Sobre ternas de enteros positivos

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Demuestra que existen infinitas ternas de enteros positivos m,n,p tales que

4mn-m-n=p^2-1

pero no existe ninguna terna así tal que

4mn-m-n=p^2

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

32 Comentarios

  1. Primera parte: Sea n=1 la expresión queda como 3m-1=p^2-1 equivalente a 3m=p^2 en la que poniendo como m cualquier cuadrado perfecto multiplicado por 3 nos da una terna de la forma (m,1,3m) que valida la ecuación primera. Obviamente el número de cuadrados perfectos es infinito y el de cuadrados perfectos multiplicados por 3, también.

    Segunda parte: Si se me ocurre vuelvo a comentar.

    Gracias por leer.

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  2. Los cuadrados son 0,1 o 4 mod 8. No sé si funcionaría lo de probar para cualquier valor de m y de n módulo 8; que 4mn-(m+n) no es nunca 0, 1 o 4 mod 8 por lo que no puede ser cuadrado nunca. No lo he intentado siquiera; demasiado trabajo repetitivo (relativamente) para mi cansancio, desde mi punto de vista.

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  3. No funciona porque con m congruente con 2, fijas 4mn en 0 y dejas -n en -2 y variando m recorres todos los valores. No creo que salga por un argumento de ese tipo, pero bueno, el mundo de las matemáticas está siempre lleno de sorpresas… Yo pensé que habría que acotar de algún modo y probar que esa expresión está entre 2 cuadrados consecutivos, pero todavía no veo como, con lo que igual tampoco funciona así.

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  4. El señor Daniel Cao ha encontrado la terna (m,1,raíz(3m)) Pero raíz(3m) es entero sólo para m= 3,12,27,48,75,… Tiene usted que dar el valor exacto de todos los m o mostrar que raíz(3m) es entero infinitas veces. No será muy difícil,creo.

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  5. ah; señor cao; he entendido ahora: m=3k^2 para k=1,2,3,4… nos da infinitas ternas (3k^2,1,3k); sorry de no haberlo entendido a la primera, por el exceso de habladuría suya. Lo digo en un buen sentido, claro.

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  6. Creo que no es muy ortodoxo, pero: jajajajajajaja. Siento si en algún momento el lenguaje que uso no es excesivamente apropiado.

    En cualquier caso, me intriga como hacer la segunda parte. Intenté también usar que n cuadrado es la suma de los n primeros impares, por si llegaba a algo. Sin éxito.

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  7. Segundo apartado:
    Disculpen si no me explico bien, pero no se como anexar un dibujo ni cómo explicarlo bien matemáticamente.
    Podemos entender la ecuación geométricamente, se trata de construir un cuadrado, veamos cómo:
    – 4mn: anexamos cuatro rectángulos de m.n de manera que formen un cuadrado de lado m+n.
    – -m-n: ahora le quitamos una fila y queda un rectángulo de (m+n)*(m+n-1)
    – para construir un cuadrado de lado (m+n-1) tenemos que utilizar las n+m-1 unidades que nos sobran en el cuadrado de lado (n-m) del interior y por lo tanto debe satisfacer la ecuación
    (m-n)^2=m+n-1
    Lo cual es imposible, pues si el término de la izquierda es par el de la derecha será impar y viceversa.
    ¿Puede ser?

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  8. morvega, no sigo muy bien la construcción. En particular, en el primer paso. ¿Puedes hacer siempre ese cuadrado? (m+n)^2 es distinto en general de 4mn con lo que las áreas en principio ni siquiera serían la misma y esa construcción sería posible sii mn es un cuadrado perfecto…

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  9. Supongamos que m>=n y que m=n+t. Entonces tenemos que

    4(n+t)*n-2n-t=p^2-1. Desarrollemos y despejemos en la ecuacion:

    4n^2+n(4t-2)-p^2+1-t=0

    Despejemos n en la ecuacion cuadratica resultante:

    n=(-(4t-2) +- ((4t-2)^2-4*4(-p^2+1-t))^(1/2))/8

    Ahora bien, el argumento de la raiz cuadrada tiene que ser igual al cuadrado de un entero. Vamos a extraerlo:

    (4t-2)^2-4*4(-p^2+1-t)=q^2

    16t^2-16t+4+16p^2-16+16t=q^2

    16t^2-12+16p^2=q^2

    Ahora voy a desplazar el termino 16p^2 a la derecha:

    16t^2-12=q^2-16p^2

    Ahora descomponemos en factores ambos lados de la ecuacion:

    2*2*(4t^2-3)=(q-4p)(q+4p)

    El termino de la izquierda es par y, por lo tanto, el termino de la derecha es par también. Asi mismo, los dos factores de la derecha son o ambos pares o ambos impares, ya que la diferencia entre ambos es 8p, siendo p entero. Por lo tanto ambos factores de la derecha son pares. No tenemos forma de saber si 4t^2-3 es o no es primo. Pero una de tantas soluciones a este sistema es el resultado de este sistema de ecuaciones:

    q-4p=2

    q+4p=2(4t^2-3)

    y la solucion es:

    q=4t^2-2 y p=t^2-1

    Pero repito, si 4t^2-3 no es primo hay mas soluciones aun….

