lo mismo, ¿como hicieron para demostrar que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro siempre daba el mismo número ?

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