Resolver el cuadrado y el cubo de un binomio de forma gráfica

Ayer, en el artículo Sumando números impares apareció la identidad (n+1)2=n2+2n+1. Todos nos aprendimos de memoria esta identidad pero seguro que muchos no llegaron a comprenderla del todo, simplemente la guardaron en la memoria para cuando hiciera falta. A este colectivo les puede ayudar mucho la imagen que nos ha enviado Papá Oso. Aquí os la dejo junto con una sencilla explicación:

Construyamos un cuadrado de lado n+1. Su área será (n+1)2. Ahora desde el vértice inferior derecho medimos n unidades hacia arriba y hacia la izquierda y trazamos paralelas a los lados. Nos queda un cuadrado de lado n cuya área será n2, otro cuadrado de lado 1 cuya área es 1 y dos rectángulos de lados 1 y n que tendrán área n·1=n cada uno. Es evidente que la suma de esas áreas debe ser el área total del cuadrado. Pero como vemos la suma de esas áreas es n2+1+2n. Obtenemos así la identidad buscada. Y ahora la imagen:

(n+1) al cuadrado de forma gráfica

Sobra decir que esto es aplicable al cuadrado de cualquier binomio, es decir, a (a+b)2 sean cuales sean a y b:

(a+b) al cuadrado de forma gráfica

Y a cualquier otra identidad notable de este tipo. En esta página (de donde he sacado esta última imagen) podéis ver alguna otra.

Y claro, uno puede plantearse si esto serviría también para el cubo de un binomio. Pues sí, claro que si, pero ahora sería un cubo lo que dividiríamos en partes.

Se tiene que (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Vamos a verlo:

(a+b)3

(a+b) al cubo gráficamente

a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b) al cubo desarrollado gráficamente

(Imágenes sacadas de aquí)

Y para terminar una presentación en flash en la que podemos ver la construcción gráfica de estas dos potencias de binomios (con un añadido: demostración gráfica del teorema de Pitágoras distinta a la que nosotros dimos): Geometrizando.

Aunque todo lo que hemos contado en este artículo sea bastante evidente seguro que ha servido para aclarar más estos temas tan sencillos a muchos lectores y lectoras de Gaussianos.

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19 comentarios

  1. Trackback | 1 feb, 2007

    meneame.net

  2. Lino | 1 de febrero de 2007 | 14:44

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    Muy interesante. En los libros clásicos de matemáticas estas demostraciones eran muy habituales. Es una lástima que se hayan perdido en la concepción más “moderna” de la matemática

  3. Maui | 3 de febrero de 2007 | 02:47

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    ¡Es genial!

    Con los cubos se entiende mucho mejor.

    ¿Será posible crear una imagen en tu cabeza para fórmulas mas complejas?

  4. Pere | 5 de febrero de 2007 | 20:56

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    Este cuadrado fue utilizado por fibonacci para resolver Ax^2+Bx+C=0. Su demostración es fácil si se realizan los cambios: a=B/2/A, c=-C/A y b=x. Luego b^2+2Ab=c para encontrar b mirar el cuadrado rosa de la figura. Su área es b^2+2ab+a^2 = c+a^2. Si se realiza la raiz cuadrada del área se obtine b+a=sqrt(c+a^2) esto es: b=sqrt(c+a^2)-a. Realizando los cambios: x= -B/2/A+sqrt((B/2/A)^2-C/A). De acuerdo encontro una de las dos soluciones.

  5. ikkaro | 10 de febrero de 2007 | 23:53

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    lastima que no tengamos ejemplos graficos para potencias mayores de 3 :P, seria interesante !

  6. Davidmh | 12 de febrero de 2007 | 20:30

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    Gráficas no, pero se puede usar el triángulo de Pascal.

