Sobre progresiones aritméticas

Hoy os traigo el problema de esta semana, que en esta ocasión está relacionado con progresiones aritméticas. Ahí va:

Sea s_1,s_2,s_3, \ldots una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3}, \ldots y s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1}, \ldots son progresiones aritméticas. Demostrar entonces que la sucesión inicial s_1,s_2,s_3, \ldots es también una progresión aritmética.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Por inducción.

    – comprobamos que se cumple para el primero.
    s1,s2,s3
    – si se cumple para el j
    – demostrar que se cumple para el j+1

    suponiendo que se cumple:
    s(j), s(j+1), s(j+2)
    entonces comprobar
    ¿ s(j+1), s(j+2), s(j+3) ?

    llamamos: j=n+1

    s(n+1), s(n+2), s(n+3)

    que es lo que queremos comprobar

    ¿algo asi?

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  2. Bueno, a ver si es tan fácil como pienso y a ver si se entiende (perdón por no usar laTex, como siempre):

    Defino las subsucesiones (por ser aritméticas) de la forma:

    – Subsucesión 1: S(s(0)) = a(0,0), S(s(i+1)) = S(s(i)) + d(0)*i
    – Subsucesión 2: S(s(0)+1) = a(1,0), S(s(i+1)+1) = S(s(i)+1) + d(1)*i
    …………………………………………………………..
    – Subsucesión m+1 (por comodidad en los subíndices):
    S(s(0)+m) = a(m,0), S(s(i+1)+m) = S(s(i)+m) + d(m)*i

    Entonces, vemos si la sucesión es aritmética:

    ( a(0,0) + a(1,0) + … + a(m,0) ) +
    + ( a(0,0) + d(0) ) + ( a(1,0) + d(1) ) + … + ( a(m,0) + d(m) ) +
    + ……………………………………………………… +
    + ( a(0,0) + d(0)*n ) + ( a(1,0) + d(1)*n ) + … + ( a(m,0) + d(m)*n ) =

    = a + ( a + d ) + … + ( a + d*n )

    siendo a = a(0,0) + a(1,0) + … + a(m,0)
    d = d(0) + d(1) + … + d(m)

    con lo cual la sucesión es aritmética, de primer término a y diferencia d.

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  3. Bueno, dejo lo anterior porque la idea debe ser esa, pero está mal porque leí mal el enunciado. Seguiré meditándolo…

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  4. Por definición es

    S_{S_{n}}\vspace{1pt}=S_{S_{1}}+(S_{n}-1)A
    S_{S_{n}+1}\vspace{1pt}=S_{S_{1}+1}+S_{n}B

    dos progresiones aritméticas, operando para despejar los índices de la original llegamos a que

    S_{n+1}-S_{n}=\frac{S_{S_{n+1}+1}-S_{S_{n}+1}}{B}=\frac{S_{S_{n}+1}-S_{S_{n}}}{A}=1

    así pues, aunque no estoy muy convencido no sólo queda demostrado que es aritmética, sino también su diferencia.

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  5. O más fácil:

    Como S_{S_{n}} es progresión aritmética, se puede escribir así:

    S_{S_{n}}=K+S_{n}D

    y el siguiente término de dicha progresión aritmética es

    S_{S_{n+1}}=K+S_{n+1}D

    pero la diferencia entre dos elementos consecutivos de una progresión aritmética es constante (e igual, en la expresión indicada, a D) por tanto restando ambas tenemos que

    (K+S_{n+1}D)-(K+S_{n}D)=D

    es decir

    S_{n+1}-S_{n}=1

    como antes, lo que pasa es que me mosquea que no tenga que usar la segunda progresión aritmética.

    Apuesto que hago algún razonamiento mal…

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  6. Has tomado la fórmula del término general de la progresión aritmética y has sustituido n por Sn, sin más. Supones de esa manera que hay Sn términos desde el primero hasta el S(sub)Sn cosa que no sabes. Digo yo.

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  7. Además, una progresión aritmética de diferencia dos tiene que esas dos subsucesiones son progresiones aritméticas también. Tu razonamiento concluye necesariamente que la diferencia es 1, asi que no puede ser correcto.

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  8. Tienes razón, los índices de las progresiones aritméticas son el mismo índice que el índice de la original (vaya, n).

    Hagamos lo mismo entonces con el índice “verdadero”.

    S_{S_{n}}=K_{1}+nD_{1}
    S_{S_{n}+1}=K_{2}+nD_{2}

    estos dos términos son consecutivos en la progresión original (uno en la posición S_{n} y el otro en la siguiente), y su diferencia es

    S_{S_{n}+1}-S_{S_{n}}=K_{2}-K_{1}+n(D_{2}-D_{1})

    por tanto, o bien la proposición es falsa y las diferenencias en la progresión original dependen de n, o bien, se cumple forzosamente que ambas progresiones aritméticas tienen la misma D en cuyo caso es trivial que se cumple la proposición.

    Para demostrar que D_{1}=D_{2} basta darse cuenta que, puesto que la progresión no tiene final (se cumple infinitamente), como los términos de la primera progresión aritmética preceden a los de la segunda y como la sucesión original es estrictamente creciente, existiría un j, tal que S_{S_{j}}>S_{S_{j}+1} (caso de ser D_{1}>D_{2}) o bien que S_{S_{j+1}}<S_{S_{j}+1} (caso de ser D_{1}<D_{2}), ninguna de ambas cosas permitidas.

    Así de parrafada parece gran cosa, pero se trata de ver que los términos de ambas progresiones están emparejados en la sucesión original y que, puesto que tienen incrementos constantes, si fueran diferentes un incremento del otro, llegaría un momento que no se cumpliría la condición de “estrictamente creciente”.

    Y ya está.

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  9. Iba a escribir que tampoco es n, pero no importa porque creo que aunque no lo sea sí que VALE n, como valdría en cualquier progresión aritmética la variable n multiplicada por cualquier número (a condición de que ajustes la nueva pseudodiferencia).

    Si le añades esta apostilla, creo que tienes una demostración.

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  10. Sí es n, sólo hay que superponer las series para ver que el término n-ésimo de una serie (cualquiera de las tres) tiene presente a n como subíndice (en cualquier de las tres).

    S_{1}, S_{2}, …, S_{n}, …
    S_{S_{1}}, S_{S_{2}}, …, S_{S_{n}}, …
    S_{S_{1}+1}, S_{S_{2}+1}, …, S_{S_{n}+1}, …

    Que es precisamente el error que ha corregido vayapordios.

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  11. Resuelto por reducción al absurdo.

    Sea Sn una progresión que no es aritmética, luego, para ciertos i,k<n,

    Si = S(i-1) + x
    Sk = S(k-1) + x'

    Entonces, para la progresión aritmética S[Sn],

    S[Si] = S[Si-1] + (Si-1)y
    S[Sk] = S[Sk-1] + (Sk-1)y

    Pero entonces,

    S[Si] = S[Si-1] + [S(i-1) + x – 1]y
    S[Sk] = S[Sk-1] + [S(k-1) + x' -1]y

    Como x,x' son distintos, S[Sn] no es una progresión aritmética, lo que contradice el enunciado. Por tanto, Sn es una progresión aritmética.

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  12. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14…….

    subsucesión 1: 1, 5, 9, 13……es aritmética
    subsucesión 2: 2, 6, 10,14…..es aritmética

    y la inicial es de enteros positivos estrictamente creciente y no aritmética.

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  13. marcos, el ejemplo que comentas no cumple las condiciones del enunciado. Los subíndices de la primera subsucesión deben coincidir con los términos de la sucesión inicial: s_1,s_2, \ldots.

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