Saber si un número es divisible entre 11 y entre 19

Comenzamos la semana con un artículo sobre criterios de divisibilidad que, aunque a la gran mayoría os resultará sencillo, puede ser muy útil en ciertas situaciones concretas. Vamos a aprender a indentificar si un número es divisible entre 11 y entre 19.

Divisibilidad entre 11

Todo número entero positivo N puede escribirse de la siguiente forma:

N=a+10b+100c+1000d+ \ldots

Por ejemplo, 143=3+10 \cdot 4+100 \cdot 1 y 29785 =5+10 \cdot 8+100 \cdot 7+1000 \cdot 9+10000 \cdot 2. Si al dividir este número entre 11 nos queda resto {0} entonces el número será divisible entre 11, y si queda cualquier otro resto entonces no lo será.

Si a N le sumamos o le restamos un múltiplo de 11 el resultado dará el mismo resto al dividirlo por 11 y por tanto analizando ese resultado obtendremos la conclusión deseada sobre nuestro número N. Esta propiedad es la que vamos a utilizar.

Procedemos le la siguiente forma: le restamos a N el número 11(b+10c+100d+ \ldots). El resultado es a-b-10(c+10d+ \ldots). Sumamos ahora el número 11(c+10d+\ldots) y nos queda a-b+c+10(d+ \ldots). Restamos ahora 11(d+ \ldots) y nos queda a-b+c-d+ \ldots. Continuamos de la misma forma hasta que lleguemos al último término. El resultado es una expresión en la cual aparecen las cifras situadas en posición impar en N tienen signo positivo y las situadas en posición par tienen signo negativo. Realizamos esa operación y analizamos si el resultado (si sale un número negativo lo podemos tomar como positivo) es divisible entre 11. Si es así entonces N también lo será; si no lo es entonces N tampoco. Si el número obtenido es muy grande aplicamos el mismo razonamiento hasta llegar a un número del cual sepamos con seguridad si es o no divisible entre 11.

Veamos algunos ejemplos:

143 \longrightarrow 1-4+3=0, que es divisible entre 11. Por tanto 143 es divisible entre 11.

29785 \longrightarrow 2-9+7-8+5=-3. Como 3 no es divisible entre 11 entonces 29785 no es divisible entre 11.

3879847390637 \longrightarrow 3-8+7-9+8-4+7-3+9-0+6-3+7=20 \rightarrow 2-0=2, que no es divisible entre 11

Por tanto 3879847390637 no es divisible entre 11.

Divisibilidad entre 19

A diferencia del caso anterior, vamos a expresar nuestro número inicial N de la siguiente forma: N=10x+y, siendo y la cifra de las unidades y x la cantidad de decenas. Por ejemplo, 59 tiene 5 decenas y 7087 tiene 708 decenas. Multiplicamos este número por 2, obteniendo 2N=20x+2y. Restando ahora el número 19x, múltiplo de 19, nos queda 2N-19x=x+2y. Al igual que antes, este número dejará el mismo resto que N al dividirlo entre 19. Por tanto N será divisible entre 19 si y sólo si lo es x+2y. Por tanto para analizar si un número es divisible entre 19 aplicaremos este procedimiento las veces necesarias hasta llegar a un número lo suficientemente pequeño para saber a ciencia cierta si es o no divisible entre 19.

Veamos algunos ejemplos:

59 \longrightarrow 5+2 \cdot 9=23 \rightarrow 2+2 \cdot 3=8, que no es divisible entre 19. Por tanto 59 no es divisible entre 19.

7087 \longrightarrow 708+2 \cdot 7=722 \rightarrow 72+2 \cdot 2=76 \rightarrow 7+2 \cdot 6=19, que evidentemente es divisible entre 19. Por tanto 7087 es divisible entre 19.

\begin{matrix}4876703 \longrightarrow 487670+2 \cdot 3=487676 \rightarrow 48767+2 \cdot 6=48779 \rightarrow 4877+2 \cdot 9= \\ =4895 \rightarrow 489+2 \cdot 5=499 \rightarrow 49+2 \cdot 9=67 \rightarrow 6+2 \cdot 7=20 \end{matrix},

que no es divisible entre 19. Por tanto 4876703 no es divisible entre 19.

