Relación entre un polinomio y sus derivadas

Os dejo el problema de esta semana:

Sea $p(x)$ un polinomio en la variable real $x$ . Demostrar que $\left [ p^\prime (x) \right ]^2 \ge p(x) \cdot p^{\prime\prime} (x), \; \forall x\in\mathbb{R}$ .

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Noviembre de 2008
Categorías: Juegos

21 comentarios

Gulliver | 18 de Noviembre de 2008 | 10:54

No es muy diferente del pasado juego sobre la suma de raíces. Se puede hacer desarrollando $\displaystyle{ -\left[p(x)\right]^2 \frac{d}{dx}\frac{p^\prime(x)}{p(x)} }$
Tito Eliatron | 18 de Noviembre de 2008 | 11:00

Usando el problema de las raíces de un polinomio y su derivada… basta comprobar que $\frac{d}{dx} \ln p(x)\ge \frac{d}{dx} \ln p`(x)$

PD: no me coje el carácter ‘ en LaTeX
Gulliver | 18 de Noviembre de 2008 | 11:08

El truco es desarrollar el polinomio en productos $\displaystyle{(x-c_i)^{n_i}}$ de sus raíces complejas, y utilizar las propiedades de estas raíces cuando el polinomio es real.
Gulliver | 18 de Noviembre de 2008 | 11:10

Tito, utiliza p(x)^\prime
Antonio | 18 de Noviembre de 2008 | 12:51

Tal y como está planteado, el resultado es totalmente imposible. Es más, dados a,b,c cualesquiera es posible encontrar un polinomio p(x) de grado 2 tal que p(0)=a, p’(0)=b y p”(0)=c. Basta tomar a,b,c tales que b^2<ac para encontrar un contraejemplo.
Gulliver | 18 de Noviembre de 2008 | 13:04

Antonio tiene razón
Tito Eliatron | 18 de Noviembre de 2008 | 13:07

A lo mejor hace falta que tenga todas las raíces reales y distintas.
Gulliver | 18 de Noviembre de 2008 | 13:29

Basta con que las raíces sean reales
Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 18:26

Me temo que tampoco basta que tenga raíces reales…

Sea el polinomio de segundo grado:

P(x) = A*x^2 + B*x + C

Raíces reales sii (sí y sólo si) B^2 >= 4*A*C

Según lo que dice Antonio, en el polinomio de segundo grado la condición es b^2 >= a*c
siendo:
a = P(0) = C
b = P’(0) = B
c = P”(0) = 2*A

Así que la condición de Antonio es B^2 >= 2*A*C

Pero 4*A*C no siempre es mayor o igual que 2*A*C
y por tanto raíces reales no implica que se cumpla la desigualdad en x=0

4AC >= 2*AC sii AC >= 0

Ej: A=1, B=0, C=-1

B^2 = 0 > -4 (raíces +1 y -1)

P’ = 2x
P” = 2

(P’)^2 = 4*x^2

P * P” = 2*(x^2 + 1)

D(x) = (P’)^2 - P * P” >= 0 ??

D(x) = 4*x^2 - 2*x^2 - 1 = 2*x^2 - 1 …

D(0) = -1

Quizá si se multiplicase por 2 el término de la derecha:
[P'(x)]^2 >= 2* P(x)*P”(x)
Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 18:56

(Perdón por no vestirlo de LaTeX … no estoy muy puesto en BDSM O_O jejeje)
David | 18 de Noviembre de 2008 | 20:58

Perdón por comentar aquí, es que no sabía donde poner esta duda y me corre un poco de prisa resolverla.

Estoy cursando primero de bachillerato y los exámenes estan al caer.

Podríais resolverme la siguiente duda?

tan x = 2·sin^2 x

Gracias por adelantado, y disculpad las molestias.
Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 21:31

[Perdón al resto, pero voy a contestar a David]
(aunque quizá no debería, pero haré una excepción)

tangente = seno / coseno

¿puede ser igual a 2* seno * seno ?

En ese caso, diviendo ambos por seno (en caso de que este seno no sea cero, claro, jeje), sería:

¿ 1 / coseno = 2 * seno ?

o bien, ¿ 2* seno * coseno = 1 ?

EVIDENTEMENTE, la respuesta a la pregunta es NO.

2*sin(x)*cos(x) = sin (2*x)

y eso no es lo mismo que 1 siempre, está claro.

El seno es 1 cuando el ángulo es PI/2 (más un número entero de vueltas)

Así que sólo es cierto cuando 2*x = PI/2 + n*(2*PI)

Es decir, cuando x = PI/4 + n*PI

(si no te suenan los ángulos x = PI, que se llaman “radianes” y es la forma más habitual, ten en cuenta que es lo mismo que 180 grados … x = 45º+n*180º)
David | 18 de Noviembre de 2008 | 21:44

Muchas gracias por ayudarme Acid, y perdón a todos por postear donde no debo.

Debo decir que me encanta esta web, aunque mi nivel aun no es muy bueno y no comprendo demasiadas cosas.

Espero ser más útil en un futuro.

Gracias a todos y reitero mi disculpa.
Santiago | 20 de Noviembre de 2008 | 4:30

[Disculpas por seguir desvirtuando]

Acid:

También se cumple la igualdad cuando sen(x) = 0, es decir, cuando x = kπ con k número entero.

Por cierto, a mí también me pasa lo mismo: me gusta mucho la página pero hay muchas cosas que no entiendo.

¡Saludos!
Cristobal | 21 de Noviembre de 2008 | 6:13

Entonces pregunto, ¿El enunciado del problema de la semana es correcto o no es correcto? Porque yo ya me he hecho un lio
fkpozo | 21 de Noviembre de 2008 | 12:57

Voy a intentar hacer la demostración de una manera sencilla y simplificada.

