Relacionando derivadas

Vamos con el problema de la semana:

Hallar todas las funciones f(x) que satisfacen la siguiente relación:

2f^{\prime\prime\prime}(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 \left [ f^{\prime\prime}(x) \right ]^2

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. La respuesta obvia son las funciones constantes:

    f(x)=K

    Luego a mi me sale una función del tipo Ax^{-1} donde A es un número, aunque me temo que quizá no sea más que una solución particular.

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  2. A ver, podemos escribir la igualdad como sigue:
    \displaystyle 2\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{f^{\prime\prime}(x)}=3\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^\prime(x)}.

    Integrando, resulta que \displaystyle 2\ln(f^{\prime\prime}(x))=3\ln(f^\prime(x))+C

    y tomando exponenciales resulta que

    \displaystyle [f^{\prime\prime}(x)]^2=e^C\cdot[f^\prime(x)]^3. Por lo tanto, \displaystyle f^{\prime\prime}(x)=K[f^\prime(x)]^{3/2} o lo que es lo mismo,

    f^{\prime\prime}(x)[f^\prime(x)]^{-3/2}=K. Integrando de nuevo, resulta que

    \displaystyle \frac{[f^\prime(x)]^{-1/2}}{-1/2}=Kx+D o lo que es lo mismo, \displaystyle \sqrt{f^\prime(x)}=\frac{-2}{Kx+D}, es decir,

    \displaystyle f^\prime(x)=4(Kx+D)^{-2}. Integramos por tercera y última vez para obtener:

    f(x)=\frac{-4}{K}\cdot \frac{1}{Kx+D}+E, es decir, las funciones deben ser de la forma

    f(x)=\displaystyle \frac{c}{ax+b}+d con a,b,c,d\in\Bbb{R}

    DISCLAIMER: Hecho sobre la marcha sin pensar demasiado… puede haber errores, pero la idea está ahí.

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  3. Vale, creo que Teaius y yo cometimos un error con una constante. La solución de Tito es la correcta, incluye una constante que nos falta (en realidad a,b y c son dos constantes sólo).
    Siempre me pareció más elegante la t como parámetro que la x.

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  4. Otra manera posible de llegar a la solución es a través de la derivada Schwarziana, la cual se define como Sf=(f\prime\prime/f\prime)\prime-(f\prime\prime/f\prime)^2/2.
    Si dividimos la ecuación que nos dan por (f\prime)^2 y trasponemos términos, llegamos a que dicha ecuación es, de hecho, Sf=0, la cual tiene por soluciones las funciones racionales de grado uno.

    Una referencia excelente para entender mejor la derivada Scharziana es el texto de P.L. Duren sobre funciones univalentes (Springer, 1983).

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  5. Hola a todos, tengo una duda y estaría muy agradecido si alguien me la aclarase. Se trata sobre equipotencias.
    ” Sean X, Y y Z conjuntos disjuntos 2 a 2, de modo que
    X U Y es equipotente a X U Z, ¿ Esto implica que Y sea equipotente con Z?.”
    Gracias de Antemano… 🙂

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