Resuelto el problema de los conjuntos generalizados de Sidon…y dos españoles son parte de los “culpables”

Recientemente ha caído otro de esos problemas que se han mantenido sin solución muchos años después de su planteamiento. En este caso se trata del problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Y en esta ocasión estamos de doble enhorabuena ya que los culpables ha sido tres matemáticos, de los cuales dos son españoles. En concreto, debemos la solución de este problema a Imre Ruzsa y a nuestros compatriotas Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa. La verdad es que es un orgullo para todos nosotros que sigan saliendo matemáticos españoles asociados a soluciones de problemas que han estado tanto tiempo esperando que alguien consiga meterles mano (recordad el también reciente caso de Francisco Santos y la conjetura de Hirsch). Vamos a explicar un poco qué son estos conjuntos y de qué va este problema.

Los conjuntos de Sidon

Un conjunto de Sidon es un conjunto de números naturales (menores que una cantidad dada) que cumple que las sumas de dos elementos cualesquiera del conjunto dan siempre resultados distintos. Por ejemplo, el conjunto

\lbrace 1,2,5,10 \rbrace

es un conjunto de Sidon, pero el conjunto

\lbrace 1,2,3,4 \rbrace

no lo es, ya que 1+4=2+3.

El denominado problema de los conjuntos de Sidon puede enunciarse de la siguiente forma:

¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, menores que una cierta cantidad, tales que las sumas de dos cualesquiera de sus elementos son siempre distintas?

Este problema fue propuesto por el matemático húngaro Simon Sidon al genial Paul Ërdos en 1932. En principio Sidon estaba interesado en el problema por ciertas cuestiones relacionadas con el análisis de Fourier, pero lo que enganchó a Ërdos fue la componente aritmética y combinatoria de dicho problema.

Tanto se interesó Ërdos por el problema de los conjuntos de Sidon que consiguió resolverlo poco después de conocer su planteamiento. Bien, caso resuelto…¿o no? Más bien no. Como en todos los temas relacionados con las matemáticas, la cuestión se puede generalizar, y la demostración de la generalización de este problema es la que quedó si solución.

¿Cómo podemos generalizar este problema? Pues muy sencillo: permitiendo que los resultados de las sumas aparezcan (como mucho) una vez, dos veces, …, en general g veces. Este es el que se denomina problema de los conjuntos generalizados de Sidon, o conjuntos g-Sidon. Bien, pues este problema cuyo enunciado es tan sencillo es el que ha traído de cabeza a más de un matemático desde hace 80 años, y es el que nuestros compatriotas Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, junto a Imre Ruzsa, han conseguido resolver. Para ello han utilizado técnicas pertenecientes a varias ramas de las matemáticas, como probabilidad, combinatoria, análisis y álgebra. Según las propias palabras de Javier:

Aunque en el pasado hice avances, uno de ellos con este matemático húngaro (Ruzsa), no ha sido hasta ahora que ha salido. Hemos introducido ideas nuevas combinando métodos y al final han dado con la solución, aunque el resultado ha sido un auténtico encaje de bolillos en el que se han engarzado muchas piezas distintas.

Mi más sincera enhorabuena para los tres, ya que se merecen que la historia les brinde la oportunidad de aparecer como los que resolvieron el problema de los conjuntos generalizados de Sidon:

  • Javier lo merece porque, según sus propias palabras, este problema llevaba unos 20 años en su mente. Por cierto, os dejo también este artículo de Javier Cilleruelo sobre el tema que apareció hace un par de años en La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

    Javier Cilleruelo

  • Carlos lo merece porque su implicación en el problema ha debido ser tremenda, ya que su tesis Generalized Sidon Sets trata sobre ello (no en vano su director de tesis fue Javier Cilleruelo).

    Carlos Vinuesa

  • Imre lo merece porque sus avances en este problema han sido claves en su posterior resolución.

    Imre Ruzsa

Y para terminar una curiosidad. En cualquier problema abierto se suele prever por dónde va a ir la solución. Es decir, se suele tener una idea de por dónde van a ir los tiros que se va formando conforme se avanza en la investigación de dicho problema. Pues bien, en este problema los investigadores se han llevado una pequeña sorpresa, ya que al final los conjuntos g-Sidon en \lbrace 1, \ldots n \rbrace puede ser más grandes de lo que inicialmente se pensaba.

Fuentes (lo he leído en más sitios, pero quizás estas dos sean las más representativas):

Y gracias a Ignacio, Agustín y Mario por enviarme sendos mails sobre este tema en los últimos días.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Hoy abriré yo la lata: enhorabuena a los 3, especialmente a Javier Cilleruelo, con quien tendré clase a las 12:30 de Conjuntos y Números (más de Números que de Conjuntos hoy).
    Por cierto, el día 25/11, lo entrevistaron en Buenafuente vía telefónica, pero he de decir que me ahorraré mis opiniones sobre Ana Morgade para evitar que mi comentario sea censurado, la cual frustró lo poco (o mucho) que pudiera habernos contado sobre el problema.

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  2. Samuel, vaya, es profesor tuyo. Si tienes la suficiente confianza con él felicítalo de mi parte :).

    Sobre el tema de Buenafuente, no lo vi. Me podrías enviar un mail (en la sección Contacto está el mail y un formulario de contacto) con lo que has comentado que te censuraría.