Para no entrar en el farragoso terreno de los sumatorios (además no domino el LaTex) voy a considerar el polinomio P(x)=a·x^{n}, despreciando, por ahora, los términos inferiores.

P(x)=a·x^{n}
P’(x)=a·n·x^{n-1}
P”(x)=a·n·(n-1)·x^{n-2}

entonces tenemos que
P(x)·P”(x)=a^{2}·n·(n-1)·x^{2n-2}
[P'(x)]^{2}=a^{2}·n^{2}·x^{2n-2}

por lo que la relación entre expresiones
[P'(x)]^{2}]/P(x)·P”(x)=n
que por definición es un número entero mayor o igual a 0.

Demostrada la relación en un término del polinomio se puede extender a todos los términos de este, manteniéndose la relación al ser una suma de elementos.
Acid | 21 de Noviembre de 2008 | 15:12

fkpozo,

Hay varios fallos:

[P'(x)]^{2}]/P(x)·P”(x)= n/(n-1)

* Si n es 1 (monomios en x) ¡resulta que P” es cero! así que no puedes dividir por P”
Al dividir por 0… el razonamiento no estaría bien, aunque cambiando por [P'(x)]^{2}] * (n-1) = n * P(x)·P”(x)
ya sí sería correcto y esto prueba que en cualquier monomio se cumple la desigualdad…

* Pero el mayor error es la frase final: pensar que si se cumple en un monomio también se cumplirá en un polinomio…

P(x) = M1(x) + M2(x) …

P’(x) = M1′(x) + M2′(x) …

P”(x) = M1”(x) + M2”(x) …

Sabemos que [M1'(x)]^2 >= M1(x) * M1”(x)

Pero [P'(x)]^2 = [M1'(x) + M2'(x) ...]^2 =
= Suma de cuadrados + otras cosas …
y esas otras cosas pueden ser negativas

Además P(x)*P”(x) no es la suma de productos Mi * Mi”
^DiAmOnD^ | 21 de Noviembre de 2008 | 22:11

Cierto, el enunciado es erróneo. El problema no es mío. A ver si pronto puedo poner el enunciado exacto.

Perdón por las molestias.
M | 22 de Noviembre de 2008 | 11:43

Efectivamente, el enunciado es correcto sólo si se asume que el polinomio tiene todas sus raíces reales, sean simples o no. El caso de polinomios constantes es obvio.

Pido disculpas por la grave omisión en el enunciado (¡vaya racha que llevo!) y por la tardanza en arreglar este jaleo.

Como bien comentaron desde un principio Gulliver y Tito Eliatron, si $a_1,\ldots,a_n$ son las $n$ raíces reales del polinomio $p(x)$ (de grado $n$ ), basta tener en cuenta que

1) si $x=a_k$ se cumple la propiedad; y

2) si $x$ no es raíz de $p(x)$ , entonces

$\dfrac{p^{\prime \prime}(x)p(x)-p^{\prime}(x)^2}{p(x)^2}=-\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(x-a_k)^2}},$

expresión que se obtiene derivando el cociente $\dfrac{p^\prime(x)}{p(x)}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{x-a_k}}.$

Como bien ha notado Antonio, la propiedad no es cierta para polinomios que tengan alguna raíz compleja.

Espero haber remendado algo el entuerto. Saludos.
hernan | 23 de Noviembre de 2008 | 16:53

Está claro. Sólo faltaría por aclarar el error en lo que decía Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 18:26 siguiendo el comentario anterior de Antonio.

Para un polinomio cuadrático $p(x) = A x^2 + B x + C$ podríamos encontrar un contraejemplo de la propiedad en $x=0$ si tuviéramos $B^2 \le 2 C A$ . Entonces, deberíamos poder garantizar que $B^2 > 2 C A$ [1]

Acid decía (correctamente) que la condición de raíces reales distintas implicaba que $B^2 > 4 A C$ [2], pero que esto no implicaba a su vez [1], lo cual dejaba las puertas a un contraejemplo que refutara la propiedad.
Pero esto último es incorrecto. Sí lo implica. Porque, una de dos: si $A C$ es negativo (o cero) [1] se cumple trivialmente; y si $A C$ es positivo, entonces $4 A C > 2 A C$ y entonces [2] implica [1].
Acid | 24 de Noviembre de 2008 | 0:03

Cierto Hernán… Yo metí la pata hasta el fondo en el supuesto “contraejemplo” que puse.
Y como dices, también si B^2 es mayor que 4*A*C serán raíces reales y también será mayor que 2*A*C (entre otras cosas B^2 >= 0 … Es decir, en general Algo >= 4*A*C no implica Algo >= 2*A*C pero siendo ese Algo >= 0 entonces sí)

Analizando completamente el caso de segundo grado:

P=A*x^2 + B*x + C
P’=2*A*x + B , P”=2*A
P’^2= 4*A^2*x^2 + B^2 + 4*A*B*x
P”*P = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + 2*A*C
Restando: D(x) = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + B^2 - 2*A*C

Para x=0, sólo sii B^2 - 2*A*C >= 0 (lo que decía antonio)

Y, en general, para todo x:
D(x) nunca es negativo, ya que no tiene raíces reales:
4*A^2*B^2 + 16*A^3*C - 8*A^2*B^2 = 16*A^3*C - 4*A^2*B^2
dividiendo entre 4*A^2 : 4*A*C - B^2
menor o igual a cero (si P(x) tiene raíces reales, D(x) no las tiene y será siempre positivo ).

En el ejemplo:

P = x^2-1
P’ = 2x
P” = 2

(P’)^2 = 4*x^2

P * P” = 2*(x^2 - 1)

D(x) = (P’)^2 - P * P” >= 0 ??

= 2*x^2 + 2 Mayor que 0