Sencilla demostración del teorema de Pitágoras

Estoy seguro de que todos sabéis de que hablo si nombre el teorema de Pitágoras. Es uno de esos resultados que se nos quedan grabados a todos desde el colegio. Pero probablemente mucha gente no haya visto o no recuerde ninguna demostración de este hecho y no sepa cómo demostrarlo.

Hay muchísimas demostraciones de este teorema (en la Wikipedia podéis ver unas cuantas). Yo os quiero presentar en este post una que a mí particularmente me parece muy sencilla de comprender. Vamos con ella:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x2 + y2 = r2. La figura que hemos obtenido es la siguiente:

Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Por tanto el área de ese cuadrado es (x + y)2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r2. Y el área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:

(x + y)2 = r2 + 4· xy/2 (1)

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Sustituímos en (1):

x2 + 2xy + y2 = r2 + 2xy

Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniedo así el resultado buscado:

x2 + y2 = r2

Espero que todos la hayáis entendido.

Fuente: Math Fun Facts

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Muy sencillo y gráfico, si señor. Deberían habermelo enseñado así en la escuela, es más interesante que “Toma, trágate esta fórmula”…

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  2. Totalmente de acuerdo con Ellohir, no recuerdo que nunca me hubieran enseñado la demostración de este teorema.
    Y vamos, una demostración así de sencilla la entiende cualquiera.

    Me parece espectacular que tenga 370 demostraciones, y que tantos genios se hayan dedicado a aportar la suya. En el enlace de la Wikipedia aparecen Euclides, Platón, Leonardo Da Vinci…

    No obstante, desde mi ignorancia matemática voy a preguntar ¿Es habitual que un teorema tenga tantas demostraciones?

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  3. Muy buena e ilustrativa demostración, Pitágoras no lo hubiese hecho mejor :-)

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  4. No Ender, normalmente suelen tener una o dos pero en caso de que sea tan conocido como este (o el teorema fundamental del Álgebra, por ejemplo) es fácil que aparezcan tantas.

    De hecho, todo teorema que aparezca en un exámen de Matemáticas es susceptible de ser demostrado de mil maneras distintas (cada alumno tiene que hacer la suya!) si bien la mayoría suelen ser variaciones de una o dos ideas básicas.

    Por cierto, en una de las míticas “Maratones de Problemas” de mi facultad (lease, tarde friki en la que nos juntamos y resolvemos problemas en grupo en plan concurso) no hicieron demostrar el Teorema de Pitágoras de 15 maneras distintas a partir de 15 dibujitos que “ilustraban” dichas demostraciones. Menuda rallada! xD

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  5. En un teorema que se conoce desde hace tanto tiempo sí puede ser habitual que se pueda demostrar de muchas maneras distintas y mediante la aplicación de varias ramas distintas de las Matemáticas. Con el teorema de la infinitud de los números primos pasa algo parecido (en este blog ya hemos visto dos demostraciones aquí y aquí).

    Y ya que lo nombra Papá Oso comentaros que ya hablaremos algo del teorema fundamental del Álgebra, otro resultado del que se conocen varias demostraciones totalmente distintas.

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  6. Podrías poner la ecuación (x+y)^2=x^2+y^2+2xy de forma geométrica también, con rectángulos y ver que quitando los triángulos que forman los 2xy lo que queda debe ser los mismo.

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  7. Muchos demostraron el teorema de Pitágoras…el primero que sepamos ,fue Euclides, en Los Elementos http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/proposicioneslibro1.htm
    y yo sigo quedándome con ésta,pero lo que quiero dejar dicho es que Pitágoras …¡¡jamás lo demostró¡¡ ni tan siquiera se le ocurrió,simplemente era un resultado que se conocía en Mesopotamia ,y como viajó ,pues “se lo trajo de recuerdo”…luego sus discípulos le dieron la paternidad a él…
    saludos.

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  8. Un buen teorema de pitagoras demostrando con instrucciónes.

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  9. GRAN DEMSTRACION, MUESTRA DE UN FORMA MUY SECILLA AL ESTUDIANTE, LA FORMA DE ENTENDER A PTAGORAS CON SU TEOREMA.

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