    Esto nos diria que una solución es p=(m-n)^2-1

    Ahora usemos la ecuacion original pero con p^2 a la izquierda, en vez de p^2-1, y hagamos el mismo analisis del determinante de la ecuacion de segundo grado resultante, el cual es:

    16t^2+4+16p^2=q^2

    16t^2+4=q^2-16p^2

    2*2(4t^2+1)=q^2-16p^2

    q-4p=2

    q+4p=2(4t^2+1)

    donde q=4t^2+2 y p=(2t^2+1)/2…. donde definitivamente no se cumple con p^2. Ahora bien, ustedes tendrian el derecho a preguntar: y si 4t^2+1 no es primo? Habrian muchas mas soluciones para este caso…. Pero todas ellas tendran a p como un numero fraccionario…. Los casos cuando 4t^2+1 no es primo los analizare si me los piden…. Gracias por leer

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  10. Experimentalmente; esto , con un microprograma en Pari gp :

    c=10^2;for(b=1,c,i=0;for(m=1,c,for(n=1,c,a=b*m*n-(m+n);if(issquare(a),i++)));i
    f(i==0,print1(b, “, “)))

    4, 7, 8, 12, 15, 16, 20, 23, 24, 28, 31, 32, 36, 39, 40, 44, 47, 48, 52, 55, 56,
    60, 63, 64, 68, 71, 72, 76, 79, 80, 84, 87, 88, 92, 95, 96, 100,
    time = 614 ms.

    Así que bmn-(m+n) parece no ser cuadrado para los valores de b indicados aquí arriba, hasta b= 100. hay muchos más hasta b =1000. Pensé que la no existencia de cuadrados pudiera deberse a que b=4 era un cuadrado. Constatamos que los cuadrados pares b no tienen solución, y sí la tienen los cuadrados b impares; pero qué tendrá esto que ver con la constatación de que b = 7, 23, 31, 47, 71, 79 que son valores primos no parecen tampoco tener solución ? Y no será acaso una buena pista el constatar que esos primos son todos 3 mod 4 ?

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  11. Dije : “Y no será acaso una buena pista el constatar que esos primos son todos 3 mod 4 ?”

    No es buena pista, puesto que faltan otros primos b=3 mod 4 como 11, 19, 43. Pero constatamos que ningún b = 0 mod 4 tiene solución y esta puede ser una pista realmente buena.

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  12. Para la segunda parte:

    4\left(4mn-m-n\right)=4p^{2}

    16mn-4m-4n+1=4p^{2}+1

    \left(4m-1\right)\left(4n-1\right)=4p^{2}+1

    Si q es un factor primo de 4m-1:

    4p^{2}+1\equiv0\,\left(mod\, q\right)

    \left(2p\right)^{2}\equiv-1\,\left(mod\, q\right)

    Por el pequeño teorema de Fermat:

    \left(2p\right)^{q-1}\equiv1\,\left(mod\, q\right)

    \left[\left(2p\right)^{2}\right]^{\frac{q-1}{2}}\equiv\left(-1\right)^{\frac{q-1}{2}}\equiv1\,\left(mod\, q\right)

    Por lo tanto, q-1=4m-2 debería ser divisible exactamente por 4, lo que evidentemente no ocurre.

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  13. CORRECCIÓN

    Para la segunda parte:

    4\left(4mn-m-n\right)=4p^{2}

    16mn-4m-4n+1=4p^{2}+1

    \left(4m-1\right)\left(4n-1\right)=4p^{2}+1

    Si q es un factor primo de 4m-1:

    4p^{2}+1\equiv0\,\left(mod\, q\right)

    \left(2p\right)^{2}\equiv-1\,\left(mod\, q\right)

    Por el pequeño teorema de Fermat:

    \left(2p\right)^{q-1}\equiv1\,\left(mod\, q\right)

    \left[\left(2p\right)^{2}\right]^{\frac{q-1}{2}}\equiv\left(-1\right)^{\frac{q-1}{2}}\equiv1\,\left(mod\, q\right)

    Por lo tanto, q-1 debería ser divisible exactamente por 4, es decir:

    q\equiv1\,\left(mod\,4\right), donde q es cualquier factor primo de 4m-1

    Luego:
    4m-1\equiv1\,\left(mod\,4\right)

    4m-2\equiv0\,\left(mod\,4\right) , lo que evidentemente es imposible.

