Raíces complejas y espirales

Qué interesantes son los números complejos. La cantidad de curiosidades que pueden sacarse a partir de sus propiedades tiende a infinito, y por ello vale la pena adentrarse en su estudio con el objetivo de profundizar en el conocimiento de este conjunto.

La curiosidad que vamos a comentar hoy está relacionada con las raíces n-ésimas de los números complejos, cuyo cálculo describimos aquí. No está de más recordar que en el conjunto \mathbb{C} de los complejos se cumple que cada z \in \mathbb{C} tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas: dos raíces, cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc. Esto en \mathbb{R} no ocurre siempre (hay números reales que tienen dos raíces cuadradas, números reales que tiene solamente una y números reales que no tienen ninguna).

Sabiendo esto, vamos a tomar un número complejo y a calcular sus raíces n-ésimas. Si tomamos el número complejo z=x+iy, podemos representarlo en un plano mediante el punto P=(x,y):

Sabemos entonces que las coordenadas polares de ese punto, r y \theta, son respectivamente el módulo de z y el argumento de z. Con estos dos valores podemos escribir la forma polar de z de la siguiente forma:

z=r_{\theta}

Tomemos un número complejo z con módulo m y argumento \alpha, esto es, z=m_{\alpha}. Sus raíces n-ésimas quedarían de la siguiente forma:

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{m}_{\frac{\alpha+2k \pi}{n}}, con k=0,1, \ldots , n-1

Esto significa varias cosas: que tenemos n raíces n-ésimas distintas, que todas tienen módulo igual a \sqrt[n]{m} y que el argumento es lo que cambia entre ellas.

La curiosidad más conocida asociada a las raíces n-ésimas de un número complejo es que si las representamos en un plano (como hemos hecho antes) obtenemos los vértices de un polígono regular de n lados (hecho que ya comentamos aquí). Lo que vamos a comentar hoy seguro que no os resulta tan familiar.

Partimos de un número complejo como el anterior que no sea un número real positivo (es decir, que tenga argumento distinto de cero). De todas las raíces n-ésimas calculadas nos vamos a quedar con la que corresponde a k=0, esto es, con

z_1=\sqrt[n]{m}_{\frac{\alpha}{n}}

Este z_1 es también un número complejo, por lo que podemos calcular sus raíces n-ésimas. Las calculamos y volvemos a quedarnos correspondiente a k=0, obteniendo

z_2=\sqrt[n^2]{m}_{\frac{\alpha}{n^2}}

Continuando con este procedimiento obtenemos

z_3=\sqrt[n^3]{m}_{\frac{\alpha}{n^3}}

y

z_4=\sqrt[n^4]{m}_{\frac{\alpha}{n^4}}

y así sucesivamente. Lo que obtenemos es la siguiente sucesión de números complejos:

z_k=\sqrt[n^k]{m}_{\frac{\alpha}{n^k}}

Bien, pues lo curioso e interesante del asunto es que todos estos números complejos, sea cual sea n, están sobre la misma espiral, concretamente la que tiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:

r=m^{\frac{\theta}{\alpha}}

Esto es fácil de comprobar. Lo vemos:

Mediante el proceso anterior hemos visto que llegamos a la siguiente sucesión de números complejos:

z_k=\sqrt[n^k]{m}_{\frac{\alpha}{n^k}}

Como están escritos en forma polar, tenemos que su módulo r y su argumento \theta son los siguientes:

r=\sqrt[n^k]{m} \; | \; \theta=\frac{\alpha}{n^k}

Colocando el módulo como potencia y expresando la fracción del argumento de otra forma obtenemos lo siguiente:

r=m^{\frac{1}{n^k}} \; | \; n^k=\frac{\alpha}{\theta}

Y sustituyendo lo obtenido en el segundo miembro en el exponente del primero obtenemos la siguiente ecuación en coordenadas polares:

r=m^{\frac{\theta}{\alpha}}

que es precisamente la ecuación en polares de una espiral, donde los parámetros a tener en cuenta son el módulo m y el argumento \alpha del número complejo inicial.

Para finalizar os dejo un par de imágenes de una de estas espirales generada con Graph.tk. La primera corresponde al número complejo z=2_{\frac{\pi}{4}}, que genera la espiral r=2^{\frac{4 \theta}{\pi}}

que cerca del origen tiene la siguiente pinta:

Lo dicho: ¡qué interesantes son los números complejos!.


Este artículo está basado en una colaboración que nuestro gran lector Imanol Pérez Arribas envió al mail del blog, gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

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11 comentarios

  1. JJGJJG | 10 de octubre de 2011 | 11:23

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    Conozco números reales que tienen dos raíces reales y números reales que no tienen ninguna raíz real pero ¿existen números reales (en plural) que solo tengan una raíz real?

  2. Trackback | 10 oct, 2011

    Bitacoras.com

  3. gaussianos | 10 de octubre de 2011 | 13:29

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    JJGJJG, vale, “en plural” no, solamente el cero :).

  4. Hat | 10 de octubre de 2011 | 13:35

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    0

  5. Matías | 10 de octubre de 2011 | 15:03

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    Muy interesante.
    Los números complejos son la ostia!!!.

  6. Imanol Pérez | 10 de octubre de 2011 | 15:33

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    Me encanta el entusiasmo de Matías :D

  7. Zurditorium | 10 de octubre de 2011 | 16:40

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    Imanol Pérez, si Matías llega a escribir hostia en vez de ostia, su comentario ya habría sido la hostia :D .

  8. Kovalevsky | 10 de octubre de 2011 | 16:43

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    Jajajaja qué buen artículo. No sabía que se podía hacer eso con los números complejos.
    En Dimensions se explica un poco más sobre los complejos y es interesante las otras propiedades que presenta, pero ésta era de sorpresa.
    Buen artículo profesor.

  9. pedro | 10 de octubre de 2011 | 19:52

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    Que interante son los numeros complejos, espero que publican mas sobre esto, principalmente en su forma de mapearlo!!

  10. betty artesi | 10 de octubre de 2011 | 21:23

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    Ecxelente sitio!
    No es posible leer algo en este blog y no entretenerte en los laberintos del saber.
    Felicitaciones al autor y colaboradores!!

  11. Rama Nujan | 15 de octubre de 2011 | 19:50

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    Hola,

    gaussianos escribio:
    >JJGJJG, vale, “en plural” no, solamente el cero :) .

    No, la calculadora que utilizo implementa el standard IEEE para cálculos en coma flotante y gracias a ello distingue entre +0 y -0, que por tanto son las dos raices cuadradas de 0.

    Aparte del cero con signo, también contempla y maneja +Inf, -Inf, NaN, y números complejos por descontado.

    Saludos.

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