Representando números con los dígitos del 1 al 9 “like a boss”

Tienes a tu disposición los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y las operaciones suma, resta, multiplicación, división y potenciación. También puedes usar paréntesis y concatenar números (por ejemplo, puedes escribir 34). Puedes usar todas las operaciones o sólo algunas, pero estás obligado a usar todos los números. Con estas normas, ¿cuántos números enteros positivos serías capaz de representar?

Por ejemplo, ¿sabrías representar el 1371? Piénsalo, prueba, y después baja un poco…

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…¿ya? Aquí tienes una opción:

1371=18+435 \cdot 2+69 \cdot 7

Si habéis probado durante un rato, igual habéis encontrado otras opciones. Aquí os presento dos más:

\begin{matrix} 1371=12 \cdot (3+45)+6+789 \\ \\ 1371=9 \cdot 8+7+6 \cdot 5 \cdot 43+2 \cdot 1 \end{matrix}

Estas dos posibilidades tienen, cada una de ellas, una característica que no tiene la anterior. La primera utiliza los números disponibles en orden ascendente, y la segunda los usa en orden descendente. Por poner otro ejemplo, aquí tenéis las representaciones ascendente y descendente para el año 2017 que acabamos de empezar:

\begin{matrix} 2017=12^3+4 \cdot 56+7 \cdot 8+9 \\ \\ 2017=98+7 \cdot 6+5^4 \cdot 3 +2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá hacer esto con todos los enteros positivos, digamos, hasta el 1000? ¿Y hasta el 10000? ¿Se podrá hacer con todos los enteros positivos o habrá alguno para el que no se pueda? ¿Existirá alguien en nuestro planeta que tenga tiempo y ganas para ir buscando este tipo de representaciones número a número?

Para esta última pregunta tenemos respuesta: Inder J. Taneja, profesor de matemáticas de la Universidade Federal de Santa Catarina, en Brasil. El señor Taneja ha encontrado representaciones ascendentes y descendentes de la forma comentada antes para todos los números enteros desde el 0 hasta el 11111. El trabajo en el que se puede ver todas estas representaciones está disponible en arXiv: Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9 (es su quinto trabajo relacionado con este tema). Aquí tenéis una captura de una de las páginas del mismo:

Hace un momento os he dicho que Taneja ha representado así todos los enteros desde el 0 hasta el 11111, pero en realidad esto no es cierto: hay uno que se le ha resistido. Más concretamente, no ha encontrado representación ascendente para el 10958, aunque sí ha encontrado la descendente:

10958=(9+8 \cdot 7 \cdot 65+4) \cdot 3-2+1

Por otra parte, en su trabajo también señala que hay 8 números para los cuales ha necesitado utilizar la división:

\begin{matrix} 9668=-9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9686=9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9986=(12+3)^4/5-67-8 \cdot 9 \\ \\ 10084=(12+3)^4/5+6-7 \cdot 8+9 \\ \\ 10121=(12+3)^4/5+6+7-8-9 \\ \\ 10802=(9 \cdot (8-(7-6)^5)^4-3)/2-1 \\ \\ 11027=-1 \cdot 2 +(3 \cdot 4 \cdot 5^6-7)/(8+9) \\ \\ 11038=(9 \cdot 8 \cdot 7 +6^5) \cdot 4/3-2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá encontrar alguna representación ascendente para el 10958? ¿Existirán representaciones de los 8 números anteriores que no necesiten a la división? Ya tenemos entretenimiento, a ver si sale algo y ayudamos así a Inder Taneja.

Queda en el aire la pregunta de si todos los enteros positivos pueden representarse de esta manera. Yo no tengo respuesta a dicha pregunta, y no sé si alguien la tendrá, ya sea en la actualidad o en algún momento del futuro. Si alguien tiene más información sobre este tema que nos lo cuente en los comentarios.


Me enteré de esto por esta entrada de Futility Closet.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Una pregunta:

    ¿Es 2017 un número primo?. No vale mirar las tablas publicadas en google; eso es fácil.
    Un saludo.