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  14. Elchen, creo que te equivocas. Acabas diciendo que q es factor de 4m-1,
    asi que
    4m-1=qK
    donde K es el producto del resto de primos
    y sabes que q=1 (mod4), osea q=4N+1, luego:
    4m-1=(4N+1)K
    al aplicar mod4
    -1=K (mod4)
    Y aqui yo no veo ningun problema…

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  15. Respuesta a la primera cuestión:
    Haciendo n=m+k y jugando un poco con la expresión obtenemos que la terna
    m=k(k-1)/2, n=k(k+1)2 y p=k^2-1 cumple la expresión 4mn-m-n=p^2-1 para todo valor entero de k.
    En todas las ternas, obviamente los valores de m y n son intercambiables.

    Para el segundo caso, haciendo las mismas operaciones llegamos a la expresión
    m=k(k-1)/2+1/2, n=k(k+1)/2+1/2 y p=k^2-1 que, para todo valor entero de k da para m y n valores fraccionarios (de la forma q/2 con q impar) pero para p sí da valor entero.

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  16. rtomas, lo que pasa es que q es CUALQUIER factor primo de 4m-1 (o de 4n-1), por lo que K(el producto del resto de primos) no podría cumplir K\equiv-1\,\left(mod\,4\right)
    De cualquier manera, puedo equivocarme. Gracias.

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  17. Elchen, tienes razon, claro, si todos los primos son 1 mod4, es imposible…

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  18. En cuanto, al primer apartado, quizá cabe reseñar que es generalizable a:

    “Para todo k entero positivo, existen infinitas ternas de enteros positivos (n,m,p) que verifican la ecuación:”

    4mn-m-n=p^2-k.

    Tomamos n=k y entonces exigimos 4km-m=p^2 equivalente a (4k-1)m=p^2 y simplemente haciendo algo similar a lo expuesto en el primer comentario, tomamos m=(4k-1)r^2 donde r va recorriendo los enteros positivos. Notemos que ahora (4k-1)m=p^2=(4k-1)^2 r^2 es un cuadrado perfecto. En consecuencia la terna (k,(4k-1)r^2,(4k-1)r) soluciona el problema, donde k queda fijado por el k entero positivo que nos dé el enunciado (en el primer apartado que nos dió DiAmOnD era k=1) y r recorre los naturales dándonos el conjunto infinito de soluciones.

    ***Fijémonos que si k es 0 o negativo este razonamiento no es válido pues el m escogido sería negativo.

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  19. Intentando dar solución al problema me he topado con otro por el que pido consejo ..Los cuadrados de forma 4k+1 es decir 1 mod 4; por ejemplo 5^2 = 4*6+1; son generados por números k que son simpre 0 ,2 o 6 mod 10. Los cuadrados son 0,1,4,5,6,9 mod 10. Porqué un cuadrado de la forma 4k+1 nunca es generado por un k impar 1, 5 o 7 mod 10 ???

    Aquí va el microprograma en Pari gp:

    forstep(k=1,10^8,2,if(issquare(4*k+1),print(k)))
    Ningún resultado
    time = 16,886 ms.

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  20. No gano yo para sustos. Si bien este microprograma nos indica que todos los números k hasta 10^8 tales que 4k+1 es un cuadrado, son pares y son además todos 0 o 2 o 6 mod 10 :

    i=0;j=0;for(k=1,10^8,if(issquare(4*k+1),i++;if(k%10==0|k%10==2|k%10==6,j++)));
    print([i,j])
    [9999, 9999]
    time = 32,947 ms.

    Ocurre además y este es el susto, porque no sé explicarlo, que hay 9 cuadrados 1 mod 4 hasta k= 10^2, 99 cuadrados 1 mod 4 hasta 10^4, 999 hasta 10^6 y 9999 hasta 10^8. Qizás me he equivocado yo en algo.

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  21. Pido disculpas, me precipité, todo era una perogrullada. Todo número impar tiene un cudrado 1 mod 4 puesto que (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1. Por otra parte, el producto de 2 números enteros consecutivos m(m+1) es obviamente siempre par y es además siempre, casi trivialmente , 0, 2 o 6 mod 10. Torpezas de principiante.

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  22. Lo bonito sería ahora encontar todos los números enteros positivos b tales que bmn – (m+n) nunca es un cuadrado y si es posible tan sencillamente (una vez que se sabe) como la demostración de elchen de las20h15. Quizás incluso se podrìa generalizar para cuando bmn – a(m+n) (a entero positivo) nunca es un cuadrado perfecto; no lo he intentado con el factor a.

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  23. Siento desviarme del tema, pero me he encontrado con un problema que me ha dejado patidifuso con el cálculo de la expresión cuando n tiende a infinito de n!^(1/n). Lo podemos expresar así:

    n!^(1/n) = (n^(1/n))*((n-1)^(1/n))*((n-2)^(1/n))*…*1^(1/n) y cada factor tiende a 1 cuando n tiende a infinito y por tanto la expresión tiende a 1.

    O también así: n!^(1/n) = exp(ln(n!)/n) = exp((ln(n) + ln(n-1) +…+ ln(1))/n) = e^0 = 1.

    Sin embargo, usando la fórmula de Stirling n!=[(n/e)^n]*(2nPi)^1/2, tenemos,

    n!^(1/n) = (n/e)*(2nPi)^1/2n = n/e que tiende a infinito cuando n tiende a infinito.

    ¿¿¿¿¿?????? Qué diantres está mal o qué cálculo es el correcto dando resultados tan distintos. Me he quedado turulato, por mucho que repaso ambos cálculos son correctos y bien aplicados.

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  24. Cada factor tiende a 1 pero el número de factores tiende a infinito en los dos casos, de manera que no puedes aplicar la propiedad de producto de límites. El valor verdadero es de stirling

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  25. featuring, utilizando un método mas elemental, está claro que para cualquier valor de m existe un n_0 a partir del cual n! > m^n para cualquier n > n_0, y por lo tanto {(n!)}^{1/n} > {\left(m^n\right)}^{1/n} = m. Así, se ve sin ninguna duda que la sucesión tiende a infinito.

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  26. Mando la solución a la parte 2 por si alguien la quiere revisar (vi el problema la semana pasada pero recién llegué a esto)

    4mn-m-n=p^2

    Ordenando:
    m=(p^2+n)/(4n-1)

    Multiplicando los 2 lados por 4:
    4m=(4p^2+4n)/(4n-1)

    Para que los números sean enteros se debe cumplir que (k número entero positivo):
    4p^2=(4n-1)k-1
    4p^2=4nk-k-1

    Ordenando:
    n=(4p^2+k+1)/(4k)

    Dado que 4p^2+k+1 debe ser divisible por k, se debe cumplir (u número entero positivo):
    u=(4p^2+1)/k

    Ordenando
    p^2=(uk-1)/4

    Como uk-1 debe poder ser divisible por uk-1 debe ser par, por lo que uk es impar, u=2x; k=2y-1

    4p^2=2x*(2y+1)-1
    4p^2=4xy+2x-1
    p^2=xy+(2x-1)/4

    Como (2x-1)/4 no puede ser un entero p^2 tampoco.

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  27. Aaron, dices que uk debe ser impar, pero despues tomas u=2x; k=2y-1, lo que logicamente daria que uk es par

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  28. Tienes razón Julian, no sé como no me di cuenta de un error tan evidente.

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  29. Hola soy estudiante de primer cuatrimestre de universidad y este es mi primer intento de demostración sin conocer la respuesta, acerca de la segunda parte me pregunto si no es posible demostrarlo usando la información de la primera parte o si de esta manera solo de demuestra que no existen cuando n=1 es decir:

    Se quiere demostrar que no existen ternas tal que 4mn-m-n=P^2
    Entonces empezamos por suponer que si existen ternas de enteros positivos tal que
    4mn-m-n=P^2 igual que en la demostración del señor Daniel Cao hacemos n=1 con lo que queda:
    3m-1=p^2 y

    3m-1^1/2=p y

    m= (p^2+1)/3= (p^2)/3 + 1/3

    De acuerdo a la misma demostración del señor Daniel Cao existen infinitos cuadrados perfectos divisibles entre 3 y por lo tanto el resultado de (p^2)/3 es algún entero k , sin embargo m no puede ser entero debido a m= k+1/3

    Gracias por leer y disculpen los errores de novato que pudieran existir.

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  30. Con eso estarias demostrando que no existen ternas con n=1, pero no estarias demostrando que no existiesen, ademas tendrias que demostrar porque (p^2)/3 + 1/3 nunca sera un entero

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  31. O p=3k, o p=3k+1 o p=3k-1
    Luego (p^2/3 + 1/3 nunca será entero.

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