Siempre compuesto

Ya comentamos algo sobre Sophie Germain en este post sobre el último teorema de Fermat. Los trabajos de esta matemática francesa estuvieron dedicados principalmente a la teoría de números, y más concretamente al último teorema de Fermat. En el transcurso de estos trabajos Sophie fue capaz de encontrar muchos resultados interesantes. Lo que hoy os traigo un un descubrimiento sencillo y curioso que probablemente apareciera durante el estudio de algún problema más complicado. El enunciado es el siguiente:

Sabiendo que a es un número natural mayor que 1 demostrar que el número a4 + 4 es un número compuesto (es decir, que no es un número primo)

Espero vuestras respuestas.

Actualización: Aquí tenéis la solución del juego dada por mimetist. El proceso lo podéis ver en los comentarios:

a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

Autor: gaussianos

20 Comentarios

  1. Si “a” es par:

    a = 2k

    por tanto:

    (a^4)+4 = [(2k)^4]+4 = 16(k^4) + 4 = 4 (4k + 4)

    El cual es un número compuesto (4 por algo).
    Ahora estoy con “a impar”, este primer comentario es para que no se me adelanten jejeje

    Además aquí no se utiliza que a sea mayor que 1, se cumple para “a” mayor o igual que cero.

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  2. Bienmimetist, esa era la parte fácil :P .

    La de impar me da que te va a resultar complicada con el enfoque que le estás dando. Pero vamos, continúa, igual sale algo interesante :)

    Lo de a > 1 es necesario ya que para a = 1 tenemos:

    1^4 + 4 = 1 + 4 = 5

    que es primo.

    Ánimo :)

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  3. No te equivocabas, con el impar se llega a un callejón sin salida xD

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  4. Mmmm… he intentado hacer un cuadrado perfecto, pero tampoco he llegado a nada… me tengo que ir, así que si encuentro la solución la pondré por la noche. Estas son las ideas que se me han ocurrido por ahora:

    (a^4)+4 = [(a^2)^2] + (2^2)

    Para que sea más sencillo tomamos: A = a^2

    (A^2) + 2^2 = A^2 + 2^2 + 4A – 4A = (A + 2)^2 – 4A =
    = [(a^2) + 2]^2 – 4a^2

    De ahí se me ha ocurrido que podríamos cambiar el signo de la suma que hay elevada al cuadrado para ver qué salia:

    (a^2 + 2)(a^2 – 2) = a^4 + 2a^2 – 2a^2 – 4 = a^4 – 4

    Qué pena que las reglas de los signos sean las que son, jejejeje.

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  5. No estaba seguro de cuanto me había acercado, pero mientras escribía el comentario anterior me he dado cuenta de que:

    (a^2 – 2)^2 = a^4 – 4a^2 + 4
    y
    (a^2 + 2)^2 = a^4 + 4a^2 + 4

    Sumando las dos expresiones tenemos que:

    a^4 + 4 = (a^2 – 2)^2 + (a^2 + 2)^2

    Así que por ahí tiene que haber algo :D

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  6. Ese más cuatro que hay me parece un tanto sospechoso, y creo que se podría realizar algún tipo de operación/demostración algo más compleja disminuyendo el conjunto de números a Z4.

    A lo mejor así se consigue algo distinto y novedoso, que conste no tengo ni idea de si lo que digo puede resultar útil ni tengo idea de la demostración.

    Pero supongo que todo número al que se le suma 4 siendo este número entero, pasa por consiguiente a pertenecer a Z4 y si pertenece a Z4 tiene que ser compuesto, ya que en este conjunto no está solamente el número 1, sino que hay cuatro números.

    No sé si me he explicado bien, o si esto tiene coherencia, pero lo someto a la revisión del congreso del público y el autor

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  7. Quería añadir algo para ver si consigo una explicación algo más clara para todos.

    a^4 tiene como resultado un entero positivo, al ser a>1, y al sumarle a este entero positivo el número cuatro, automáticamente este número pasa a pertenecer al conjunto de Z4 = {0, 1, 2, 3} (que si no lo llamo mal o no me equivoco es ese que he puesto) siendo 0, 1, 2, 3 las clases de equivalencia correspondientes (creo que era así, estoy algo desentrenado en teoría de números).

