Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa

Bertrand RussellUna de las anécdotas más conocidas de las que se asocian con el filósofo y matemático Bertrand Russell es su famosa demostración de que “Si 2+2=5, entonces yo soy el Papa”. Parece ser que la historia ocurrió tal que así:

Estaba Bertrand Russell dando una charla sobre sistemas lógicos cuando afirmó que si se partía de una premisa falsa, entonces se podía demostrar cualquier cosa. Una de las personas que estaba escuchando le preguntó:

Entonces, ¿si suponemos cierto que 2+2=5, entonces puede demostrar que usted es el Papa?

A lo que Russell contesto afirmativamente, demostrándolo de la siguiente forma:

Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.

Sublime, como casi siempre, el señor Russell.

La cuestión es la siguiente: ¿cómo podríamos escribir esta características en términos de la lógica clásica? Es decir, ¿hay alguna forma de demostrar mediante la lógica clásica que si añadimos a un sistema lógico una premisa falsa entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa? Pues sí, claro que la hay. Vamos a verla.

Pero antes vamos a recordar un par de cuestiones de Lógica relacionadas con la conjunción y la disyunción.

La conjunción, \land, es una conectiva cuyo significado es “y”. Es decir, dadas dos proposiciones A,B la proposición A \land B se lee A y B. Es sencillo ver a partir de esto que el hecho de que A \land B sea cierta es equivalente a que lo sean tanto A como B por separado. Por ello, si partimos de que A \land B es cierta, podemos usar la regla denominada “eliminación de la conjunción” y quedarnos con cualquiera de las dos proposiciones iniciales.

Por otra parte, la disyunción, \lor, es una conectiva cuyo significado es una “o” no exclusiva. Es decir, dadas dos proposiciones A, B, la proposición A \lor B se lee A o B, y significa que el hecho de que A \lor B sea cierta equivale a que lo sea A, lo sea B o lo sean las dos (por lo de que no es exclusiva). En consecuencia, si partimos de que una cierta proposición A es cierta, se puede usar la regla denominada “introducción de la disyunción” y formar con ella la disyunción entre A y cualquier otra proposición que queramos introducir.

Explicado esto ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar que si introducimos una premisa falsa en nuestro sistema podemos demostrar cualquier cosa. Si una proposición A es cierta, entonces su negación, \lnot A, es falsa. Lo que vamos a demostrar es que si para una proposición A cualquiera tomamos ciertas tanto a dicha proposición como a su negación (es decir, tomamos cierta la conjunción A \land \lnot A), entonces es cierta cualquier otra proposición B:

Partimos de

(1) A \land \lnot A

De ahí obtenemos

(2) A

por eliminación de la conjunción en (1). De aquí obtenemos

(3) A \lor B

por introducción de la disyunción en (2). Ahora, también tenemos que es cierta

(4) \lnot A

por eliminación de la conjunción en (1). Y ahora, como (3) nos dice que o es cierta A, o lo es B o lo son las dos, y, por otro lado, (4) nos dice que es cierto \lnot A, la consecuencia que sacamos es que es cierta

(5) B

Por tanto, si añadimos una premisa falsa a nuestro sistema lógico entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa.


La regla que se ha usado para obtener (5) se denomina “silogismo disyuntivo”, y dice que si son ciertas p \lor q y \lnot p entonces debe ser cierta q.

Ah, y quiero destacar que en Gaussianos ya se había comentado esta anécdota de Russell en este comentario de Asier hace ya unos años.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. Sólo como apunte adicional: el “silogismo disyuntivo” también es conocido por “modus tollendo ponens” (MTP)

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  2. Yo hubiese hecho:

    Hay que demostrar que

    Para todo B…
    FALSE => B

    (una cosa falsa implica cualquier cosa)

    La implicación tiene la siguiente tabla lógica:

    Implicación (TRUE, TRUE) = TRUE
    Implicación (TRUE, FALSE) = FALSE
    Implicación (FALSE, TRUE) = TRUE
    Implicación (FALSE, FALSE) = TRUE

    Por tanto, una implicación que parta de FALSE es siempre cierta, sea lo que sea la conclusión B.

    En lugar de FALSE podíamos haber puesto “A ^ Not(A)” pero me pareció que era meter complicaciones innecesarias.

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  3. Es lo que utilizan los independentistas catalanes: Como “derecho” puede ser, legal o ilegal, lícito o ilícito, bueno o malo, cierto o falso, el “derecho a decidir”, pese a no vulnerar el libre albedrío, puede resultar tan falso como 3=5.

