Segmentos entre puntos de una circunferencia

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sean A,C,E,B,D,F puntos consecutivos de una circunferencia tales que CD\cap  EF=P, esto es, el punto de corte de los segmentos CD y EF, es el punto medio de AB. Demostrar que

MP=NP

siendo M=AB\cap DE y N=AB\cap CF.

Que se os dé bien.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Tengo una demostración muy “simétrica”. Si no aparece entre los comentarios intentaré contarla dentro de unos días.

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  2. Creo que tengo una demostración similar a la que propone Manzano, diré como pista que involucra dos triángulos iguales.

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  3. Creo que éste es un conocido resultado en geometría clásica que se conoce como el Teorema de la Mariposa.

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  4. Hola: Es la primera vez que escribo aquí, así que les ruego que perdonen mi ignorancia y que sean benévolos si me equivoco miserablemente.
    Sin tener NPI de los teoremas que indican, intuitiva y puerilmente creo que si construimos una circunferencia de radio 1 y determinamos 6 puntos seguidos cuya distancia (obviamente en línea recta, no siguiendo el camino de la circunferencia) entre ellos sea también 1, construimos un hexágono regular inscrito en dicha circunferencia. Si nombramos dichos puntos con la secuencia dada, tenemos que la distancia entre AB tiene como punto medio el punto P (centro de la circunferencia), por lo tanto las distancias AP y PB son iguales. Si unimos los otros puntos para determinar M y N, observamos que M está definido por el punto de corte de los segmentos AB con DE y por lo tanto las distancias AM y MP son iguales porque el segmento EM es la bisectriz del ángulo AEP cortando siempre al segmento AP en su punto medio. Igual razonamiento tenemos para el punto N, por lo que AM=MP=PN=NB. Supongo que al ser valido para r=1 puede ser válido para cualquier r=k, ya que la construcción es la misma, y supongo que de igual modo valdría para las distancias entre los puntos, pues son equidistantes y sería del tipo AC*j, para cualquier valor de k y de j.
    Un saludo y felicidades por tan magnífica publicación.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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