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  2. La cantidad de números que puedas representar es finita, aunque enorme. (Usando una vez los dígitos)

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  3. Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración decimal, que utiliza los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x (x = 10); sin el cero; tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da….d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, 1x, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 3x, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 4x, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 5x, 15x, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 6x, 16x, 264, 265, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 7x, 17x, 274, 275, 276, 277, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 8x, 18x, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 9x, 19x, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 29x, 389, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, xx, 1xx, 2×4, 2×5, 2×6, 2×7, 2×8, 2×9, 2xx, 476, 477, 478, 479, 47x, 147x, 2391, 2392, 511, 3×1, 3×2, 3×3, 3×4, 3×5, 3×6, 3×7, 3×8, 3×9, 3xx, 529, 535, 536,….

    Puede haber algún pequeño error de inatención o descuido. No lo he vuelto a comprobar.

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    • Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración decimal, que utiliza los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x (x = 10); sin el cero; tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da….d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).
      1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x, 1x, 28, 29, 2x, 36, 37, 38, 39, 3x, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 4x, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 5x, 15x, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 6x, 16x, 264, 265, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 7x, 17x, 274, 275, 276, 277, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 8x, 18x, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 9x, 19x, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 29x, 389, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, xx, 1xx, 2×4, 2×5, 2×6, 2×7, 2×8, 2×9, 2xx, 476, 477, 478, 479, 47x, 147x, 2391, 2392, 511, 3×1, 3×2, 3×3, 3×4, 3×5, 3×6, 3×7, 3×8, 3×9, 3xx, 529, 535, 536,….

      Se han corregido los términos a(12), a(13) y a (14), que no eran mínimos.

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  4. Representación del sistema de numeración romano con la convención I = 1, V = 2, X = 3, L = 4, C = 5, D = 6, M = 7 (quizás faltan uno o dos valores más, que se podrían añadir fácilmente, para poder representar números mucho más grandes). La sucesión aritmética de primer término a0 = 1 y diferencia d = 1, puede ser sustituida, obviamente, por cualquier otro par de valores de (a0, d). El descifrador sólo tendría que conocer este par de valores. No estoy diciendo que esto sea un cifrado de números eficaz. Probablemente sería muy ineficaz; no soy conocedor en cifrados.
    1, 11, 111, 12, 2, 21, 211, 2111, 13, 3, 31, 311, 3111, 312, 32, 321, 3211, 32111, 313, 33, …

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  5. Representación del sistema de numeración romano con la convención I = 1, V = 2, X = 3, L = 4, C = 5, D = 6, M = 7 (quizás faltan uno o dos valores más, que se podrían añadir fácilmente, para poder representar números mucho más grandes) en el que se indican el número de unos, de doses, de treses, de …, delante de tal dígito, sucesivamente y en su posición respectiva, de izquierda a derecha.
    11, 21, 31, 1112, 12, 1211, 1221, 1231, 1113, 13, 1311, 1321, 1331, 131112, 1312, 131211, 131221, …
    Quizás habría que introducir un número separador o un espacio en blanco para evitar las ambigüedades. Por ejemplo, si hemos tomado la convención (a0, d) = (21, 5); entonces I = 21, V = 26, X = 31, …; el número 131221 = XVII = 17 con (a0, d) = (1, 1) sería XII = 12. No sé aún si podría o no haber ambigüedad, en algún caso, de un número que pudiera interpretarse de dos o más maneras distintas, aún conociendo el valor de (a0, d).
    Representación del sistema de numeración romano con la convención (a0, d) = (21, 5)
    21, 2121, 212121, 2126, 26, 2621, 262121, 26212121, 2131, 31, 3121, 312121, 31212121, 312126, 3126, 312621, 31262121, …
    Representación del sistema de numeración romano con la convención (a0, d) = (21, 5) indicando la cantidad de dígitos distintos delante de cada dígito :
    1211, 12111211, 121112111211, 12111216, 1216, 12161211, 1216121112111211, 12111311, 1311, 13111211, …
    Representación del sistema de numeración romano con la convención (a0, d) = (21, 5) indicando la cantidad de grupos de dígitos distintos (con significado romano) delante de cada grupo de dígitos :
    121, 221, 321, 121126, 126, 126121, 126221, 126321, 121131, 131, 131121, 131221, 131321, 131121126, 131126, 131126121, 131126221, …

