Segmento desconocido en un triángulo

Hoy os vuelvo a traer un problema. Ahí va el enunciado:

En un triángulo acutángulo ABC tenemos que AH, AD y AM son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento DH.

Este problema fue uno de los que salió en el práctico de matemáticas de las Oposiciones a Secundaria de 2015 en Castilla-La Mancha. A mí no me dio tiempo ni siquiera a intentarlo (me entretuve demasiado en los otros dos), pero hoy me he acordado de él y, tras un rato pensando, lo he dejado (no tengo demasiado tiempo ahora). El caso es que he visto por ahí una solución y me parece ridículamente larga y farragosa para un problema planteado en una oposición. A ver si por aquí conseguimos una solución más elegante.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Por bisectriz interior de un ángulo (a/2+1)/(a/2-1)=11/8; a=38/3
    Si BH=x por Pitágoras 11^2-x^2=8^2-(38/3-x)^2 x=103/12
    DH=5/4

    Publica una respuesta
  2. Como la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes, tenemos que

    CD/DB = 8/11 ===> a = CD + DB = 19/11 DB

    DB = 11/19 a, CD = 8/19 a

    Como CM = 1/2 a, tenemos que 1 = DM = CM – CD = (1/2 – 8/19)a = 3/38 a ===> a = 38/3

    CD = 16/3

    El semiperímetro del triángulo es

    s = (11 + 8 + 38/3)/2 = 95/6
    s – a = 19/6, s – b = 47/6, s – c = 29/6

    Por tanto, la superficie del triángulo es

    S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \dfrac{19\sqrt{5 *29*47}}{36}

    y

    h = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{\sqrt{5*29*47}}{12}

    Por Pitágoras,

    CH = \sqrt{b^2 - h^2} = \sqrt{64 - \dfrac{5*29*47}{144}}= \sqrt{\dfrac{2401}{144}} = \dfrac{49}{12}

    Entonces,

    DH = CD - CH = \dfrac{16}{3} - \dfrac{49}{12} = \dfrac{5}{4}

    Después enlazo una figura.

    Publica una respuesta
  3. La segunda parte de la demostración de Ignacio, una vez obtenida la distancia CD =\frac{16}{3}, se puede sustituir por:
    CH^2+h^2=8^2
    (a-CH)^2+h^2 = 11^2

    De aquí, se obtiene que CH = \frac{49}{12} sin necesidad de pasar por el área ni el semiperímetro: no hace falta calcular h.

    En cualquier caso, el paso complicado es el primero: llegar a la longitud del tercer lado. ¡Enhorabuena, Ignacio!

    Publica una respuesta
      • Teorema del seno y optimización de funciones no lineales en R:

        library(nleqslv)

        ab <- 11
        ac <- 8

        foo <- function(abc, print.answer = FALSE){
        acb <- asin(sin(abc) * ab / ac)

        bac <- pi – acb – abc

        bc <- ab * sin(bac) / sin(acb) # lado opuesto

        bad <- bac / 2
        adb <- pi – bad – abc

        base.bisectriz <- ab * sin(bad) / sin(adb)
        base.mediana <- bc / 2
        base.altura <- ab * cos(abc)

        if (print.answer)
        return(abs(base.altura – base.bisectriz))

        delta <- abs(base.mediana – base.bisectriz)
        }

        z <- nleqslv(0.5, function(abc) foo(abc) – 1)
        foo(z$x, print.answer = T)

        Da 1.25.

        Publica una respuesta
  4. Un texto escrito en francés sobre métodos de repartición de electos (explicado a literatos que quieren establecer un método de reparto de escaños proporcional en Francia).

    Básicamente, se dice que hay que buscar, debido al caso del chantaje de los pequeñísimos partidos, contra los partidos mayoritarios, cuando no hay mayoría absoluta, en España; un método más mayoritario que el método de Hondt.