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  4. A mi me lo enseñaron como fórmula tautologica (de la que, por tautológica, puede salir una regla de inferecia). Con la tabla de verdad se ve fáiclmente que el implicador es siempre verdadero con cualquier supuesto sobre la verdad de las fórmulas A y B que componen la fórmula de partida (el implicador es falso sólamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En este caso el antecedente es siempre falso).

    A_y_no-A —> B
    V_(F)_F__(V)__V
    V_(F)_F__(V)__F
    F_(F)_V__(V)__V
    F_(F)_V__(V)__F

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  5. Por cierto, me recordó algunas expresiones coloquiales como esta:

    “Si X entonces yo soy cura”

    Por ejemplo, “Si él es científico entonces yo soy cura” o “Si esto es buena comida entonces yo soy cura”, etc.

    Si partimos de la evidencia de que quien lo dice no es santo ni cura dicha afirmación es lógicamente equivalente a decir que X es falso.

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    • En México existe un dicho para cuando alguien hace una soposición absurda, se responde: “Y si mi abuelita tuviera ruedas, sería bicicleta”

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  6. ¿El título no estaría mejor si pusiéramos introducir en vez de partir?

    Que yo sepa se parte de una proposición cierta y luego se introduce la falsa.

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  7. No Aristóteles.

    En el ejemplo de Bertrand Russell se parte de que 2+2=5. No se introduce después esa falsedad sino que es el punto de partida. Y partir de eso (o suponiendo que eso fuese cierto) concluye que él es el mismísimo Papa de Roma.

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  8. El punto de partida es que 2 + 2 = 4. Imagina que desconoces esta sentencia, o que también ignoras que 2 = 2 (por ejemplo simboliza 2,5). ¿Cómo sabrías entonces que 2 + 2 = 5 es falso?

    Lo verdadero se establece por referencia a un conjunto de evidencias y dentro de un contexto; lo falso se proclama falso porque contradice la evidencia.

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  9. Si 2 + 2 = 5 no ves que es falso…. Quizás debas desconectarte de Matrix.

    Imagínate que no sabes leer ni hacer ecuaciones. Entonces difícilmente sabrás si estos caracteres te dicen algo y es más, no sabrás si es verdad o mentira.

    Eso de acido me recordo cuando haciamos esquemas con puertas AND y OR.
    Aunque lo recuerdo diferente,

    True and true – true
    False and false – true
    True and false – false
    False and true – false

    TRUE&TRUE=TRUE
    Pondria la de or, pero me qedo sin batería.

    Me ha gustado el artículo. Un saludo.

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  10. Hola a todos,

    después de leer el artículo y el ejemplo me surge una duda.
    Partimos de la premisa de que 2+2=5, pero seguimos sabiendo restar, no? (no os lo toméis a coña 🙂 y se siguen cumpliendo el resto de reglas/leyes matemáticas).
    Si restamos 3 a ambos miembros 2+2-3=5-3 pues dependiendo de cómo realicemos la operación del primer miembro de la ecuación (ya estamos asumiendo que no se cumple que (a+b) – c = a + (b – c))
    (2+2) – 3 = 5 -3 -> 5 – 3= 5 – 3 con lo que ya no se cumple lo siguiente.
    Si hacemos 2+ (2-3) = 2 -> 1 = 2, entonces si podemos continuar con la teoría.

    Necesitamos que no se cumplan otras condiciones.

    Un saludo.

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  11. A alguien que demuestre algo así, se merece el premio anti Nobel.

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  12. VeoVeo, lo que digo es que si partimos que 2 + 2= 5 entonces habría que considerarlo verdadero, no falso. En la anécdota, de hecho, lo hacen y puedes leerlo: “si suponemos cierto que 2+2=5…”.

    Yo también puedo suponer cierto un mundo alternativo en que Russell sea el Papa y no un filósofo; o que la evolución de la especie haya producido unicornios para verlos en el zoo; o que este fantástico blog haya ganado el premio Bitácoras.com. Pero si lo hago, no puedo decir que parto de una premisa falsa. En realidad, es todo lo contrario, me he imaginado un contexto en que los hechos son veraces empíricamente, existen, y por tanto si los enuncias para probar que 2 + 2 es tal o cual, nadie puede decir que “partes de algo falso” sin mentir.

    Se mezcla lógica, lenguaje y realidad de forma tramposa.

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  13. No estoy de acuerdo con el razonamiento, Diamond. Con esas líneas solo podemos deducir que si usamos una proposición cierta y su contraria falsa, podemos demostrar que es cierto lo que sea.
    PERO EL PROBLEMA es q haces uso de ambas; pero si partimos solo de una proposición falsa, cuya falsedad desconocemos, y/o solo usamos esa proposición, no podemos concluir cualquier cosa.