En este artículo de la Wikipedia podéis ver más criterios de divisibilidad, aunque sin demostrar. Y en nuestro anterior artículo Múltiplos de 37 podéis volver a ver las curiosas propiedades de la divisibilidad entre este número.

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  1. Trackback | 2 jun, 2008

    meneame.net

  2. Omar-P | 2 de junio de 2008 | 14:39

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    DiAmOnD hizo referencia a 3 divisores que son números primos 11, 19 y 37. Curiosamente encontramos estos 3 números juntos en la tabla peródica de los elementos. Son los números atómicos de los metales alcalinos del tercer, cuarto y quinto período, (Sodio, Potasio y Rubidio), ubicados en la primera columna de la tabla. La conclusión que saco es que a DiAmOnD le gusta la química, je, je, je.

  3. Lek | 2 de junio de 2008 | 15:47

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    Pues el de 11 vaya, pero el de 19 es como un poco complejo, ¿no? Para números grandes casi te trae más cuenta calcularlo directamente ^^

  4. Omar-P | 2 de junio de 2008 | 16:17

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    Aprovecho este post sobre divisibilidad para hacer una consulta a los Gaussianos:
    ¿Tienen alguna referencia sobre la siguiente afirmación?:
    “Si p es un número primo entonces el enésimo número con p divisores es igual al enésimo número primo elevado a la potencia p-1″.
    Por ejemplo:
    Para hallar el tercer número con 7 divisores, elevamos el tercer número primo
    a la potencia 7-1, es decir 5^6 = 15625.

  5. ^DiAmOnD^ | 2 de junio de 2008 | 22:11

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    Hombre Lek; yo no lo veo tan complicado. Son todo multiplicaciones y sumas. Aunque sí es cierto que para números grandes igual la división es más corta. Pero vamos, la cosa era mostrar el criterio.

    Omar pues no, no tengo referencias sobre ese resultado, pero parece curioso. ¿Alguna demostración?

  6. Omar-P | 2 de junio de 2008 | 23:53

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    DiAmOnD, la idea anterior también puede expresarse de la siguiente manera:
    “Si p es un número primo, entonces las “p-1″ potencias de los números primos son iguales a los números con p divisores”.
    Por ejemplo:
    Las decimosextas potencias de los números primos son iguales a los números con 17 divisores.

  7. Omar-P | 3 de junio de 2008 | 17:06

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    Si no me equivoco DiAmOnD, el enunciado que aparece en el comentario del 2 de junio de 2008 a las 16:17, es un caso particular de un enunciado mas general, el cual nos permite hallar cualquiera de los divisores de los números con un número primo de divisores. El resultado general dice así:
    “Si p es un número primo, entonces el k-ésimo divisor del enésimo número con p divisores es igual al enésimo número primo elevado a la potencia k-1″.
    Por ejemplo:
    Para hallar el octavo divisor del tercer número con 11 divisores, elevamos el tercer número primo a la potencia 8-1, es decir:
    5^7 = 78125.
    (Entonces el enunciado visto el 2 de junio es un caso particular, en donde k=p).

  8. Omar-P | 3 de junio de 2008 | 17:09

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    No sé si tienes alguna referencia de este otro enunciado.

  9. Mmonchi | 5 de junio de 2008 | 00:01

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    En el enlace a la wikipedia que pones vienen los criterios de divisibilidad hasta 30, pero omite 23 y 29. Estos dos tienen un criterio, el mismo, que suelo utilizar:

    23x29x3=2001. Se va quitando 2001 o sus múltiplos hasta llegar a un valor menor que 2001, y es éste el que se comprueba si es divisible entre 23 ó 29.

    Ejemplo: 4.573.872. Se quita 4.002.000. Queda 571.872. Se quita 570.285. Queda 1.587. Se comprueba que 1587 es divisible entre 23 y no entre 29.

    Un poco friki, ¿no? ;-)

  10. maria | 22 de septiembre de 2008 | 15:53

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    es mu complicado para los de 13 años k lo necesitan saber :P

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