Reordenando, que es gerundio

Sumad todos los números naturales del 1 al 10 en orden creciente. Sí, sí, hacedlo: 1 más 2 más 3… Os sale 55, ¿verdad? Bien. Ahora volved a sumar los números naturales del 1 al 10, pero esta vez en orden decreciente: 10 más 9 más 8… Os vuelve a salir 55, ¿no? Bien. ¿Y si los sumamos sumando primeros los pares y luego los impares? ¿O primero los múltiplos de 3 y luego el resto en orden decreciente? ¿Y con cualquier otro orden? Siempre saldrá 55, ¿verdad? Bueno, pues eso no siempre es así.

Como veis lo único que cambia es el orden de los números. ¿Importa el orden en el que coloque los números a la hora de sumarlos?. No…si el conjunto de números que sumo es finito. ¿Y si es infinito? Pues…depende.

¿Qué es una serie?

Sabemos lo que es una serie numérica, ¿verdad? Ese concepto ha salido ya en varias ocasiones por aquí, por ejemplo la semana pasada con la lentitud de la serie armónica y hace algo más de tiempo con el problema de Basilea (y II). Si meternos en mucho formalismo, podemos decir que una serie numérica es una sucesión de términos que se forman sumando los términos de otra sucesión (que es la que genera a dicha serie).

Al ser una sucesión, podemos plantearnos el cálculo del límite de la misma, que si existe se denomina suma de la serie. Generalmente, tanto la serie como su suma, si existe, suelen representarse así:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}

siendo a_n la sucesión que genera a nuestra serie.

Si el límite al que hemos llamado suma de la serie es un número real, se dice que la serie es convergente. Si no es así la serie puede ser divergente u oscilante, pero eso ahora no nos va a importar.

Esta suma de la serie, que hemos dicho que era el límite de nosequé, en realidad se puede interpretar como la suma de los infinitos términos de la sucesión a_n que genera a la serie, a la vista de la notación utilizada:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}=a_1+a_2+a_3+ \ldots

Si la serie es convergente, esa suma dará como resultado un número real. Sí, sí, aunque parezca extraño que una suma de infinitos términos dé como resultado un número. Sirva como ejemplo la del problema de Basilea que hemos comentado antes:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}=1+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{16}+ \ldots =\cfrac{\pi^2}{6}}

¿Importa el orden en el que se suman los números en una serie?

Entre las sucesiones convergentes podemos distinguir dos tipos: las absolutamente convergentes y las condicionalmente convergentes:

  • Absolutamente convergentes: si tomamos el valor absoluto de a_n nos queda otra serie que también es convergente.
  • Condicionalmente convergentes: si tomamos el valor absoluto de a_n nos queda una serie que no es convergente.

Un ejemplo de las primeras es la propia serie del problema de Basilea, ya que si tomamos el valor absoluto de \textstyle{\frac{1}{n^2}} obtenemos la misma serie, que por tanto será convergente. Y un ejemplo de las segundas podría ser la serie

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n}}

ya que al tomar valor absoluto obtendríamos la serie

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n}}

que es la serie armónica, serie que sabemos que no es convergente.

Bien, pues ocurre que las primeras, las absolutamente convergentes, cumplen que si yo reordeno sus términos su suma no cambia, pero las condicionalmente convergentes poseen la inusual característica de dar sumas distintas si reordenamos sus términos. Más concretamente:

Dada una serie numérica condicionalmente convergente, podemos reordenar sus términos de forma que la suma resultante dé como resultado cualquier número real, e incluso infinito.

