Relación entre un polinomio y sus derivadas

Os dejo el problema de esta semana:

Sea p(x) un polinomio en la variable real x. Demostrar que \left [ p^\prime (x) \right ]^2 \ge p(x) \cdot p^{\prime\prime} (x), \; \forall x\in\mathbb{R}.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Usando el problema de las raíces de un polinomio y su derivada… basta comprobar que \frac{d}{dx} \ln p(x)\ge \frac{d}{dx} \ln p`(x)

    PD: no me coje el carácter ‘ en LaTeX

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  2. El truco es desarrollar el polinomio en productos \displaystyle{(x-c_i)^{n_i}} de sus raíces complejas, y utilizar las propiedades de estas raíces cuando el polinomio es real.

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  3. Tal y como está planteado, el resultado es totalmente imposible. Es más, dados a,b,c cualesquiera es posible encontrar un polinomio p(x) de grado 2 tal que p(0)=a, p'(0)=b y p”(0)=c. Basta tomar a,b,c tales que b^2<ac para encontrar un contraejemplo.

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  4. Me temo que tampoco basta que tenga raíces reales…

    Sea el polinomio de segundo grado:

    P(x) = A*x^2 + B*x + C

    Raíces reales sii (sí y sólo si) B^2 >= 4*A*C

    Según lo que dice Antonio, en el polinomio de segundo grado la condición es b^2 >= a*c
    siendo:
    a = P(0) = C
    b = P'(0) = B
    c = P”(0) = 2*A

    Así que la condición de Antonio es B^2 >= 2*A*C

    Pero 4*A*C no siempre es mayor o igual que 2*A*C
    y por tanto raíces reales no implica que se cumpla la desigualdad en x=0

    4AC >= 2*AC sii AC >= 0

    Ej: A=1, B=0, C=-1

    B^2 = 0 > -4 (raíces +1 y -1)

    P’ = 2x
    P” = 2

    (P’)^2 = 4*x^2

    P * P” = 2*(x^2 + 1)

    D(x) = (P’)^2 – P * P” >= 0 ??

    D(x) = 4*x^2 – 2*x^2 – 1 = 2*x^2 – 1 …

    D(0) = -1

    Quizá si se multiplicase por 2 el término de la derecha:
    [P'(x)]^2 >= 2* P(x)*P”(x)

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  5. Perdón por comentar aquí, es que no sabía donde poner esta duda y me corre un poco de prisa resolverla.

    Estoy cursando primero de bachillerato y los exámenes estan al caer.

    Podríais resolverme la siguiente duda?

    tan x = 2·sin^2 x

    Gracias por adelantado, y disculpad las molestias.

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  6. [Perdón al resto, pero voy a contestar a David]
    (aunque quizá no debería, pero haré una excepción)

    tangente = seno / coseno

    ¿puede ser igual a 2* seno * seno ?

    En ese caso, diviendo ambos por seno (en caso de que este seno no sea cero, claro, jeje), sería:

    ¿ 1 / coseno = 2 * seno ?

    o bien, ¿ 2* seno * coseno = 1 ?

    EVIDENTEMENTE, la respuesta a la pregunta es NO.

    2*sin(x)*cos(x) = sin (2*x)

    y eso no es lo mismo que 1 siempre, está claro.

    El seno es 1 cuando el ángulo es PI/2 (más un número entero de vueltas)

    Así que sólo es cierto cuando 2*x = PI/2 + n*(2*PI)

    Es decir, cuando x = PI/4 + n*PI

    (si no te suenan los ángulos x = PI, que se llaman “radianes” y es la forma más habitual, ten en cuenta que es lo mismo que 180 grados … x = 45º+n*180º)

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  7. Muchas gracias por ayudarme Acid, y perdón a todos por postear donde no debo.

    Debo decir que me encanta esta web, aunque mi nivel aun no es muy bueno y no comprendo demasiadas cosas.

    Espero ser más útil en un futuro.

    Gracias a todos y reitero mi disculpa.

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  8. [Disculpas por seguir desvirtuando]

    Acid:

    También se cumple la igualdad cuando sen(x) = 0, es decir, cuando x = kπ con k número entero.

    Por cierto, a mí también me pasa lo mismo: me gusta mucho la página pero hay muchas cosas que no entiendo.

    ¡Saludos!

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  9. Entonces pregunto, ¿El enunciado del problema de la semana es correcto o no es correcto? Porque yo ya me he hecho un lio

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  10. Voy a intentar hacer la demostración de una manera sencilla y simplificada.

    Para no entrar en el farragoso terreno de los sumatorios (además no domino el LaTex) voy a considerar el polinomio P(x)=a·x^{n}, despreciando, por ahora, los términos inferiores.

    P(x)=a·x^{n}
    P'(x)=a·n·x^{n-1}
    P”(x)=a·n·(n-1)·x^{n-2}

    entonces tenemos que
    P(x)·P”(x)=a^{2}·n·(n-1)·x^{2n-2}
    [P'(x)]^{2}=a^{2}·n^{2}·x^{2n-2}

    por lo que la relación entre expresiones
    [P'(x)]^{2}]/P(x)·P”(x)=n
    que por definición es un número entero mayor o igual a 0.