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  3. Ya decía yo que me sonaba esa cara (la de Javier), ¡¿pues no se parece a John von Neumann?!.

    Por cierto, ¿cual es entonces la longitud máxima? (¿la que sale en el documento de La Gaceta?).

    ¡Enhorabuena a los premiados, claro!

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  4. ¿Dónde se puede encontrar el documento con la resolución del problema?

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  5. Mi mas sincera enhorabuena a los tres. Tambien hay que decir que Carlos Vinuesa (tuve el placer de ser “entrenado” por el para el IMC el curso pasado en la UAM 🙂 ) es un mago de primera fila, y es simplemente impresionante verle con una baraja en la mano.

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  6. ¡Hola! Siento desvirtuar el tema, pero, ¿podría postear aquí una pequeña y muy fácil pregunta matemática que tengo pero que no tiene nada que ver con el tema? ¿O hay algún correo con el que pueda contactar?

    Por cierto, sigo el blog desde hace ya unos meses (estoy empezando a leer desde los primeros artículos) y sólo puedo felicitaros. Es una página muy amena y apta para los neófitos matemáticos como yo.

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  7. Dani, vaya, además mago. Bueno, en realidad no me extraña, las matemáticas y la magia tienen más relación de la que se piensa.

    Héctor, echa un ojo a la sección Contacto y encontrarás la forma de comunicarte conmigo. Ah, y me alegro de que te guste el blog. Sigue leyendo artículo, encontrarás cosas muy interesantes.

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  8. Este Carlos siempre liándola por donde va 😉

    Y Cilleruelo fue profesor mío de Conjuntos y números el año pasado jaja. A ver si le veo por los pasillos y se lo comento XD

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  9. Carlos Vinuesa es un excelente matemático. Este trabajo es el resultado principal de su tesis doctoral, aunque también tiene otros resultados importantes. Es además un excelente mago. Este año ha sido galardonado con el premio “Mago del año”, el premio de magia de mayor prestigio a nivel nacional.

    Imre Ruzsa es uno de los grandes expertos internacionales en teoría combinatoria de números. Probablemente, el que mejor entiende los misterios más profundos de los números enteros.

    Si alguien tiene curiosidad por ver el trabajo de investigación al que se refiere la noticia,
    lo puede conseguir en la página personal de Javier Cilleruelo. Ir a publicaciones y buscar un artículo de 2010 titulado “Generalized Sidon sets”.

    En mi opinión, este trabajo es bueno, está publicado en una buena revista y da respuesta a un problema que llevaba tiempo planteado. Sin embargo, para poner las cosas en su sitio, creo hay otros resultados, tan buenos o mejores, de matemáticos españoles, que no tienen ninguna repercusión mediática.

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  10. @Gonzalo:
    ¿Eres del grupo de Bárbara, Raúl, Silvia o Mónica?
    Me da a mí que nos podemos ver casi a diario y no darnos ni cuenta… estoy en 1º.

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  11. Este resultado tiene la ventaja de que se puede explicar con pocos conceptos matemáticos, de ahí su difusión en los medios de comunicación. Seguro que hay resultados publicados por españoles que son tan importantes como éste.

    Os comento sólo una cosa más. En un periódico acababa el artículo sobre esta noticia con “no se ha encontrado aún aplicación práctica”. Me gustaría que me explicaran la aplicación práctica de encontrar el arca de Noé, de darle autoría al “Lazarillo” o de publicar una poesía inédita de García Lorca.

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  12. Hombre @bluf, faltaría definir “algo es práctico”, pero tomando la acepción “que es útil o produce provecho inmediato”, algunas cosas que me parecen prácticas de lo que comentas:

    Encontrar el arca de Noé:
    – daría información para aplicar a nuevos hayazgos y reforzar hipótesis.
    – forrarse por los derechos de que la gente lo vea es muy práctico.
    – la población en que se encontrara o que la acogiera (caso de estar bajo aguas), vería muy práctico que se quedara en ella.
    – reforzar determinadas posturas religiosas es muy práctico para determinados colectivos (da igual que tenga sentido, la escusa es lo que vale).
    – un montón de empresas verían práctico tener que: reeditar libros, enciclopedias, crear nuevos productos, …

    darle autoría al “Lazarillo”, si entendemos por darle autoría, tener un mínimo de conocimiento del autor (no sólo que se llamaba “Pepe Pepón”)
    – para la población que lo vió nacer imaginate si iva a ser práctico.

    una poesía inédita de García Lorca
    – los cantantes ganan un montón de pasta (y son adulados, idolatrados, etc…) por: plagiar, reeditar, versionar, … canciones por todos conocidas, ¿una poesía inédita del mayor poeta del siglo XX?

    En cualquier caso, esto (que no tenga utilidad práctica) nunca ha preocupado a los matemáticos.

    Aunque, bien visto, ¿no es suficiente provecho inmediato la satisfacción del matemático al resolver un problema?. 😀

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  13. Me pregunto si es meramente casual que Imre y Erdös sean ambos húngaros. Mi enhorabuena a estos matemáticos.

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  14. Uff… eso tiene una utilidad bestial, solo con creer, te salva de ir al infierno y tendrás pase VIP en el Cielo si dices que tu planeta tiene menos de 10.000 años.

    Me río por no llorar…

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