Estáis hechos unos monstruos

Felicidades a Mimetist por encontrar la solución!

He seguido analizando el camino que yo estaba siguiendo, y se llega a un punto donde la única factorización posible es la de Mimetist…

Por ejemplo:

5^4+4 = 629 = 17*37
15^4+4 = 50629 = 197*257

Tienen una descomposición prima que es justamente la factorización de Mimetist, por lo tanto, para terminar mi demostración, necesariamente iba a tener que utilizar la factorización de la otra.

De todas formas, creo que son resultados interesantes a los que llegué, a pesar de que no llevaban directo a la solución.

Saludos!

(a^2+2)^2 – (2a)^2 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

Espero que ya no se me olvide xD

El trabajo que lleva homero es muy muy interesante. A ver si consigue terminarlo y nos lo enseña .

Y no te preocupes, intentaremos poner más cosas de este estilo.

Saludos

La verdad es que soy muy garrulo, por ahí no habría podido seguir porque (aunque me suena) no tengo ni idea de cual es la fórmula de la suma por diferencia (lo voy a mirar ahora, claro jeje).
Pero en cuanto se me ocurrió lo de los cuadrados supe que iba encaminado (más con los resultados).

Yo sigo pensando que la demostración que más mola es la de homero, pero me quedo donde él xD.

me ha encantado esto, espero que pongais más cosas así

Lástima no darme cuenta de que todos los números enteros pertenecen a Z4, ya decía que estaba desentrenado, además me lié en lo de los 4n + {0, 1, 2, 3} y dije lo que no era.

Bueno, mimetist enhorabuena aunque has hecho un castillote muy mono.

a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

Esto demuestra que a^4 + 4 es compuesto, ya que puedo descomponerlo como producto de dos números enteros.

Te he dicho que lo tenías terminado porque en este comentario llegaste en un momento a

[(a^2) + 2]^2 – 4a^2

Y de ahí, usando la suma por diferencia (formulilla dada en el colegio ) llegas a lo que has llegado en tu último comentario, y por tanto a la solución.

Buen trabajo gente

Lo de Neok también suena genial, aunque para pertenecer a Z4 no es necesario sumar 4 a (a^4)… de hecho lo que estás demostrando es que TODOS los números enteros pertenecen a Z4, piénsalo: Cualquier número que dividas entre 4 va a tener resto 0, 1, 2 o 3. Aunque a lo mejor estás proponiendo otra cosa, me he perdido en lo de los números complejos… :S

Bueno, allá va lo que he “conseguido”:

Siguiendo con el razonamiento de los comentarios anteriores pensé que habría alguna forma de convertir a^4 + 4 en un cuadrado complejo. Siendo A = a^2 no conseguí nada, así que lo hice “a saco”:

(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4
(a – 2)^2 = a^2 – 4a + 4

Después de probar multiplicando (a + 2) y (a – 2) vi que se cancelaban términos y como “a” está elevado a la cuarta me quedé con esos dos cuadrados. Al multiplicarlos obtenemos:

(a + 2)² * (a – 2)² = a^4 + 4a³ + 4a² – 4a^3 – 16a² – 16a + 4a² + 16a + 16 =
= (operando) =
= a^4 – 8a² + 16

Entonces me he fijado en “cómo estaba compuesta esta solución:

a^4 + [ 2(4)(a²) + (4a)(-4a)] + (4)(4)

Si os fijais sólo hay una forma de que el término central se anule sin “tocar” el 2 y con “a” distinto de cero… que los “4″ sean “2″. Pero OJO, si ponemos “doses” en vez de “cuatros”, el último término se nos convierte en (2)(2), que es precisamente 4, con lo que nos queda:

a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

Por tanto es un número compuesto

lo que no encuentro es una forma más “simplificada” que esta:

a^4 + 4 = [(a + 1) + 1][(a - 1) + 1]

Ahora voy a probar con la demostración de homero que me parece más interesante… lo mío es una basura xD

Vamos a ver, vayamos por partes:

- neok: si te digo la verdad no le llego a pillar muy bien el sentido de tus explicaciones. No sé dónde quieres llegar con lo de Z4. Cualquier número es congruente con 0, 1, 2 ó 3 módulo 4 sin necesidad de sumarle un 4. Lo único que podríamos decir es que a^2 + 4 es congruente con a^2 módulo 4, pero no sé a qué podríamos llegar con eso.

Sobre otro tema: 4n + 1 no es siempre compuesto. Por ejemplo, para n = 3 obtenemos 13, que es primo.

- homero: interesante la demostración que llevas. No sé si por ese camino puede terminarse la demostración. Lo que sí te puedo decir es que el camino que yo sé no es ese. De todas formas continúa, igual encontramos otra manera.

- mimetist: tío, tienes la demostración terminada, te lo aseguro. Revisa tus comentarios y dedícale un ratito al tema, está casi hecho de verdad.

Venga, que ya queda muy muy poquito.