No me digáis que no es chocante. ¿Cómo puede cambiar el resultado de sumar números por el simple hecho de cambiarlos de orden? Pues en realidad la explicación es mucho más sencilla de lo que parece. Lo veremos con el ejemplo que hemos puesto antes:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{5}-\ldots}

Esta serie, con los términos en ese orden, converge condicionalmente a \ln{(2)} (sí, esto ya es un poco raro). Bien, pues lo que hemos dicho antes es que podemos reordenar los términos de esa suma para que el resultado de sumarlos sea cualquier número real, o incluso infinito. ¿Cómo hacerlo? Fácil. Imaginemos que queremos que la suma dé, por ejemplo, 100. Para ello colocamos los términos positivos que aparecen ahí en primer lugar:

1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+ \ldots

hasta que superemos a 100 por primera vez. Después colocamos algunos términos negativos hasta que la suma resultante baje de 100 por primera vez, y así sucesivamente. Habrá ocasiones en las que tendremos que colocar muchos términos (positivos o negativos, según el caso), pero podremos hacerlo (tenemos infinitos términos). Todos los términos se utilizan y el resultado final de la suma (recordad, es un límite) será 100.

Y así lo podemos hacer con cualquier número real, ya sea muy grande o muy pequeño, positivo o negativo, natural, entero, racional o irracional…De hecho el propio \ln{(2)} es irracional, y es la suma de los términos colocados en el orden que marca la serie tal cual está definida. Por tanto, reordenando términos esta suma podría dar 1000000, -4, \pi, 2^{987654321}, 7^e, -e^{\pi}, el producto de todos estos números… Como ya hemos visto por aquí alguna que otra vez, qué extraño es el infinito.


Y hablando del infinito, ¿cómo podría obtener infinito reordenando los términos? Pues…os dejo que lo penséis vosotros. Los comentarios, como siempre, son vuestros.

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21 comentarios

  1. Trackback | 1 mar, 2012

    Bitacoras.com

  2. carxs | 1 de marzo de 2012 | 21:47

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    Creo que aún estoy un poco confuso con todo esto xD. Intentaré que reorganizando los términos, la serie tienda a infinito.
    Si no he entendido mal la mecánica, como puedo reorganizarlos todos como me plazca, diré que el primer término sea 1, los siguientes términos los dividiré en bloques, de tal manera que la suma de cada uno de ellos sea mayor que la unidad, como por ejemplo : 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15
    Este podría ser un bloque, por supuesto puedo poner también términos que ocupen posición par, pero siempre que “el bloque” sea mayor que 1. Siempre voy a poder fabricarme estos bloques, y la suma de estos bloques tiende a infinito. :)
    Nota: Sabemos que la serie 1/(2n-1) tiende a infinito porque por comparación, los términos son más grandes que los de 1/(2n), y esta serie converge porque es un medio de la famosa serie armónica, que tiene límite infinito. Por eso puedo fabricar siempre dichos “bloques”=)
    Siento no saber utilizar aún Latex…

  3. Ñbrevu | 1 de marzo de 2012 | 22:05

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    Puede que esté pecando de ingenuo al desafiar la validez de un teorema sólo por ser un resultado profundamente antiintuitivo (contrario, de hecho, a los literalmente primeros teoremas que se aprenden en matemáticas: las propiedades conmutativa y asociativa de la suma), pero hay una cosa que no me cuadra nada, y es la siguiente: entiendo que sea posible demostrar que siempre exista una suma infinita de términos que equilibre la suma, pero, ¿tenemos alguna garantía de que efectivamente están incluidos todos los valores de la serie?

    Porque al fin y al cabo lo que estamos haciendo es escoger unos números muy concretos, y no veo ningún punto de la demostración que pruebe (se dice en el texto, pero no se prueba) que todos los valores de la serie llegan a sumarse alguna vez. Y si no es así, la nueva serie es un subconjunto infinito de la original, cuya suma es 100, o pi, o lo que sea; pero sigue siendo un subconjunto, no necesariamente la serie completa.

  4. Santeorolo | 1 de marzo de 2012 | 23:27

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    Este tema resulta muy interesante. Recientemente estaba viendo la demostración del Teorema de Riemann para series numéricas (que es el que se menciona en el post), pero en ella no encuentro explicación para el punto que me parece que es la clave de la “contraintuitividad” del teorema:
    ¿Acaso no cumple la suma de números reales la propiedad conmutativa? ¿cómo es posible entonces que al reordenar una colección de números reales obtengamos una suma diferente?

