Senos y raíz dan un racional

Os dejo hoy el problema semanal. Ahí va:

Demostrar que

$\cfrac{sen(1^\circ)sen(2^\circ)\cdots sen(89^\circ)sen(90^\circ)}{\sqrt{10}}$

es racional e indicar su valor.

A por él.

14 comentarios

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josejuan | 8 de November de 2010 | 10:23

como

$\sin a=\cos (\frac{\pi }{2}-a)$

el problema se reduce a

$\frac{\sin 1\cos 1\sin 2\cos 2\cdot \cdot \cdot \sin 44\cos 44\sin 45}{\sqrt{10}}$

cada producto de sin cos se reduce por

$\cos a\sin a=\frac{\sin 2a}{2}$

quedando la expresión

$\frac{1}{10}\sqrt{5}\frac{\sin 2}{2}\frac{\sin 4}{2}\cdot \cdot \cdot \frac{\sin 88}{2}$

(siendo los ángulos grados)

repitiendo el proceso se va dividiendo el número de senos y quizás se llegue a una expresión racional.

Pero ahora no tengo tiempo ;P
josejuan | 8 de November de 2010 | 10:45

No, parece que así no…
Ñbrevu | 8 de November de 2010 | 12:32

No, tirando por ese método el proceso se queda parado tras dos pasos, quedando en $\displaystyle{\frac{\sin 45}{2^{66}}\prod_{i=1}^{22}\sin 4i}$ , que no se puede desarrollar más porque los ángulos ya no se pueden emparejar. Pero parece un buen comienzo.
Sebastian Espinar | 8 de November de 2010 | 13:03

Hola, creo que si utlizamos la identidad
$\prod_{k=1}^{n-1}\sin (k\pi /n)=2^{1-n}n$
(Véase: http://mathworld.wolfram.com/Sine.html)
La solución es cuasi trivial:
$3/2^{90}$
Trackback | 8 Nov, 2010

Bitacoras.com
XV | 8 de November de 2010 | 14:22

Sebastian Espinar:
Utilizando la identidad que comentas con $n=180$ , a mí me da $6/2^{90}$
Ñbrevu | 8 de November de 2010 | 14:55

Vaya, no conocía esa identidad. Entonces, sí, tenemos que $\displaystyle{\prod_{k=1}^{90}\sin\dfrac{k\pi}n=\sqrt{\prod_{k=1}^{179}\sin\dfrac{k\pi}n}}$ (esta igualdad requiere un par de pasos, pero creo que se entiende). Esta expresión es a su vez igual a $\displaystyle{\sqrt{\dfrac{180}{2^{179}}}=6\sqrt{\dfrac52\dfrac1{2^{178}}}}$ . Al dividir por $\sqrt{10}$ queda $6\sqrt{\dfrac5{20}}\dfrac1{2^{89}}=\dfrac6{2^{90}}=\dfrac3{2^{89}}$ .

El mérito es de Sebastián por traer la fórmula, claro. ¿Había otra manera de conseguir el resultado?
Francisco | 8 de November de 2010 | 15:36

La fórmula que trae Sebastián ya se utilizó aquí hace tiempo. Concretamente, en los comments de http://gaussianos.com/producto-de-senos/

Nada, yo por barrer un poco para casa
Sebastian Espinar | 8 de November de 2010 | 17:28

Gracias por la correcion. Soy algo despistadillo con las formulas, je,je.
lobus | 9 de November de 2010 | 01:32

Me late que esa es la unica demostración
.
M | 9 de November de 2010 | 11:47

Bueno, ahí va otra que no se sale del campo real:

Usando que $sen(3\alpha)=4sen(\alpha)sen(60^\circ-\alpha)sen(60^\circ+\alpha)$ , tenemos que el producto $\prod$ que aparece en el numerador es

$\prod=sen(30)sen(60)\prod_{n=1}^{29}sen(n)sen(60-n)sen(60+n)=\dfrac{\sqrt{3}}{4^{30}}\prod_{n=1}^{29}sen (3n)=\dfrac{\sqrt{3}}{4^{30}}sen(30)sen(60)\prod_{m=1}^9 sen(3m)sen(60-3m)sen(60+3m)=\dfrac{3}{4^{40}}\prod_{m=1}^9 sen(9m)$ .

Como $sen(90-\alpha)=cos(\alpha)$ , de esta última igualdad, y usando reiteradamente la fórmula para el ángulo doble, sigue que

$\prod=\dfrac{3}{4^{40}}sen(45)\prod_{m=1}^4 sen(9m)cos(9m)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{85}}sen(18)sen(36)sen(54)sen(72)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{85}}sen(18)cos(18)sen(36)cos(36)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{87}}sen(36)sen(72)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{87}}\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}=\dfrac{3}{2^{89}}\sqrt{10}$ .
Rodrigo | 12 de November de 2010 | 16:13

Para mi que 3/2^89 sqrt(10) no es racional.
Francisco | 12 de November de 2010 | 19:51

Rodrigo, nadie ha dicho que lo sea. Lo que es racional es el producto de los senos partido por sqrt(10). Dicho producto es 3/2^89 sqrt(10), y al dividirlo la raíz se va y queda el 3/2^89, que sí que es racional. Muy pequeñito el pobre, sí, pero racional.