  7. Edco | 13 de febrero de 2007 | 07:40

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    Pues = esta padre la forma grafica pero siempre me parece mejor El Teorema del Binomio de Newton para resolver problemas con potencias de binomios.El triangulo de Pascal = es bueno pero lo genial es la demostracion

  8. las demostraciones donde estan | 8 de marzo de 2007 | 00:50

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    necesito todas la demostraciones posible del coeficiente binomial me dejaron demostrar una que es la siguiente demostrar que esto se cumple para todo n que pertenece a los naturales

    la sumatoria desde i=0 hasta n con coefiente binomial (n i) es igual al 2 a la n urgente la necesito para este viernes espero que me entiendan

  9. jackeyn | 24 de marzo de 2007 | 02:01

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    q las matematicas son muy importantes para todos siguan estudiando

  10. alvaro | 26 de marzo de 2007 | 07:48

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    pal compadre que queria saber la suma de los coeficientes binomiales,basta tomar el teorema del binomio de newton en un caso particular,es decir,expresar (1+1)^n cm binomio de newton…

    sumatoria{n sobre k}1^n-k x 1^k donde la sumatoria es desde 0 a n…eso po…. el colocar los 1 es el trukito para deducir el resultado q tu quieres

  11. Edith Neiva | 30 de marzo de 2007 | 16:31

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    La verdad me parece interezante como se puede llegar a resolver y explicar a los demas la resolucion de un binomio , porq el estudiante relacionara no solo el binomio tambien la geometria

  12. marco | 2 de abril de 2007 | 03:11

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    las matematicas para todo el que ve esta pagina es un libro para los primates¡

  13. fernado | 3 de abril de 2007 | 02:24

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    no entiendo si me pueden mandar un a resolucion

  14. susana falquez cano. | 11 de abril de 2007 | 03:41

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    esta bie pero tienen que especificar mas me parce que no son muy claros y no se logra entender muy bien…

  15. Lyserg Reginleif.- | 12 de abril de 2007 | 22:46

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    q recuerdos…
    eso me lo enseñaron, con toda la explicacion en segundo medio =P

  16. Romina | 3 de mayo de 2007 | 21:47

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    hola, quisiera ayuda para resolver la sumatoria del cuadrado del binomio, o sea demostrarlo por induccion.
    si me pudieran ayudar seria genial.
    adios. =D

  17. Cristhian Camacho | 6 de marzo de 2014 | 21:09

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    Generalizando:

      \displaystyle  \left ( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right )^{2} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} ^{2} + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} a_{j}

      \displaystyle  \left ( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right )^{3} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} ^{3} + 3 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \left ( a_{i}^{2} a_{j} + a_{i} a_{j}^{2} \right ) + 6 \sum_{i=1}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} a_{i} a_{j} a_{k}

    La pregunta ahora seria: Cuantos coeficientes distintos tiene

      \displaystyle  \left ( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right )^{m} = ?

    Me atrevo a conjeturar que es igual al numero de particiones de m

  18. Cristhian Camacho | 10 de marzo de 2014 | 15:53

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    Nota: El valor del coeficiente de

      \displaystyle  a_{i}^{p_{1}}  a_{j}^{p_{2}}  a_{k}^{p_{3}}  \cdots  a_{z}^{p_{x}}  donde   \displaystyle  p_{1}+p_{2}+p_{3}+\cdots+p_{x} = m

    es

      \displaystyle  \binom{m}{p_{1},p_{2},p_{3},\cdots,p_{x}} = \frac{m!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!\cdots p_{x}!}

  19. Cristhian Camacho | 10 de marzo de 2014 | 17:32

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    Luego \displaystyle \left ( a_{1} + a_{2} \right ) ^{m} es un caso especifico

    \displaystyle \left ( a_{1} + a_{2} \right ) ^{m} = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a_{1}^{i} a_{2}^{m-i}

    Pregunta: Cual seria la formula general para

    \displaystyle \left ( a_{1} + a_{2}  + a_{3} \right ) ^{m} = ?

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