    Supongo que la explicación estará relacionada con el infinito o el límite, pero no lo veo. Quizá alguien con más conocimiento matemático me pueda decir dónde está el “truco”…

  5. Miguelin | 2 de marzo de 2012 | 00:59

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    Esta notable curiosidad sólo pasa con series que tengan tanto términos positivos como negativos, ya que se pueden reordenar para acercarte al valor que desees. Siempre quedarán terminos, puesto que hay infinitos…
    Y el teorema algo más completo dice que dada una serie de términos positivos y negativos, solamente podrá tomar valores de módulo necesariamente menor al valor que haya tomado la serie de los valores absolutos (que esa solo puede tomar uno, ya que todos los términos son positivos: bien si diverge o converge).

  6. JJGJJG | 2 de marzo de 2012 | 01:51

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    Hacemos dos listas ordenadas: una con todos los términos negativos (-1/2, -1/4, -1/6, ….) y otra con todos los positivos (1, 1/3, 1/5, 1/7…)
    Tomamos el primer término de la primera lista y le sumamos los términos de la segunda necesarios para que la suma iguale o supere el valor 1. La primera vez tendremos:
    -1/2+1+1/3 +1/5=1,0333…>1
    Tachamos de las listas los términos ya utilizados.
    Repetimos el proceso anterior creando una suma de valor mayor que 1/2:
    -1/4+1/7+1/9+1/11+…+1/27=0,5180…>1/2
    Volvemos a tachar los utilizados y de nuevo formamos otra suma del primer elemento disponible de la primera lista y los necesarios para obtener una suma mayor que 1/3:
    -1/6+1/29+…+1/77=0,3454….>1/3
    Si volvemos a tachar y formar sumas podemos generar paquetes de elementos cuyas sumas sean iguales o mayores que los de la armónica, por tanto, al final tendremos los infinitos términos de aquella, o mayores, que nos darán una suma infinita.

  7. JJGJJG | 2 de marzo de 2012 | 01:58

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    Por favor, corrige la última expresión de sumas donde no ha salido el signo negativo de -1/6

    CORREGIDO

  8. Trackback | 2 mar, 2012

    Reordenando, que es gerundio

  9. Mmonchi | 2 de marzo de 2012 | 11:58

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    Me has recordado una “demostración” de 2=1:

    ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9…
    ln2=1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-1/14…
    ln2=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12+(1/7-1/14)…
    ln2=1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+1/14…
    ln2=(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7…)/2
    ln2=ln2/2
    2ln2=ln2
    2=1

    Y como la serie vale ln2, y ln2=2ln2, tenemos que ln2=4ln2, ln2=8ln2, ln2=16ln2 y así hasta ln2=∞. :)

  10. Ignacio Larrosa Cañestro | 2 de marzo de 2012 | 15:17

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    Si se toman los primeros p terminos positivos de la seriearmónica, luego los primeros q negativos, a continuación los p positivos siguientes, et. la suma es

    S(p, q) = (1/2)ln(4p/q)

    Para p = q = 1 tenemos la serie en su orden natural, y la suma es ln(2), claro. Aqui está desarrollado:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/ReordenacionSeriesArmonicasAlternadas.PDF

  11. Juanripu | 2 de marzo de 2012 | 23:40

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    Muy buen post sobre el tema.
    Ahora mismo estoy trabajando sobre el tema pero en espacios de Banach, y hay un resultado que me parece tremendo; dada una serie incondicionalmente convergente (no importa el orden en el que la pongas, sigue siendo convergente), si a cada elemento de la serie lo multiplicas por un escalar finito (un elemento de l^{\infty}) , entonces obtienes una serie convergente, sea cuales sean los escalares.

  12. Manzano | 3 de marzo de 2012 | 19:36

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    El quid de la cuestión para demostrar el teorema es que si tenemos una serie condicionalmente convergente, es decir, convergente pero no converge en valor absoluto, entonces:

    1) Hay infinitos términos positivos e infinitos términos negativos.

    2) La serie de los términos positivos y la serie de los términos negativos son divergentes.

    3) Los términos positivos y los términos negativos tienden a cero.

