Relaciones entre dos triángulos

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Sea T_1 en el que las longitudes de sus lados son a,b y c y sea T_2 otro triángulo, con longitudes de sus lados igual a u,v y w.

Si su áreas son, respectivamente, P y Q, demostrar que

16PQ \leq a^2 (-u^2+v^2+w^2)+b^2(u^2-v^2+w^2)+c^2(u^2+v^2-w^2)

¿En qué casos (si es que hay alguno) se da la igualdad?

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Quisiera saber donde puedo encontrar todas las soluciones a los problemas de la semana que planteas

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  2. braket, como generalmente se resuelven en los comentarios no pongo las soluciones en ningún sitio, deben consultar los comentarios de cada problema para encontrar la solución.

    De todas formas tengo pensado reorganizar las soluciones de los problemas que he planteado en el blog cuando tenga tiempo, pero todavía queda para que pueda ponerme a ello.

    Si buscas alguno en concreto y no ves que se terminara de resolver me lo dices y lo miro.

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  3. Como primer chapuzón puede estar bien ver que sí que hay casos de igualdad (no digo que sean todos los que hay), pero en particular si cogemos ambos triángulos equiláteros se puede ver que en ese caso se da la igualdad. A mí personalmente, la intuición me llama a usar teorema del coseno en los factores dependientes de u,v,w. A ver si consigo algo…

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  4. Segundo chapuzón: si los triángulos son semejantes de modo que a=u*k, b=v*k y c=w*k para cualquier k real y positivo también se da la igualdad. Sigamos intentándolo.

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  5. No se si sea la forma más corta de hacerlo pero voy a poner a lo que he llegado

    Sean  A=a^{2}+b^{2}+c^{2} , B=u^{2}+v^{2}+w^{2} , x=a^{4}+b^{4}+c^{4} , y=u^{4}+v^{4}+w^{4}

    Observese que la parte derecha de la desigualdad es A B -2(a^{2},b^{2},c^{2}) \bullet (u^{2},v^{2},w^{2})  que usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede acotar por debajo por   AB-2 \sqrt{x} \sqrt{y}

    Por la fórmula de Herón http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n tenemos que   16 PQ = \sqrt{A^{2}-2x} \sqrt{B^{2}-2y}  , asi que solo nos falta verificar la desigualdad

    (A^{2}-2x)(B^{2}-2y) \leq (AB-2 \sqrt{x} \sqrt{y} )^{2}

    Que despues de unas cuentas resulta equivalente a

    2 A B \sqrt{x}  \sqrt{y} \leq A^{2}y+B^{2}x

    La cúal es simplemente la desigualdad media geometrica-aritmetica.

    Para que se tenga la igualdad es condición nesesaria y suficiente que  (a,b,c) = \lambda (u,v,w) , salvo permutaciones es decir que los triángulos sean semejantes.

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  6. No he mirado commets para que no me oriente ni desoriente nadie. Me huele a Herón. Voy a probar …. y en un rato, si no sale, miro.

    XD

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  7. pues nada. No logro sacarlo. Me he metido en un berenjenal de binomios muy guapo.

    a ver como lo purgo….

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