Senos y raíz dan un racional

Os dejo hoy el problema semanal. Ahí va:

Demostrar que

\cfrac{sen(1^\circ)sen(2^\circ)\cdots sen(89^\circ)sen(90^\circ)}{\sqrt{10}}

es racional e indicar su valor.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. como

    \sin a=\cos (\frac{\pi }{2}-a)

    el problema se reduce a

    \frac{\sin 1\cos 1\sin 2\cos 2\cdot \cdot \cdot \sin 44\cos 44\sin 45}{\sqrt{10}}

    cada producto de sin cos se reduce por

    \cos a\sin a=\frac{\sin 2a}{2}

    quedando la expresión

    \frac{1}{10}\sqrt{5}\frac{\sin 2}{2}\frac{\sin 4}{2}\cdot \cdot \cdot \frac{\sin 88}{2}

    (siendo los ángulos grados)

    repitiendo el proceso se va dividiendo el número de senos y quizás se llegue a una expresión racional.

    Pero ahora no tengo tiempo ;P

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  2. No, tirando por ese método el proceso se queda parado tras dos pasos, quedando en \displaystyle{\frac{\sin 45}{2^{66}}\prod_{i=1}^{22}\sin 4i}, que no se puede desarrollar más porque los ángulos ya no se pueden emparejar. Pero parece un buen comienzo.

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  3. Sebastian Espinar:
    Utilizando la identidad que comentas con n=180, a mí me da 6/2^{90}

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  4. Vaya, no conocía esa identidad. Entonces, sí, tenemos que \displaystyle{\prod_{k=1}^{90}\sin\dfrac{k\pi}n=\sqrt{\prod_{k=1}^{179}\sin\dfrac{k\pi}n}} (esta igualdad requiere un par de pasos, pero creo que se entiende). Esta expresión es a su vez igual a \displaystyle{\sqrt{\dfrac{180}{2^{179}}}=6\sqrt{\dfrac52\dfrac1{2^{178}}}}. Al dividir por \sqrt{10} queda 6\sqrt{\dfrac5{20}}\dfrac1{2^{89}}=\dfrac6{2^{90}}=\dfrac3{2^{89}}.

    El mérito es de Sebastián por traer la fórmula, claro. ¿Había otra manera de conseguir el resultado?

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  5. Gracias por la correcion. Soy algo despistadillo con las formulas, je,je.

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  6. Bueno, ahí va otra que no se sale del campo real:

    Usando que sen(3\alpha)=4sen(\alpha)sen(60^\circ-\alpha)sen(60^\circ+\alpha), tenemos que el producto \prod que aparece en el numerador es

    \prod=sen(30)sen(60)\prod_{n=1}^{29}sen(n)sen(60-n)sen(60+n)=\dfrac{\sqrt{3}}{4^{30}}\prod_{n=1}^{29}sen (3n)=\dfrac{\sqrt{3}}{4^{30}}sen(30)sen(60)\prod_{m=1}^9 sen(3m)sen(60-3m)sen(60+3m)=\dfrac{3}{4^{40}}\prod_{m=1}^9 sen(9m).

    Como sen(90-\alpha)=cos(\alpha), de esta última igualdad, y usando reiteradamente la fórmula para el ángulo doble, sigue que

    \prod=\dfrac{3}{4^{40}}sen(45)\prod_{m=1}^4 sen(9m)cos(9m)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{85}}sen(18)sen(36)sen(54)sen(72)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{85}}sen(18)cos(18)sen(36)cos(36)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{87}}sen(36)sen(72)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2^{87}}\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}=\dfrac{3}{2^{89}}\sqrt{10}.

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  7. Rodrigo, nadie ha dicho que lo sea. Lo que es racional es el producto de los senos partido por sqrt(10). Dicho producto es 3/2^89 sqrt(10), y al dividirlo la raíz se va y queda el 3/2^89, que sí que es racional. Muy pequeñito el pobre, sí, pero racional.

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