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  14. Estupenda síntesis, Artila. Si prescindimos de lo verdadero, también prescindimos automáticamente de lo falso, no sabremos en qué nos equivocamos, perdemos la guía, desconocemos el error. ¿Cómo puede uno formar conceptos como “equivocación” o “error” mientras ignora completamente lo que es correcto?

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  15. Quizás el planteamiento debe asumir alguna obviedad previa:
    (SABIENDO QUE 2 + 2 = 4), si suponemos (ADEMÁS) cierto que 2 + 2 = 5 podremos demostrar cualquier cosa.

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  16. false => p, porque false => p es equivalente a no false o p, lo cual es true o p, y true es absorbente de la disyunción.

    🙂

    Asumiendo lo que sabemos tradicionalmente, decir que 2+2=5 es decir false

    Asumir 2+2=5 es true, es decir que false es true, true es el elemento neutro de la equivalencia…

    That’s all,

    asumir 2+2=5 es true y llegar a p, p cualquier proposición

    es decir no false o p, que como se explica en este comentario es true

    La lógica proposicional es un álgebra, como cualquier otra, donde los operadores son lógicos, luego el cálculo de predicados no requiere sofismas ni nada tramposo ni nada de eso que es ambiguo y de lo cual quiso salir Russell, incluso cunado creó la noción de tipos…

    Usted resuelve false => p como una operación lógica donde los operandos son false y p, respectivamente. Y el operador =>, luego usa una regla anterior de lógica para expresar esta operación booleana que tiene constantes true y false, para expresar

    false=>p como no false o p que es true o p, es decir true

    Del mismo modo que usted podría decir que

    (-n^2-2n-1)*(1-1) = -((n+1)^2) *0=0

    porque 0 es absorbente de *, y ahí vemos el operador unario ‘-‘

    Pero en lógica no se usa el símbolo ‘=’, sino el de equivalencia.

    Se definen los axiomas de la lógica, se conviene (de convención), que es axioma y teorema, y ahí se tendrán las definiciones de las operaciones básicas, para resolver operaciones más complejas.

    Si en un juicio asumen que los unicornios existen, y en nuestro sistema los unicornios no existen, podrán decir cualquier cosa sobre el acusado.

    Nótese que lo está pasando aki es:

    los unicornios existen => p

    p cualquier proposición sobre el acusado

    luego el valor de verdad de la implicación, es true, ya se sabe por qué pues el aninicio de este comentario se ha explicado cómo reescribir la implicación en términos de la distyunción.

    CLARO, NO AMBIGUO, como pretendió Russell 😉

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  17. Aristóteles dijo:
    “… si partimos que 2 + 2= 5 entonces habría que considerarlo verdadero, no falso.”

    Efectivamente, la demostración de Russell dice:
    “Supongamos que 2+2=5.”,
    es decir, propone que pensemos (creamos) que es verdadero, aunque ya sabemos que no lo es, porque también nos ha dicho que es un “ejemplo” en el que partimos de una premisa falsa, pero aún así, nos pide que “supongamos” que es cierto.

    Sobre el resto de la demostración no voy a añadir nada nuevo, porque me parece que está suficientemente claro. Sólo quiero destacar que, esta es la regla básica de la demagogia. Y si además le añadimos al discurso, frases mal puntuadas, o sin significado comprensible por estar mal estructuradas, o simplemente son un junta-palabras, es como para sacar un master en demagogia. Y en eso algunos políticos son verdaderos expertos.

    Como un buen ejemplo de experto en demagogia nos ha aparecido por aquí Alberto Castro, que empieza con una frase falsa y luego sigue con otra (despues de los dos puntos) que después de leer varias veces no termino de entender qué es lo que significa.

    Ya sé que esto se sale un poco del tema de la demostración de Russell o de la lógica, pero me ha parecido interesante relacionarlo con las técnicas de la demagogia, porque a fin de cuentas en qué consiste la demagogia, sino en engañar al interloculor, con una lógica correcta, para que admita por verdadero algo que podría no serlo. Y aunque en un principio (los griegos) desarrollaron la lógica con el propósito de llegar a la verdad, por desgracia hay gente que se aprobecha usando dichas técnicas para engañar a otros menos instruidos o despistados.

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  18. Creo que para demostrar que vale el silogismo disyuntivo se usa que A y no A nunca son verdaderas simultáneamente. La prueba sería: Si vale A v B luego su negación es falsa (acá se usa ese axioma) y tenemos ¬(A v B) = ¬A ^ ¬B es falsa pero como ¬A es cierta tenemos que la única posibilidad es que ¬B sea falsa, en ese caso B es verdadera. En por lo menos dos pasos usamos que A es verdadera si y solo si su negación es falsa.