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  6. Propongo una cota superior de las números representables con estas condiciones:
    10^^10^^10^^10^^10^^10^^10^^15

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  7. Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración ternario, que utiliza los números “1” ,”2″ y “9” tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da….d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).
    1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 9, 19, 119, 1119, 29, 129, 1129, 11129, 111129, 219,
    1219, 2112, 229, 1229, 2122, 12122, 112122, 2211, 2119, 12119, 2221, 2129, 12129, …

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  8. Aquí van los 21 primeros números, del 1 al 21, de un sistema de numeración binario posicional, sin uso del cero, mínimos, : 1, 2, 12, 112, 21, 22, 122, 1122, 11122, 211, 212, 1212, 221, 222, 1222, 11222, 111222, 1111222, 2111, 2112, 12112

    Nótese, que si en vez del 1 y el 2, se utilizaran sólo el 1 y el 3; estos serían los 21 primeros números mínimos :

    1, 11, 3, 13, 113, 1113, 11113, 111113, 1111113, 31, 131, 33, 133, 1133, 11133, 111133, 1111133, 11111133, 111111133, 1111111133, 11111111133.

    El dígito d en una posición p, tiene el valor de d^p (p = 1,2,3,…). Se dice que un número es mínimo, en estos sistemas de numeración binarios posicionales, pero sin el cero, si tienen un número mínimo de dígitos/posiciones en su expresión y si son mínimos en la base decimal usual. (Por ejemplo, 10, que se escribe 211 en el primer sistema binario y 31 en el segundo, se podría haber escrito 1111111111 en ambos o 11111113 en el segundo o bien 1111121 o 111122 en el primero).

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  9. Representación con mínimos (en su valor mínimo decimal usual), de un sistema de numeración decimal, que utiliza los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tal que cualquier número n de a dígitos, que se escribe n = da….d3d2d1; tiene el valor n = Suma((i=1,i=a); di^i ).
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 27, 28, 29, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 159, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 169, 263, 264, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 179, 273, 274, 275, 276, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 189, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 199, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 388, 389, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 390, … , 399, 475, … , 479, 1479, 2468, 500, 501, 502, 480, … , 489, 534, … , 539, 543, 490, …
    Me cuesta a veces *mucho* concentrarme por lo que puede haber algún pequeño error; en particular que la representación de un número en este sistema no sea el mínimo. Los números 12, 13 y 14 en decimal usual no son los mínimos en el sistema de numeración con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, x (x = 10), (sin el cero), que publiqué anteriormente. Es de destacar que el cero, es de menor utilidad en este sistema, ya que sólo aparece en la 36-ésima posición; en la 49-ésima, en la 64-ésima, …. Me pregunto si la sucesión de los términos de este sistema de numeración, que contienen algún cero : 60, 70, 80, 90, 500, 501, 502, 480, 490, …
    pudiera ser determinada por algún algoritmo de tipo sencillo, sin utilizar fuerza de computación bruta y exhaustiva.

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  10. La cantidad de números que se pueden expresar así es relativamente pequeña, yo he obtenido una cota del orden de los 20 mil millones, lo que lo convierte en un problema perfectamente abordable por fuerza bruta.

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  11. He visto que en algunas soluciones se usa el – unitario justo antes del primer operando, si esto es lícito también en el “interior” de la expresión (ejemplo: 1+2*(-3+4)… ), la cota subiría bastante, pero seguiría siendo abordable.

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  12. Me propuse a sólo usar suma y resta para obtener el 1371

    1371 = 6798-5430+1+2

    Estaba muy satisfecho con mi respuesta, hasta que me dí cuenta de que no podía usar el 0 jajaja

    Al ver el 0 en la imagen (los números de fuego) supuse que también se tenia que usar!!! Por no leer con cuidado las instrucciones!!!

    Lo que me hizo pensar, sera mas fácil encontrar estas representaciones si tienes que usar el 0? (más difícil no es porque solo puedes agregar +0 a las representaciones ya encontradas)

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