    Yo creo que lo más difícil es probar los dos primeros puntos pero una vez se tienen la demostración es muy fácil, tal y como se comenta en el post.

    Si por ejemplo se quiere que la reordenación sume infinito, basta con sumar términos positivos hasta que pasemos de 1, luego sumar uno negativo, luego positivos hasta que pasemos de 2,luego otro negativo, luego positivos hasta sobrepasar 3, etc. Si se quiere que sume menos infinito pues basta cambiar en el razonamiento anterior positivos por negativos.

  13. Manzano | 4 de marzo de 2012 | 00:15

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    Una cosa curiosa y quizá también anti-intuitiva es la siguiente. Yo puedo empezar como quiera a hacer la reordenación y poner 1000 millones de términos aleatoriamente (o más), pero siempre podré reordenar los restantes de forma que la serie final converja al número que yo quiera. Me surge entonces la pregunta de si hay muchas o pocas maneras de reordenar para obtener el mismo número

    Por un lado, el cardinal de las reordenaciones (biyecciones de N en N) es el cardinal de los números reales R (no podía ser menor, claro está, porque podemos obtener cualquier número real reordenando una serie condicionalmente convergente). Ahora viene lo curioso: fijado un número x\in\mathbb{R} el conjunto de las reordenaciones que producen ese número, ¡también tiene el cardinal de los números reales! La idea que se me ha ocurrido para probar esto es la siguiente, espero que esté bien.

    Dado un número real, tomamos una biyección f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} que produzca ese número real. Para cada k\in\mathbb{N} podemos intercambiar o no los valores de f(2k+1) y f(2k) y la serie que se obtiene para la nueva reordenación converge si, y sólo si, converge la serie para la ordenación original, en cuyo caso, el límite es el mismo. La cosa es que podemos hacer esta permutación para infinitos valores de k y el límite de la serie seguirá inalterable (más técnicamente, cambiar términos a una distancia uniformemente acotada no cambia el carácter de la serie ni su límite). Entonces, para cada valor de k podemos permutar o no f(2k+1) y f(2k), lo que nos produce un total de 2^\mathbb{N}=\mathbb{R} reordenaciones que dan el mismo límite.

    Dicho de otra manera (y así evitamos estas operaciones raras con cardinales), podemos escribir el número 0, a_1 a_2 a_3\ldots, donde a_k=1 si se permutan f(2k+1) y f(2k) ó a_k=0 si no se permutan. Este número visto como decimal binario, recorre todo el intervalo [0,1], que es no numerable.

    Un mundo singular éste de las series.

  14. ju4nj0 | 12 de marzo de 2012 | 06:14

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    Hola, he dado con esta página casualmente y me gustaría aprovechar la ocasión para plantear algo que hace tiempo me trae de cabeza.
    Sé que seguramente será una propiedad que desconozco, pues soy bastante negado para las matemáticas, pero tengo curiosidad.

    Un día me dio por jugar con las cifras, y llegué a descubrir algo curioso:

    -Sumamos o multiplicamos dos o más cifras, de cualquier extensión de dígitos, y el resultado lo reducimos, sumando sus cifras entre ellas sucesivamente, hasta obtener un único dígito.
    -Reducimos igualmente las dos cifras originales hasta tener dos dígitos.
    -Sumamos o multiplicamos éstos entre sí.
    -El resultado, reducido, coincide siempre con la reducción del primer paso.

    Por ejemplo, sumando:

    123+456=579 (5+7+9=21) (2+1=3)

    1+2+3=6 ; 4+5+6=15 (1+5=6)

    6+6=12 (1+2=3)

    O multiplicando:

    123×456=56088 (5+6+0+8+8=27) (2+7=9)

    1+2+3=6 ; 4+5+6=15 (1+5=6)

    6×6=36 (3+6=9)

    Esto se puede hacer con las cifras que se quiera. Siempre coinciden los resultados.

    Saludos!!