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  19. Suponer significa que lo uses como hipótesis, no estás diciendo que es verdad en tu lógica, es verdad en el comienzo de la demostración y en el contexto de la suposición. Eso es lo que es.

    Supongamos que existe un triángulo rectángulo de catetos 1,1, e hipotenusa p/q (p, q enteros, q no nulo, p, q coprimos), entonces podemos decir usando el teorema de pitágoras que la raíz cuadrada de 2 es un número racional (lo cual no es cierto).

    Pudimos probar esa afirmación, porque partimos de algo falso y asumirlo al inico de la demostracion

    Significa

    1) Hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1,1 es p/q, p, q enteros q no nulo, p,q coprimos

    2) Se cumple el teorema de pitágoras.

    3) Por teorema de pitágoras, raíz cuadrada de 2 es p/q p, q enteros q no nulo, p,q coprimos. (aquí se usó modus ponens)

    Concluímos esa mentira euclidea, que es un ejemplo de concluir cualquier cosa, por asumir algo que es falso, en este conjunto específico de 3 premisas.

    En efecto dentro de el conjunto de premisas se supone cierto lo que no es, pero solo dentro del conjunto de premisas, no de forma global.

    Otro ejemplo, es cuando se demuestra la tesis inductiva en una prueba por inducción:

    Se toma un k fijo y se busca ver si asumiendo que la propiedad se cumple para ese k fijo, se cumple para k+1, que es el sucesor natural de ese k. Pero en un principio no se sabe si ese k existe. De hecho para ese momento lo único que se sabe, si es que se verificó, sería el caso base.

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  20. Recuerden que las demostraciones lógicas hoy en día se pueden programar en un computador…

    De modo que lo importante, más que filosofar es preceder operativamente 😉

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  21. Russell fue filósofo también (filosofía de la lógica), pero en el campo de la lógica entran sus contribuciones matmáticas, sobre todo una vez que publicó su célebre libro con Withehead (Principios de las Matemáticas).

    Me gustaría recalcar de modo operativo, que este asunto no tiene vuelta ni ambigüedad.

    Pueden verlo así (false constante lógica, p,r,s proposiciones lógicas):

    1) false

    3) r /\ (r => s) => s, con r:= false, s:=p (sustitución textual)

    4) p

    Donde se concluye p, por vacuidad y usando modus ponens otra vez.

    O les dejo la expresión lógica no ambigua:

    \usepackage{amssymb,amsmath} false \Rightarrow false \equiv \not false \wedge p \equiv true \wedge p \equiv true \[]

    No importando, cuál proposición sea p, siempre y cuando sea válida (Ojo! Con el caso de la paradoja del mentiroso 😉 )

    Creo que la confusión es pensar que la proposición p sea verdadera. No es eso, lo que es verdadero es el valor de verdad de la implicación con antecedente falso

    En el caso que comentan de científico y cura, no es que te vuelves cura, es que es verdad que si partes de algo falso la afirmación de cura en el consecuente, tu implicación sera verdadera.

    No si tomas el antecedente falso en el conjunto de premisas, véase bien, sino dándolo true en global, ahí esta el problema!!

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  22. Por buscarle la punta, debería decirse “partiendo de una contradicción…” La proposición P puede ser falsa, pero de ella no se sigue cualquier cosa a no ser que se incluya en la deducción la proposición noP como verdadera. Más de una vez me ha ocurrido tener que aclarar esto a gente que dice que tal modelo científico parte de una falsedad (por estar simplificado, p.e.) y que por tanto puede deducir cualquier cosa. Por ejemplo, un modelo del sistema solar puede partir de planetas simplificados a puntos en el espacio. El modelo puede ser perfectamente consistente y no deducir cualquier cosa mientras que no incluyamos que a la vez son puntos y no son puntos.

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  23. O el papa es Russell, todo ello no es mas que una especie de coña-juego-reto, manipulando conceptos verdaderos llegar a una verdad a partir de una falsedad. Pero en cualquier demostración si partimos o usamos una falsedad y llegamos a una verdad, la demostración sigue siendo errónea y lo queremos demostrar no podemos decir que sea cierto o falso. En cuanto a lo que algunos han eludido a que si no sabes escribir 2+2=4 no puedes decir que es cierto es rotundamente falso. El lenguaje matemático no implica que el ser humano no pueda o sepa contar. Todos podemos decir si tengo una piedra y me das otra piedra tengo dos piedras, lo podemos decir en cualquier lengua, y desde hace relativamente poco lo sabemos sintetizar en lenguaje matemático.

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