Representar gráficamente funciones polinómicas de segundo y tercer grado

La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo y tercer grado aparece en gran cantidad de ocasiones en matemáticas de bachillerato y primeros cursos de universidad principalmente. Por eso es muy importante tener claro cómo realizarlas. Si bien es cierto que utilizando las aplicaciones de la derivada al estudio de funciones junto con algún que otro detalle podemos realizar de forma sencilla esas representaciones en este artículo voy a explicar cómo podemos hacerlo a partir de los coeficientes del polinomio y alguna cosilla más.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 2

Las funciones polinómicas de grado 2 son del tipo f(x)=ax^2+bx+c, con a,b,c \in\mathbb{R}. Sus representaciones gráficas son las famosas parábolas. Hay dos posibles representaciones que dependen del signo de a. Son éstas:


a > 0

a < 0

Grado 2 con a positiva Grado 2 con a negativa

Después de conocer qué tipo de parábola tenemos hay que ubicarla en el plano. La que veo como opción más razonable es calcular el vértice de la misma. Este cálculo se realiza de la siguiente forma:

  • Coordenada x del vértice: v_x=\textstyle{\frac{-b}{2a}}
  • Coordenada y del vértice: v_y=f(v_x)

Con estos datos en muchos casos podemos dibujar la parábola. Si todavía no lo tenemos muy claro lo mejor es calcular un par de puntos dando a x dos valores, uno a la izquierda de v_x y otro a su derecha y sustituirlos en f(x) para calcular sus coordenadas y. Después unimos el vértice con esos puntos con una curva y continuamos la misma hacia el infinito.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 3

Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, con a,b,c,d \in\mathbb{R}. Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones que dependen del signo de a y de la relación entre b^2 y 3ac. Por tanto, para poder representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las cuatro gráficas posibles:


a > 0

a < 0

b^2 \le 3ac

Grado 3 con a positiva y b^2 menor o igual que 3ac 3 con a negativa y b^2 menor o igual que 3ac

b^2 > 3ac

Grado 3 con a positiva y b^2 mayor que 3ac Grado 3 con a negativa y b^2 mayor que 3ac

Este tipo de funciones tienen un punto de inflexión, es decir, un punto donde la curvatura de la función cambia, esto es, la función antes del punto se curva de una forma y pasa a curvarse de otra. El punto donde ocurre ese hecho se calcula de la siguiente forma:

  • Coordenada x del punto de inflexión: I_x=\textstyle{\frac{-b}{3a}}
  • Coordenada y del punto de inflexión: I_y=f(I_x)

Para obtener más información sobre el la representación de la función también es útil calcular los puntos de corte con el eje X resolviendo la ecuación f(x)=0. Una función de este tipo puede tener uno, dos o tres cortes con el eje X.

Las funciones que cumplen que b^2 \le 3ac cortan al eje X en sólo un punto. En este caso habrá que tener muy en cuenta el punto de inflexión para poder representarlas de forma correcta.

Las funciones que cumplen que b^2 > 3ac pueden tener uno, dos o tres puntos de corte pero su representación es la misma. En el caso de que obtengamos dos soluciones reales (dos puntos de corte por tanto) obliga a que una de ellas aparezca dos veces (por ejemplo, para f(x)=x^3+2x^2+x ocurre eso). En ese punto la función toca al eje X y cambia de monotonía, es decir, si antes crecía en ese punto pasa a decrecer y viceversa. El punto de inflexión no será tan relevante para éstas aunque siempre puede calcularse para asegurar más la representación.

Por todo esto la representación gráfica de las funciones polinómicas de grado tres comenzará viendo la relación entre b^2 y 3ac (con lo que sabremos la forma de la gráfica) y seguirá calculando las soluciones reales de la ecuación f(x)=0 (con lo que conoceremos cuántos puntos de corte tiene la función con ele eje X). En ese momento elegimos la representación correspondiente a la función que tengamos y hacemos que la función pase por esos puntos dándole la forma que nos indica la tabla, teniendo en cuenta el detalle del punto de inflexión en el caso en el que sea necesario. Sin olvidar, claro está, que si con todo esto no nos vemos capaces de realizar todavía la representación siempre podemos hacer una tabla de valores tomando valores a cada lado de los puntos de corte consiguiendo así más puntos que completen la información anterior.

Bonus: ¿esas son las únicas representaciones gráficas posibles?

Cualquiera que haya leído esta guía ha podido pensar: yo conozco representaciones que no vienen en el artículo. Por ejemplo ésta:

Grado 2 no función

Esa representación no pertenece a una función. En realidad son dos funciones solapadas. La ecuación cuya representación es ésa es x=y^2. Hay otra abierta hacia el otro lado y otras correspondientes a las de grado tres.

En general, las representaciones a las que me refiero corresponden a las ecuaciones x=ay^2+by+c y x=ay^3+by^2+cy+d. Como podéis ver son también polinomios de grados dos y tres pero con las variables cambiadas de sitios. ¿Cómo hacer esas representaciones? Pues la teoría explicada antes sirve también para éstas: los vértices se calculan igual, los puntos de inflexión también, el signo de la a influye de igual manera en la forma de la gráfica, etc. De todas formas una opción válida para representar gráficamente estas situaciones es la siguiente:

  • Cambiamos las x por las y. Por ejemplo, si nos encontramos x=y^2+y-2 consideramos y=x^2+x-2, es decir, f(x)=x^2+x-2.
  • Realizamos la representación de la que hemos considerado como hemos explicado antes.
  • Giramos la gráfica 90^\circ hacia la izquierda y dibujamos lo que resultaría de reflejar en un espejo lo que nos encontremos.