  15. Trackback | 14 mar, 2012

    El desarrollo más bello de Pi como suma infinita - Gaussianos | Gaussianos

  16. Fortuna | 20 de mayo de 2013 | 06:28

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    Esto es un HOAX matemático. Algo que se ha entendido mal. La propiedad asociativa de las suma se cumple siempre. ¿Que es lo que ocurre al reordenar series de la manera que nos da la gana?. Pues que tenemos otras series distintas. Si queremos reordenar series, tomemos una suma parcial y luego la roerdenamos, SIN AÑADIR NI QUITAR NINGÚN TERMINO. Si hacemos eso, todas las series que formemos dan el mismo límite.

    En el ejemplo que pones

    \sum _{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\ln(2) está claro

    Pero ahora agrupamos de otra forma,

    1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots

    (un término positivo y dos negativos) no es la misma serie que la de arriba y es normal que de dé otra cosa, este caso, la mitad del logaritmo de 2. Y no es la misma porque para un k dado que indique el valor final del índice de las sumas parciales, hay casi el doble de términos negativos que positivos. Pero si al final (o al principio) se colocan todos los términos que faltan, esa seria sí es la originaly su suma da ln(2).

    Se debería haber reordenado así,

    (+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}) + (+1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots)

    Y el siguiente

    (+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}) + (+1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{7}-\frac{1}{14}-\frac{1}{16}\cdots)

    De forma que se respete el término general \frac{1}{k}

    Pero vamos, que sí, que hay que tener mucho ojo al reordenar series y aplicar los criterios de convergencia bien, que supongo que se han inventado por eso.

    Numéricamente En Maple:

    > f:=proc(n)
    local k,s,t;
    #primera parte, omitiendo términos
    s:=0;
    for k from 1 to n by 2 do;
    s:=s+1/k-1/(2*k)-1/(2*k+2);
    od;
    print(“s=”,evalf(s));
    t:=0;
    #segunda parte, términos omitidos
    for k from n+2 to 2*n+2 by 2 do;
    t:=t+1/k;
    od;
    print(“t=”,evalf(t));
    evalf(s+t);
    end proc;

    >print(“Serie”=f(10000));

    “s=”, 0.3465485915
    “t=”, 0.3465985865
    “Serie” = 0.6931471781

    Además, el resto de la serie omitida se puede deducir por las propiedades de la función digamma (ver wikipedia)

    1/2\,\sum _{k=n+1}^{2\,n+1}{k}^{-1}=1/2\,\Psi \left( 2\,n+2 \right) -1 /2\,\Psi \left( n+1 \right)

    cuyo límite infinito es precisamente \frac{1}{2}\ln(2)

  17. Aaron Rodgers | 12 de julio de 2013 | 17:53

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    Perdón, pero esto no tiene sentido la serie no puede converger a otro número, este post esta mal.

  18. gaussianos | 15 de julio de 2013 | 20:14

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    No Aaron Rodgers, el post no está mal. Vuelve a leerlo y si tienes alguna duda coméntala por aquí si quieres :).

  19. Aaron Rodgers | 16 de julio de 2013 | 00:09

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    Me equivoqué en el mensaje anterior,

    Por ejemplo dime si esto está mal:

    Si:

    S=\sum_{i=1}^\infty{}x_i=100

    y

    \sum_{i=1}^9 {} n_{2i}= 1000

    Entonces:

    1000+ \sum_{i=1}^{9} n_{2i-1} + \sum_{i=18}^{\infty}n_{i}

    Es decir por más que lo reordene me va a quedar un lote de números que por si solos hacen la diferencia pero dado que solo sumo otros números estos no los sumo a pesar de que si son parte de la suma.

  20. gaussianos | 16 de julio de 2013 | 04:46

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    Aaron Rodgers, ¿qué son ahí x_i y n_i?

    Por cierto, ten en cuenta que esto ocurre con las series condicionalmente convergentes, no con cualquier serie convergente.

    Y no, no nos engaña la mente ni nada de eso: es un resultado totalmente cierto, sin engaño ni mental ni de ningún otro tipo.

  21. Trackback | 23 jul, 2014

    Reordenando, que es gerundio - Gaussianos | Gau...

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