    Con esto tendríamos que cualquier número de esa ecuación (a^4 + 4) pertenece a Z4, siendo cierto que (a^4 + 4) mod 4 = {0, 1, 2, 3} y por tanto si es así tenemos que sumando x veces 4 a {0, 1, 2, 3} obtendremos el número de la ecuación original y sólo deberemos demostrar que 4x + {0, 1, 2, 3} son números compuestos.

    Joer, esta demostración me ha quedado guay sea mala o buena, ¿qué os parece?

    Ahora sólo falta demostrar que esas cuatro ecuaciones dan números compuestos como resultado, si todo lo que he dicho es cierto.

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  8. Hola!

    No lo he podido resolver completo todavía, pero pude avanzar un poco más.

    Escribamos a de la siguiente forma:

    a = b + 10n,

    con b y n naturales. Nos interesa probar sólo los valores impares de b, porque los pares ya se demostraron.

    Entonces:

    a^4 + 4 =
    b^4 + 40*b^3*n + 600*b^3*n^2 + 4000*b*n^3 + 10000*n^4 + 4

    Podemos ver que la última cifra de a^4 + 4 será la misma que b^4 + 4, debido a que todos los otros términos terminan en 0.

    Analizando cada caso:

    b : b^4 : última cifra + 4

    1 : 1 : 5
    3 : 81 : 5
    5 : 625 : 9
    7 : 2401 : 5
    9 : 6561 : 5

    Se puede concluir que para cualquier b impar distinto de 5, el número a^4 + 4 será divisible por 5.

    Por lo tanto, quedaría por estudiar el caso de los números de la forma:

    a = 10n + 5

    Ahora voy a ver si logro avanzar un poco más por ese camino.

    Saludos!

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  9. No había leído lo de Neok… a la primera no lo entiendo, pero parece interesante. Voy a pensarlo también.

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  10. Buenas noches :) .

    Vamos a ver, vayamos por partes:

    neok: si te digo la verdad no le llego a pillar muy bien el sentido de tus explicaciones. No sé dónde quieres llegar con lo de Z4. Cualquier número es congruente con 0, 1, 2 ó 3 módulo 4 sin necesidad de sumarle un 4. Lo único que podríamos decir es que a^2 + 4 es congruente con a^2 módulo 4, pero no sé a qué podríamos llegar con eso.

    Sobre otro tema: 4n + 1 no es siempre compuesto. Por ejemplo, para n = 3 obtenemos 13, que es primo.

    homero: interesante la demostración que llevas. No sé si por ese camino puede terminarse la demostración. Lo que sí te puedo decir es que el camino que yo sé no es ese. De todas formas continúa, igual encontramos otra manera.

    mimetist: tío, tienes la demostración terminada, te lo aseguro. Revisa tus comentarios y dedícale un ratito al tema, está casi hecho de verdad.

    Venga, que ya queda muy muy poquito.

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  11. Dios, homero, tu forma de verlo está genial… mis hallazgos quedan a la altura del betún… aunque yo sí lo he conseguido. jejeje.

    Lo de Neok también suena genial, aunque para pertenecer a Z4 no es necesario sumar 4 a (a^4)… de hecho lo que estás demostrando es que TODOS los números enteros pertenecen a Z4, piénsalo: Cualquier número que dividas entre 4 va a tener resto 0, 1, 2 o 3. Aunque a lo mejor estás proponiendo otra cosa, me he perdido en lo de los números complejos… :S

    Bueno, allá va lo que he “conseguido”:

    Siguiendo con el razonamiento de los comentarios anteriores pensé que habría alguna forma de convertir a^4 + 4 en un cuadrado complejo. Siendo A = a^2 no conseguí nada, así que lo hice “a saco”:

    (a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4
    (a – 2)^2 = a^2 – 4a + 4

    Después de probar multiplicando (a + 2) y (a – 2) vi que se cancelaban términos y como “a” está elevado a la cuarta me quedé con esos dos cuadrados. Al multiplicarlos obtenemos:

    (a + 2)² * (a – 2)² = a^4 + 4a³ + 4a² – 4a^3 – 16a² – 16a + 4a² + 16a + 16 =
    = (operando) =
    = a^4 – 8a² + 16

    Entonces me he fijado en “cómo estaba compuesta esta solución:

    a^4 + [ 2(4)(a²) + (4a)(-4a)] + (4)(4)

    Si os fijais sólo hay una forma de que el término central se anule sin “tocar” el 2 y con “a” distinto de cero… que los “4″ sean “2″. Pero OJO, si ponemos “doses” en vez de “cuatros”, el último término se nos convierte en (2)(2), que es precisamente 4, con lo que nos queda:

    a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

    Por tanto es un número compuesto :P

    lo que no encuentro es una forma más “simplificada” que esta:

    a^4 + 4 = [(a + 1) + 1][(a – 1) + 1]

    Ahora voy a probar con la demostración de homero que me parece más interesante… lo mío es una basura xD

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  12. mimetist plas plas plas:

    a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

    Esto demuestra que a^4 + 4 es compuesto, ya que puedo descomponerlo como producto de dos números enteros.

    Te he dicho que lo tenías terminado porque en este comentario llegaste en un momento a

    [(a^2) + 2]^2 – 4a^2

    Y de ahí, usando la suma por diferencia (formulilla dada en el colegio :P ) llegas a lo que has llegado en tu último comentario, y por tanto a la solución.

    Buen trabajo gente :)

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  13. ¡¡Buah!! Mi demostración habría molado más de ser cierta, jajajajajaja

    Lástima no darme cuenta de que todos los números enteros pertenecen a Z4, ya decía que estaba desentrenado, además me lié en lo de los 4n + {0, 1, 2, 3} y dije lo que no era.

    Bueno, mimetist enhorabuena aunque has hecho un castillote muy mono. :P

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  14. Jejejeje, muchas gracias.

    La verdad es que soy muy garrulo, por ahí no habría podido seguir porque (aunque me suena) no tengo ni idea de cual es la fórmula de la suma por diferencia (lo voy a mirar ahora, claro jeje).
    Pero en cuanto se me ocurrió lo de los cuadrados supe que iba encaminado (más con los resultados).

    Yo sigo pensando que la demostración que más mola es la de homero, pero me quedo donde él xD.

    me ha encantado esto, espero que pongais más cosas así :)

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  15. ¿Cómo que no?. Suma por diferencia = diferencia de cuadrados. Tú llegaste a una diferencia entre dos cosas al cuadrado. Sólo te faltaba usar esa formulita al revés.

    El trabajo que lleva homero es muy muy interesante. A ver si consigue terminarlo y nos lo enseña :) .

    Y no te preocupes, intentaremos poner más cosas de este estilo.

    Saludos

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  16. Ahí va, es cierto… (a + b)(a – b) = a² – b²
    Es casi de EGB, nunca me acordaba de estas fórmulas, siempre hacía las operaciones

    (a^2+2)^2 – (2a)^2 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

    Espero que ya no se me olvide xD

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  17. Exacto, esa es. Seguro que después de esto ya no se te olvida :P

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  18. Hola!

    Felicidades a Mimetist por encontrar la solución!

    He seguido analizando el camino que yo estaba siguiendo, y se llega a un punto donde la única factorización posible es la de Mimetist…

    Por ejemplo:

    5^4+4 = 629 = 17*37
    15^4+4 = 50629 = 197*257

    Tienen una descomposición prima que es justamente la factorización de Mimetist, por lo tanto, para terminar mi demostración, necesariamente iba a tener que utilizar la factorización de la otra.

    De todas formas, creo que son resultados interesantes a los que llegué, a pesar de que no llevaban directo a la solución.

    Saludos!

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  19. Muy buen trabajo homero. Ten en cuenta que aunque a veces no se llegue a la solución de un problema el trabajo hecho no cae en saco roto, se suelen conseguir cosas interesantes.

    Estáis hechos unos monstruos :D

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