Con ésto tenemos ya la representación gráfica buscada.

Espero que esta miniguía os sea útil en vuestros quehaceres matemáticos.

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10 comentarios

  1. Trackback | 15 dic, 2008

    Bitacoras.com

  2. Tito Eliatron | 15 de diciembre de 2008 | 11:08

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    Siento decirlo, pero hay un mini-error.

    En la tabla de gráficas de funciones de tercer grado, la segunda fila no sólo corresponden a funciones cúbicas tales que f(x)=0 tenga 2 o 3 soluciones, sino que esa representación puede corresponder a funciones con 1 única solución real.

    Por ejemplo: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+6 tiene una única solución real x=-1, pero es fácil darse cuenta que la gráfica es de este tipo (posición 1,2 en la tabla en cuestión).

    Por lo demás, es una entrada bastante completa y muy interesante. Es un buen ejercicio comprobar que un polinomio cúbico siempre tiene, al menos, 1 solución real, y 1 punto de inflexión.

    Algo un poco más difícil es comprobar que un polinomio de 4º grado, siempre tiene un EXTREMO RELATIVO.

    enhorabuena por la entrada Diamond!!!

  3. Gulliver | 15 de diciembre de 2008 | 11:16

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    En el caso de los polinomios de tercer grado con forma de “N” merece la pena analizar la derivada. Las raíces del polinomio no nos dan información suficiente para localizar el máximo y el mínimo local, especialmente cuando el polinomio solo tiene una raíz real pero tiene máximo y mínimo.

  4. Tobar | 15 de diciembre de 2008 | 16:33

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    en la cubica las raizes son donde la curva corta el eje x ( y=0).

    cuando colocas teoremas de ramanujan ? es interesante.

  5. Marco | 15 de diciembre de 2008 | 16:37

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    este muchacho que acabo de escribir ( tobar) vaya es autentico, siempre anda metido en foros de matematicas y fisica, en el colegio, vaya tio, ni siquiera estudiaba solo le bastaba ir a presentar el examen, y ahora en la universidad vaya monstruo. me ha dicho que este es un foro bastante interesante, y ya lo compruebo. te felicito ^DiAmOnD^.

  6. Jordiet | 15 de diciembre de 2008 | 19:47

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    En el caso que comentas de la parábola, para obtener más información antes que representar dos puntos arbitrarios cercanos al vértice, creo que és más interesante calcular los puntos de corte con los ejes.

  7. hernan | 16 de diciembre de 2008 | 00:45

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    Tiene razón Tito Eliatron, para las de tercer grado no es exacto decir que las del segundo grupo tienen dos o tres raices reales (depende de ‘d’), una manera de clasificar los grupos es por biyectiva o no.

    Si no me equivoco, puede uno deducir si se trata de uno u otro caso viendo si la derivada en el punto de inflexión tiene el mismo signo que ‘a’. Haciendo las cuentas, salvo error, tengo que la condicion 3 a c \ge b^2 implica que el polinomio es del primer grupo (biyectivo; una sola raíz real garantizada).

    Por otro lado, es útil para los estudiantes “ver” esto de que el polinomio de grado tres siempre tiene al menos una raíz real, y que esto puede generalizarse a polinomios de grado impar: el teorema fundamental del álgebra, en el plano complejo, puede verse como una analogía de esta propiedad (reemplazando los “puntos” “más y menos infinito” por circunferencias de radio cero e infinito).

    (De paso: que el polinomio deba ser real tiene relación con el hecho de que una matriz de rotación deba tener autovalor igual a uno si la dimensión es impar, y por lo mismo, que toda rotación de una esfera en un espacio de dimensión impar debe tener un punto fijo).

    Lo que dice Tito, de ver que un polinomio de grado 4 siempre tiene un extremo relativo, me parece bastante directo con análisis (y para cualquier grado par), puesto que la derivada de un polinomio par es un polinomio de grado impar, y este tiene un cero con cambio de signo.

  8. ^DiAmOnD^ | 16 de diciembre de 2008 | 03:06

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    Cierto, grave error. Gracias Tito por el aviso y gracias hernan por el comentario. He comprobado lo que comentas y tus cálculos son correctos. Voy a rectificar el tema.

    jordiet puede que la parábola no tenga puntos de corte con el eje X, por lo que no obtendríamos información. De todas formas tampoco está mla calcular esos puntos de corte.

  9. ^DiAmOnD^ | 16 de diciembre de 2008 | 03:30

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    Bueno, creo que ya está. Esto me pasa por perfilar los detalles del post con sueño :(. Menos mal que tengo unos comentaristas atentísimos que me avisan casi al instante. Gracias chicos.

    Por cierto, si encontráis algún otro error no dudéis en avisarme.

  10. Tito Eliatron | 16 de diciembre de 2008 | 10:56

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    hernan no es tan directo como parece (lo del 4º grado) es fácil ver que la derivada se anula siempre, pero hay que pararse un poco a pensar lo del cambio de signo.

    PD: De nada ^DiAmOnD^ pa eso estamos, para pequeñas reparaciones de chapa y pintura, cuales alumnos coñazos

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