    **Un méthode de répartition des élus, entre proportionnelle et majoritaire, à trouver**
    Vous n´avez point mal dit (maudit); sur le blog enfinlademocratie : “”Le problème avec les systèmes majoritaires est qu’ils confondent une majorité d’élus avec des élus représentant une majorité.””
    Et cela est vrai, et j´ai travaillé (en amateur; je ne suis point un professionnel; et donc on ne me paye rien) sur ce sujet. En France, je ne vois pas le moyen de faire plus proportionnel , lors d´elections législatives, que si l´on agrandit les circonscriptions, au moins jusqu´au niveau du département; mai pas jusqu´au niveau de la région; parce que les circonscriptions uninominales françoises, qui n´élisent qu´un candidat, sont forcément majoritaires et très injustes (le gagnant, même s´il n´a recueilli que 16 % des voix (par exemple dans le cas suivant de 7 partis A, B, C, D, E, F, G avec ces résultats A: 16 %, B: 15 %, C: 14 %, C : 13 %, D: 12 %, E : 11 %, F: 10%; G : 9 %. A obtient son député c´est à dire 100 % de l´affaire et par contre 84 % des votes et des partis n´ont obtenu que 0 % des députés. C´est très injuste mathématiquement (et réellement; une distortion de 86 / 16 = 5,25 á 1). Imaginons maintenant que nous sommes dans une relativement petite circonscription plurinominale (un petit département ou un petit village avec 4 conseillers (ou députés ) à élire en mode proportionnel, c´est à dire, avec peu de distortion mathématique. Nous appliquons directement le pourcentage de voix obtenu par chaque parti sur le nombre de candidats 0,16×4 = 0,64; 0,60; 0,56; 0,52; 0,48; 0,44….. Et les problèmes commencent ici.Nous pouvons arrondir le nombre de députés ou de conseillers à l´unité supérieure et nous obtenons : A: 1 élu; B: 1 élu; C: 1 élu; D: 1 élu.Et les quatre conseillers ont été distribués: mais c´est une coincidence. S´il y avait eu 6 conseillers à distribuer il aurait fallu donner un élu à E et á F, avec un résultat de seulement 0,48 et 0,44 conseillers, respectivement.
    Imaginons maintenant que nous avons eu :
    A: 16,1 %, B: 15 %, C: 14 %, C : 13 %, D: 12 %, E : 11, 5 %, F: 10, 5%; G : 7,9 % et qu´il faut élire 8 conseillers ou députés. Nous pouvons donner 1 député à chacun, cela fait justement 8; mais le parti A nous dira probablement qu´il doit avoir le double que G. C´est pour cela que la méthode d´Hondt (ou de Jefferson) fut établie. Divisons tous ces résultats successivement par 1, 2, 3,…,8. Des 64 divisions obtenues, nous choisirons les 8 plus grandes, ce qui nous donne la distribution suivante :
    A: 16,1; 8,05; 2 élus, B: 15; 1 élu, …., F: 10, 5; 1 élu, G: 7,9; 0 élu.
    Il ya d´autres méthodes similaires, possibles (en Espagnol) :
    http://lit-et-raire.blogspot.com.es/2015/10/el-apano-metodo-de-dhondt-explicado-los.html
    Une étude rapide de cette méthode d´Hondt nous indique, que plus la circonscription est grande, plus la répartition est conforme aux mathématiques et à la justesse et qu´en général, grosso modo; les partis ayant fait moins de 17 % obtiennent moins d´élus que de votes reçus et qu´en dessus de 25 % des voix, les partis obtiennent plus de députés que de voix.
    Mais il ya un *trés gros* problème qui se présente expérimentalement en Espagne; que je n´avais pas vu quand je défendais la proportionnelle pure (encore moins distortionnante que la méthode d´Hondt). C´est que dans ce cas de répartition proportionnelle on peut avoir de petits partis (avec moins de 5 élus), qui font un chantage honteux et inadmissible á ceux (ou á l coalition de ceux) qui en ont 30 fois plus; mais pas assez pour avoir la majorité absolue et faire passer les lois importantes. Ces petits partis genre pirate deviennent alors les vrais arbitres de la situation. Et c´ est un énorme paradoxe et une situation anormale que le plus petit (et faible, mais dépourvu d´ethique), devienne, par rebond, l´inadmissible plus fort; l´arbitre et le décideur imposteur de la nation.
    Il faut donc trouver une méthode mathématique un peu plus distortionnante que celle
    d´Hondt, un peu plus majoritaire; de telle manière que la gouvernance du parti le plus voté, ou d´une coalition de partis; puisse être assurée sans aucun dégoûtant chantage de la part des tout petits dépourvus de vergogne (small is beautiful, but not at all in this case) .
    Si j´ai le temps je vais essayer de trouver cette méthode mathématique.
    Et le reste ce n´est que de la littérature.

    Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *