Solución racional

Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Hallar todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que la ecuación p(x)=r tiene al menos una solución racional para cada número racional r.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. No entiendo el problema, ¿no valdría
    p_r(X)=r+(X-s)q(X), con r,s\in\mathbb{Q}, \ q(X)\in\mathbb{R}[X]?

    Si existe un número racional s tal que p(s)=r, entonces el polinomio p(X)-r, es divisible por X-s y por tanto p(X)-r=(X-s)q(X) para algún q(X)\in\mathbb{R}[X]. El recíproco es obvio, cualquier polinomio de esa forma tiene un cero racional s.

    Supongo que no he entendido bien el problema.

    Publica una respuesta
  2. @RB: el polinomio p(x) debe prefijarse de antemano, mientras que el número r recorre todos los racionales. En tu sugerencia, el polinomio p(x) cambia con r.

    Publica una respuesta
  3. No he podido anular el comentario anterior, que es erróneo. Si a y b son racionales es cierto sino hay que revisarlo.

    Publica una respuesta
  4. Gracias M.

    Es claro que los polinomios de primer grado con coeficientes racionales cumplen la hipótesis del enunciado.

    Supongamos que p(X), es un polinomio que verifica las condiciones del problema. Si vemos dicho polinomio como una función real de variable real, el polinomio correspondiente a la composición p_2=p\circ p, también cumple las condiciones del problema. En efecto, dado un número racional r, existe r_1\in\mathbb{Q} tal que p(r_1)=r. Para r_1 existe r_2\in\mathbb{Q} tal que p(r_2)=r_1, luego p\circ p(r_2)=r. En general, los polinomios formados por composiciones finitas de sí mismos también pertenecen al conjunto solución. Esta es una forma de generar polinomios solución.

    Otra forma, es la siguiente: dado p(X) solución, el polinomio sp(X) donde s\in\mathbb{Q}-\{0\} también es solución. En efecto, dado un número racional r consideramos el racional r/s, para este racional existe otro racional t tal que, p(t)=\cfrac{r}{s}, luego sp(t)=r.

    Es evidente, que hay que buscar entre polinomios impares. Pero no todos los impares con coeficientes racionales son solución, por ejemplo, p(X)=X^3 no verifica las condiciones.

    Publica una respuesta
  5. RB, ¿por qué es evidente que hay que buscar en polinomios que sean impares?

    Publica una respuesta
  6. Porque las funciones polinómicas pares tienen máximos o mínimos absolutos y por tanto, eligiendo r suficientemente grande en valor absoluto, se obtiene que p^{-1}(\{r\})=\emptyset, es decir, la ecuación p(x)=r no tiene solución.

    ——————–

    En mi comentario anterior, también se pueden componer dos polinomios solución, para obtener otra solución:

    Supongamos que p(X) y q(X) son polinomios con coeficientes reales tales que \mathbb{Q}\subset p(\mathbb{Q}) y \mathbb{Q}\subset q(\mathbb{Q}), entonces \mathbb{Q}\subset p(\mathbb{Q})\subset p\left(q(\mathbb{Q})\right)=(p\circ q)(\mathbb{Q}). Por tanto, dados dos polinomios que cumplan las condiciones del problema, su composición también las cumple.

    Publica una respuesta
  7. RB, con que un polinomio sea impar te refieres a que su grado sea impar por lo que deduzco. Yo creí que te referías a que tuviese simetría impar y por eso no lo veía obvio. Aclarada entonces la pregunta.

    Publica una respuesta
  8. Repito (corregido) lo que había escrito.

    Para el grado 1 con coeficientes racionales es evidente: ax + b = r y por tanto x = (r – b)/a con todos racionales es racional.

    En los polinomios de grado par no hay solución.

    En los de grado impar puede haber solución o no.

    Me voy a dedicar a intentar ver que con a y/o b no racionales no hay solución para el grado 1

    Publica una respuesta
  9. Juanjo, eso se deduce de la fórmula x=(r-b)/a. Como se tiene que cumplir para r=0, entonces se tiene que cumplir que b=r’a, siendo r’ un número racional. Sustituyendo en la fórmula, se obtiene x=r/a-r’. Para que x sea racional, r/a tiene que ser racional y por tanto a es racional, y b también.

    La intuición me dice que no va a haber soluciones para grados mayores, pero no sé cómo demostrarlo.

    Publica una respuesta
  10. Golvano

    OK y gracias. Ahora me pongo a revisar los grados superiores

    Publica una respuesta
  11. El polinomio p(x) tiene los coeficientes racionales:
    Para un polinomio p(x) de grado n, denoto los coeficientes como a_k,
    p(x_0)=0 p(x_1)=1 p(x_2)=2 … p(x_n)=n siendo x_i racionales
    Creamos una matriz A de n+1 filas con n+1 columnas de esta forma:
    1 x_0 (x_0)^2 (x_0)^3 … (x_0)^n
    1 x_1 (x_1)^2

    1 x_n (X_n)^2 (x_n)^3 … (x_n)^n
    Creamos un vector B con los coeficientes a_k y un vector C con los números desde 0 hasta n:
    B=Transpuesta( [a_0 a_1 a_2 a_3 … a_n] )
    C=Transpuesta( [0 1 2 3 4 … n] )

    Como se comprueba AB=C, y por ello B=inversa(A)C
    y por lo tanto B es un vector de racionales ya que C y la inversa de A son racionales.
    Por lo que los coeficientes son racionales.

    Publica una respuesta
  12. Mi anterior comentario está mal, porque para que la matriz tenga inversa su determinante debería ser distinto de cero, cosa que no demuestro.

    Publica una respuesta
  13. @FG, tu comentario previo es correcto. Los valores x_k son distintos dos a dos pues lo son los valores del polinomio p(x_k)=k, 0\leq k\leq n. Luego, efectivamente, un polinomio p(x) en las condiciones del problema debe tener coeficientes racionales.

    Publica una respuesta
  14. Este comentario incluye una solución al problema.

    \vspace{2cm}

    Pongamos p(x)=c_n x^n+\ldots c_1 x+c_0, siendo n\geq 1 y c_i=\frac{a_i}{b_i}\in\mathbb{Q}, 0\leq i\leq n. Llamemos M:=\displaystyle{\prod_{i=0}^n} bi. Entonces q(x):=Mp(x)-Mc_0\in\mathbb{Z}[x].

    Sea \{p_i\}_{i\geq 1} la sucesión de números primos. Entonces, por hipótesis, para cada i\geq 1 existe x_i\in\mathbb{Q} tal que q(x_i)=p_i.

    Pero entonces, dado que q(x) tiene coeficiente director Mc_n y término independiente 0, debe ser, para cada i\geq 1, que

    x_i=\dfrac{1}{d_i} o x_i=\dfrac{p_i}{d_i}

    con d_i cierto divisor de M c_n: d_i|(M c_n). Además, ya que q(x_i)\neq q(x_j) si i\neq j, entonces x_i\neq x_j si i\neq j.

    Dado que d_i sólo puede tomar un número finito de valores y los valores \{x_i\}_{i\geq 1} son distintos dos a dos, debe existir un divisor d|(M c_n) tal que existen infinitos x_i’s de la forma

    x_{i_j}=\dfrac{p_{i_j}}{d}, \;\;j\geq 1.

    Pero entonces el polinomio r(x):=q(x)-dx tendría infinitas raíces x_{i_j}, j\geq 1. Por tanto, r(x)\equiv 0, q(x)=d x, y finalmente p(x)=c_0+\dfrac{d}{M}x con d\neq 0 y los dos coeficientes racionales.

    Publica una respuesta
  15. Muy buena RG y M, la forma de probar que el polinomio debe tener coeficientes racionales, me recuerda a las asignaturas de numérico cuando explicaban la interpolación por polinomios.

    M, me ha gustado mucho el truco de quitar el término independiente del polinomio para “sustituirlo” por un número primo. También el razonamiento de la última parte al considerar el polinomio r(x)=q(x)-dx. Sólo añadir un par de cosas sin importancia, al principio del razonamiento, te faltó exigir que \text{mcd}(a_i,b_i)=1. También, los x_i son de la forma x_i=\dfrac{\pm 1}{d_i} ó x_i=\dfrac{\pm 1}{d_i}, pero no afecta al razonamiento, ya que, quedaría x_{i_j}=\dfrac{\varepsilon p_{i_j}}{d} con \varepsilon\in\{-1,1\} (independiente de j) y p(x)=a_0+\dfrac{\varepsilon d}{M}x.

    Enhorabuena!

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Ahí va: Hallar todos los…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *