Relacionando derivadas

Vamos con el problema de la semana:

Hallar todas las funciones $f(x)$ que satisfacen la siguiente relación:
$2f^{\prime\prime\prime}(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 \left [ f^{\prime\prime}(x) \right ]^2$

Suerte.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de February de 2009
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Trackback | 3 Feb, 2009

Bitacoras.com
Val | 3 de February de 2009 | 11:17

f=A/t + B.

(la función constante es directo verlo…)
Teaius | 3 de February de 2009 | 11:17

La respuesta obvia son las funciones constantes:

f(x)=K

Luego a mi me sale una función del tipo $Ax^{-1}$ donde A es un número, aunque me temo que quizá no sea más que una solución particular.
Teaius | 3 de February de 2009 | 11:18

vaya, te me has adelantado por unos segundos
Tito Eliatron | 3 de February de 2009 | 11:21

A ver, podemos escribir la igualdad como sigue:
$\displaystyle 2\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{f^{\prime\prime}(x)}=3\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^\prime(x)}$ .

Integrando, resulta que $\displaystyle 2\ln(f^{\prime\prime}(x))=3\ln(f^\prime(x))+C$

y tomando exponenciales resulta que

$\displaystyle [f^{\prime\prime}(x)]^2=e^C\cdot[f^\prime(x)]^3$ . Por lo tanto, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=K[f^\prime(x)]^{3/2}$ o lo que es lo mismo,

$f^{\prime\prime}(x)[f^\prime(x)]^{-3/2}=K$ . Integrando de nuevo, resulta que

$\displaystyle \frac{[f^\prime(x)]^{-1/2}}{-1/2}=Kx+D$ o lo que es lo mismo, $\displaystyle \sqrt{f^\prime(x)}=\frac{-2}{Kx+D}$ , es decir,

$\displaystyle f^\prime(x)=4(Kx+D)^{-2}$ . Integramos por tercera y última vez para obtener:

$f(x)=\frac{-4}{K}\cdot \frac{1}{Kx+D}+E$ , es decir, las funciones deben ser de la forma

$f(x)=\displaystyle \frac{c}{ax+b}+d$ con $a,b,c,d\in\Bbb{R}$

DISCLAIMER: Hecho sobre la marcha sin pensar demasiado… puede haber errores, pero la idea está ahí.
Val | 3 de February de 2009 | 14:14

Vale, creo que Teaius y yo cometimos un error con una constante. La solución de Tito es la correcta, incluye una constante que nos falta (en realidad a,b y c son dos constantes sólo).
Siempre me pareció más elegante la t como parámetro que la x.
Tanhäuser | 3 de February de 2009 | 14:29

Otra manera posible de llegar a la solución es a través de la derivada Schwarziana, la cual se define como $Sf=(f\prime\prime/f\prime)\prime-(f\prime\prime/f\prime)^2/2$ .
Si dividimos la ecuación que nos dan por $(f\prime)^2$ y trasponemos términos, llegamos a que dicha ecuación es, de hecho, $Sf=0$ , la cual tiene por soluciones las funciones racionales de grado uno.

Una referencia excelente para entender mejor la derivada Scharziana es el texto de P.L. Duren sobre funciones univalentes (Springer, 1983).
M | 3 de February de 2009 | 15:49

muy buena, Tanhäuser! La derivada schwarziana era el motivo del problema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative

http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati_equation

La solución de Tito Eliatron se puede dejar en la forma general $\cfrac{ax+b}{cx+d}$ , $a,b,c,d$ constantes.
Tito Eliatron | 3 de February de 2009 | 16:13

hmmm transformaciones bilineales…

Si al final reszulta que no estaba tan empanao.
Joseph | 4 de February de 2009 | 16:27

Hola a todos, tengo una duda y estaría muy agradecido si alguien me la aclarase. Se trata sobre equipotencias.
” Sean X, Y y Z conjuntos disjuntos 2 a 2, de modo que
X U Y es equipotente a X U Z, ¿ Esto implica que Y sea equipotente con Z?.”
Gracias de Antemano…