Repitiendo hasta el baricentro

Hoy martes os traigo el problema de esta semana, que en esta ocasión nos propone ren4 a través del correo electrónico. El enunciado es el siguiente:

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo isósceles de papel ABC, siendo AB la hipotenusa y AC y CB los catetos. Tomamos el vértice C y lo doblamos de tal forma que quede en la mitad de AB. Ahora se habrá formado un triángulo recto isósceles más pequeño con C como uno de sus vértices. Volvemos a tomar este vértice C y lo volvemos a doblar de tal forma que quede en la mitad del triángulo pequeño. Volvemos a tener otro triángulo aún más pequeño. Demostrar que si repetimos el procedimiento continuamente el punto resultante será el baricentro.

Espero que lo hayáis entendido. Ánimo con él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Para mí que no es necesario que el triángulo sea rectángulo…

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  2. No sé si esto valdrá como demostración.
    El baricentro es el punto en el que se cruzan las tres medianas de un triángulo. Tenemos un triángulo isósceles de vértices A, B y C, donde los catetos AC y CB son iguales. Trazamos las medianas del triángulo. La evolución del vértice C va a ser siempre sobre la mediana que une el vértice C (del triángulo inicial) con la hipotenusa del triángulo, con lo cual, si las otras 2 medianas se mantuvieran constantes en los triángulos que se van formando con el proceso de doblado, el baricentro sería el punto al que converge el vértice C.
    Sólo con la primera iteración se ve que esto se cumple, ya que por cómo está definido el triángulo, al doblar el vértice C queda un triángulo más pequeño (semejante al inicial, de área 1/4 del anterior) de vértices el punto C y los puntos medios de los catetos AC y CB.
    Si en este punto volvemos a renombrar los vértices A, B y C, la situación es la misma que la del inicio, pero con un triángulo de área 1/4. En cada iteración el triángulo resultante dividirá su área por 4, pero las medianas se mantienen siempre.
    Y coincido con Antonio Rojas, no hace falta que sea rectángulo, sólo con que sea isósceles vale.

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  3. Si la altura del triángulo inicial es h, la altura del doblez va siendo sucesivamente h(1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 -……). La suma de esta sucesión geométrica de razón -1/2 es 1/3 que es la altura del baricentro. Como los vértices de los triángulos sucesivos están en la mediana el punto límite es el propio baricentro.

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  4. Bueno para empezar todos los puntos de la sucesion estan sobre la mediana de C y como los triangulos contienen uno al siguiente viendo la interseccion con la mediana tenemos una sucesion de intervalos encajados [un vertice,su siguiente] que converge a un punto.Una vez q sabemos q converge tenemos P=aA+bB+cC con a=b por simetria.Si vemos el segundo triangulo tenemos q P=x((C+B)/2)+y((A+C)/2)+z((A+B)/2) con x=y por simetria, igualando el coefiente de A x+y=2a,como 2x+y=1 2a+x=1 y concluimos x=c=y,luego a=c y P=aA+aB+aC con 3a=1 luego a=1/3 y vemos q es el baricentro

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  5. Al final he equivocado la y con la z, pero creo q se puede llegar la misma conclusion observando q la combinacion baricentrica de P es la misma desde cualquier triangulito ya q da igual por cual empiezes a doblar

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