    Demostrada la relación en un término del polinomio se puede extender a todos los términos de este, manteniéndose la relación al ser una suma de elementos.

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  11. fkpozo,

    Hay varios fallos:

    [P'(x)]^{2}]/P(x)·P”(x)= n/(n-1)

    * Si n es 1 (monomios en x) ¡resulta que P” es cero! así que no puedes dividir por P”
    Al dividir por 0… el razonamiento no estaría bien, aunque cambiando por [P'(x)]^{2}] * (n-1) = n * P(x)·P”(x)
    ya sí sería correcto y esto prueba que en cualquier monomio se cumple la desigualdad…

    * Pero el mayor error es la frase final: pensar que si se cumple en un monomio también se cumplirá en un polinomio…

    P(x) = M1(x) + M2(x) …

    P'(x) = M1′(x) + M2′(x) …

    P”(x) = M1”(x) + M2”(x) …

    Sabemos que [M1′(x)]^2 >= M1(x) * M1”(x)

    Pero [P'(x)]^2 = [M1′(x) + M2′(x) …]^2 =
    = Suma de cuadrados + otras cosas …
    y esas otras cosas pueden ser negativas

    Además P(x)*P”(x) no es la suma de productos Mi * Mi”

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  12. Cierto, el enunciado es erróneo. El problema no es mío. A ver si pronto puedo poner el enunciado exacto.

    Perdón por las molestias.

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  13. Efectivamente, el enunciado es correcto sólo si se asume que el polinomio tiene todas sus raíces reales, sean simples o no. El caso de polinomios constantes es obvio.

    Pido disculpas por la grave omisión en el enunciado (¡vaya racha que llevo!) y por la tardanza en arreglar este jaleo.

    Como bien comentaron desde un principio Gulliver y Tito Eliatron, si a_1,\ldots,a_n son las n raíces reales del polinomio p(x) (de grado n), basta tener en cuenta que

    1) si x=a_k se cumple la propiedad; y

    2) si x no es raíz de p(x), entonces

    \dfrac{p^{\prime \prime}(x)p(x)-p^{\prime}(x)^2}{p(x)^2}=-\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(x-a_k)^2}},

    expresión que se obtiene derivando el cociente \dfrac{p^\prime(x)}{p(x)}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x-a_k}}.

    Como bien ha notado Antonio, la propiedad no es cierta para polinomios que tengan alguna raíz compleja.

    Espero haber remendado algo el entuerto. Saludos.

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  14. Está claro. Sólo faltaría por aclarar el error en lo que decía Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 18:26 siguiendo el comentario anterior de Antonio.

    Para un polinomio cuadrático p(x) = A x^2 + B x + C podríamos encontrar un contraejemplo de la propiedad en x=0 si tuviéramos B^2 \le 2 C A. Entonces, deberíamos poder garantizar que B^2 > 2 C A [1]

    Acid decía (correctamente) que la condición de raíces reales distintas implicaba que B^2 > 4 A C [2], pero que esto no implicaba a su vez [1], lo cual dejaba las puertas a un contraejemplo que refutara la propiedad.
    Pero esto último es incorrecto. Sí lo implica. Porque, una de dos: si A C es negativo (o cero) [1] se cumple trivialmente; y si A C es positivo, entonces 4 A C > 2 A C y entonces [2] implica [1].

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  15. Cierto Hernán… Yo metí la pata hasta el fondo en el supuesto “contraejemplo” que puse.
    Y como dices, también si B^2 es mayor que 4*A*C serán raíces reales y también será mayor que 2*A*C (entre otras cosas B^2 >= 0 … Es decir, en general Algo >= 4*A*C no implica Algo >= 2*A*C pero siendo ese Algo >= 0 entonces sí)

    Analizando completamente el caso de segundo grado:

    P=A*x^2 + B*x + C
    P’=2*A*x + B , P”=2*A
    P’^2= 4*A^2*x^2 + B^2 + 4*A*B*x
    P”*P = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + 2*A*C
    Restando: D(x) = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + B^2 – 2*A*C

    Para x=0, sólo sii B^2 – 2*A*C >= 0 (lo que decía antonio)

    Y, en general, para todo x:
    D(x) nunca es negativo, ya que no tiene raíces reales:
    4*A^2*B^2 + 16*A^3*C – 8*A^2*B^2 = 16*A^3*C – 4*A^2*B^2
    dividiendo entre 4*A^2 : 4*A*C – B^2
    menor o igual a cero (si P(x) tiene raíces reales, D(x) no las tiene y será siempre positivo ).

    En el ejemplo:

    P = x^2-1
    P’ = 2x
    P” = 2

    (P’)^2 = 4*x^2

    P * P” = 2*(x^2 – 1)

    D(x) = (P’)^2 – P * P” >= 0 ??

    = 2*x^2 + 2 Mayor que 0

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